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- 2021-06-02 发布
“12＋4”限时提速练(八)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合A＝{x|－1≤log2 016x≤1}，B＝{y|y＝2x＋2}，则A∩B＝( )
A．(－2 016，0] B．[0，2 016]
C．(2，2 016] D．(－∞，2 016]
2．“∀x∈R，2x－＜1”的否定为( )
A．∀x∈R，2x－≥1 B．∀x∈R，2x－≤1
C．∃x0∈R，2x0－＞1 D．∃x0∈R，2x0－≥1
3．已知i是虚数单位，复数z＝(a∈R)，若|z|＝dx，则a＝( )
A．±1 B．1 C．－1 D．±
4.已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧(左)视图如图所示，则此三棱柱的表面积为( )
A．20 B．48
C．48＋8 D．8＋
5．已知函数f(x)＝sin(x∈R)，把函数f(x)的图象向右平移个单位长度得函数g(x)的图象，则下面结论正确的是( )
A．函数g(x)的最小正周期为5π
B．函数g(x)的图象关于直线x＝对称
C．函数g(x)在区间[π，2π]上是增函数
D．函数g(x)是奇函数
6．函数f(x)＝cos x(－π≤x≤π且x≠0)的图象可能为( )
7．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋n，若如图所示的程序框图是用来计算该数列的第
2 017项，则判断框内的条件是( )
A．n≤2 015? B．n≤2 016?
C．n＜2 014? D．n＜2 016?
8．在△ABD中，AB＝2，AD＝2，E，C分别在线段AD，BD上，且AE＝AD，BC＝BD，＝，则∠BAD的大小为( )
A. B. C. D.
9．已知x，y满足则z＝4x·的最大值为( )
A．10 B．64 C．1 024 D．2 048
10.已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点B是双曲线的右顶点，A是其虚轴的端点，如图所示．若S△ABF2＝S△AOB，则双曲线的两条渐近线的夹角的正切值为( )
A. B.
C．－ D.
11．对于一切实数x，令[x]为不大于x的最大整数，则函数f(x)＝[x]称为高斯函数或取整函数．若an＝f，n∈N*，Sn为数列{an}的前n项和，则S3n＝( )
A.n2－n B.n2＋n
C．3n2－2n D.n2－n
12．已知函数f(x)＝若函数h(x)＝f(x)－mx－2有且仅有两个零点，则实数m的取值范围是( )
A．(－6－4，0)∪(0，＋∞)
B．(－6＋4，0)∪(0，＋∞)
C．(－6＋4，0)
D．(－6－4，－6＋4)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)
13．已知幂函数y＝xa的图象过点(4，16)，则的展开式中x2的系数为________．
14.如图，抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A为抛物线C上的点，以F为圆心，为半径的圆与直线AF在第一象限的交点为B，∠AFO＝120°，A在y轴上的射影为N，则∠ONB＝________．
15．在正三棱锥PABC中，M是PC的中点，且AM⊥PB，AB＝2，则正三棱锥PABC的外接球的表面积为________．
16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos2B＋sin 2B＝1，0＜B＜，若||＝3，则的最小值为________．
答 案
一、选择题
1．解析：选C 由已知得A＝，B＝{y|y＞2}，所以A∩B＝(2，2 016]．
2．解析：选D 由全称命题的否定是特称命题可得“∀x∈R，2x－＜1”的否定为“∃x0∈R，2x0－≥1”．
3．解析：选A 因为|z|＝dx，所以|z|＝＝1，因为z＝＝＝＋i，所以 ＝1，解得a＝±1.
4.解析：选C 因为侧(左)视图中等边三角形的高为2，所以等边三角形的边长为4，所以三棱柱的所有棱长均为4，故三棱柱的表面积为(4＋4＋4)×4＋2××4×2＝48＋8.
5．解析：选C 因为f(x)＝sin＝sin(x＋)，所以g(x)＝sin＝sin(x－)＝－cos x，故函数g(x)的最小正周期T＝＝10π，故A错误；函数g(x)为偶函数，故D错误；g(x)图象的对称轴为x＝5kπ(k∈Z)，故函数g(x)的图象不关于直线x＝对称，B错误；函数g(x)的单调递增区间为[10kπ，10kπ＋5π](k∈Z)，故函数g(x)在区间[π，2π]上为增函数，故选C.
6．解析：选D 函数f(x)＝cos x(－π≤x≤π且x≠0)为奇函数，排除选项A，B；当x＝π时，f(x)＝cos π＝－π<0，排除选项C，故选D.
7．解析：选B 通过分析，本程序框图是当型循环结构．第1次循环，s＝1＋1＝2，n＝1＋1＝2，第2次循环，s＝2＋2＝4，n＝2＋1＝3，…，第2 016次循环，n＝2 017.所以结合选项可知判断框内的条件应为“n≤2 016？”，选B.
8．
9．解析：选C 因为z＝4x·＝22x－y，不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．
令u＝2x－y，当直线2x－y＝0平移到经过点C时，u取得最大值，联立解得即C(2，－6)，即umax＝2×2－(－6)＝10，所以z＝4x·的最大值为210＝1 024，选C.
10.解析：选B 因为S△ABF2＝S△AOB，所以(c－a)b＝×ab，即c＝a，因为c2＝a2＋b2，所以＝a2＋b2，所以＝，即＝.设双曲线的一条渐近线y＝x与x轴正方向的夹角为θ，所以tan θ＝，所以tan 2θ＝＝，即双曲线的两条渐近线的夹角的正切值为.选B.
11．解析：选A 由题意，当n＝3k，n＝3k＋1，n＝3k＋2时均有an＝f＝＝k，所以
＝3××(n－1)＋n＝n2－n.
12．解析：选B 函数h(x)＝f(x)－mx－2有两个零点等价于方程f(x)－mx－2＝0有两个不同的解，等价于函数y＝f(x)与函数y＝mx＋2的图象有两个不同的交点，作出函数y＝f(x)的图象，如图，
根据题意，当直线y＝mx＋2与曲线y＝－1＝相切时，联立方程，消去y可得，mx＋2＝，整理得mx2＋(2－m)x－4＝0，由Δ＝(2－m)2＋16m＝0，解得m＝－6±4，要使y＝f(x)与y＝mx＋2的图象有两个不同的交点，结合图象分析可知，实数m的取值范围是(－6＋4，0)∪(0，＋∞)．
二、填空题
13．解析：因为幂函数y＝xa的图象过点(4，16)，所以16＝4a，即a＝2，所以
＝，Tr＋1＝(－1)r·2r·C·x8－r·x－＝(－1)r·2r·C·x8－，令8－＝2，解得r＝4，所以T4＋1＝(－1)4×24×C×x2＝1 120x2，即的展开式中x2的系数为1 120.
答案：1 120
14.解析：因为点A到抛物线C的准线的距离为|AN|＋，点A到焦点F的距离为|AB|＋，所以|AN|＝|AB|，因为∠AFO＝120°，所以∠BAN＝60°，所以在△ABN中，∠ANB＝∠ABN＝60°，则∠ONB＝30°.
答案：30°
15．解析：因为三棱锥PABC为正三棱锥，取AC的中点N，连接PN，BN，
易证AC⊥平面PBN，所以PB⊥AC，又AM⊥PB，AM∩AC＝A，所以PB⊥平面PAC，所以PB⊥PA，PB⊥PC，易证PA，PB，PC两两垂直，又AB＝2，所以PA＝PB＝PC＝2，设三棱锥PABC外接球的半径为R，则(2R)2＝3×22＝12，所以球的表面积S＝4πR2＝12π.
答案：12π
16．解析：因为cos2B＋sin 2B＝1，所以sin 2B＝sin2B，即sin Bcos B＝sin2B，因为sin B≠0，所以tan B＝1，因为0＜B＜，所以B＝.因为||＝3，所以||＝3，即b＝3，根据余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，可得9＝a2＋c2－ac.由基本不等式可知9＝a2＋c2－ac≥2ac－ac，即ac≤(2＋)，当且仅当即a2＝c2＝时等号成立，故≥＝(2－)．
答案：