数学文卷·2018届湖北省部分重点中学、齐鲁名校教科研协作体（临沂一中等）高考冲刺模拟（二）（2018 15页

齐鲁名校教科研协作体 山东、湖北部分重点中学2018年高考冲刺模拟试卷（二）‎ 文科数学试题 命题：湖北天门中学(孙有林) ‎ 审题：湖北随州一中（占雷） 湖南常德一中（贺少辉） 山东沂水一中（沈伟）‎ 一.选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.（原创.容易）已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由得.故选B.‎ ‎【考点】考查不等式及集合运算.‎ ‎2.(原创.容易)已知复数满足，（为的共轭复数）.下列选项（选项中的为虚数单位）中（ ）.‎ A. B. C.或 D.或 ‎【答案】C ‎【解析】设，则，所以得，‎ 所以或.故选C.‎ ‎【考点】考查复数的模的运算.‎ ‎3.（原创.容易） 当5个正整数从小到大排列时，其中位数为4，若这5个数的唯一众数为6，则这5个数的均值不可能为（ ）‎ A.3.6 B.3.8 C.4 D.4.2‎ ‎【答案】A ‎【解析】设五个数从小到大为，依题意得，，是中两个不同的数，符合题意的五个数可能有三种情形：“”，“”，‎ ‎“”，其平均数分别为.故选A.‎ ‎【考点】考查样本特征数的计算.‎ ‎4. （原创.容易）一给定函数的图象在下列四个选项中，并且对任意，由关系式得到的数列满足.则该函数的图象可能是（ ）‎ ‎【答案】A ‎【解析】由得，所以在上都成立，‎ 即，，所以函数图象都在的下方.故选A.‎ ‎【考点】考查函数图象.‎ ‎5. （原创.容易） 按如图所示的算法框图，某同学在区间上随机地取一个数作为输入，则该同学能得到“OK”的概率（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】当，由算法可知得，得到“OK”；‎ 当，由算法可知得，不能得到“OK”；‎ 当，由算法可知得，不能得到“OK”；‎ 当，由算法可知得，能得到“OK”；‎ ‎.故选C.‎ ‎【考点】考查算法、分段函数的值域及几何概率的计算.‎ ‎6. （原创.容易） 已知直线与直线互相平行且距离为.‎ 等差数列的公差为，且，令，则的值为（ ）‎ A.36 B.44 C.52 D.60‎ ‎【答案】C ‎【解析】由两直线平行得，由两平行直线间距离公式得，‎ 得或.，，‎ 所以.‎ ‎.故选C.‎ ‎【考点】考查两平行直线的距离及等差数列的前项的绝对值的和.‎ ‎7. （原创.容易） 函数恰有两个零点，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】的零点个数 就是与的交点个数.作出的图象，由图象可知或.故选C.‎ ‎【考点】考查三角函数的图象及函数零点.‎ ‎8. (原创.中) 我国古代著名的数学家刘徽著有《海岛算经》.内有一篇：“今有望海岛,立两表齐,高三丈,前后相去千步,令后表与前表相直.从前表却行百二十三步,人目著地取望岛峰,与表末参合.从后表却行百二十七步,人目著地取望岛峰,亦与表末参合.问岛高及去表各几何?” ‎ ‎（参考译文：假设测量海岛,立两根标杆，高均为5步,前后相距1000步,令前后两根标杆和岛在同一直线上,从前标杆退行123 步, 人的视线从地面(人的高度忽略不计)过标杆顶恰好观测到岛峰,从后标杆退行127步, 人的视线从地面过标杆顶恰好观测到岛峰,问岛高多少？ 岛与前标杆相距多远?）（丈、步为古时计量单位，三丈=5步）.‎ 则海岛高度为（ ）‎ A.1055步 B. 1255步 C.1550步 D.2255步 ‎【答案】B ‎【解析】如图，设岛高步，与前标杆相距步，则有解得步.‎ ‎【考点】考查解直角三角形，利用相似成比例的关系. ‎ ‎9. （原创.中） 一个几何体的三视图如图所示，正视图与俯视图外框为全等的长与宽分别为2，1的长方形，侧视图为正方形.则这个几何体的体积为( ) ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】依题意几何体是长方体截去了一个三棱锥部分而成.长方体的体积为，三棱锥的体积为,‎ 所以几何体的体积为.故选B.‎ ‎【考点】考查立体几何三视图及体积运算.‎ ‎10. （原创.中） 已知椭圆的右顶点为，左、右焦点分别为，，过三点的圆与直线相切，则此椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】如图，由射影定理可得：，即，‎ 所以即椭圆的离心率．故选Ｄ．‎ 另解：设过三点的圆的圆心为，由得：‎ ‎，解得：，‎ 所以.故选D.‎ ‎【考点】考查椭圆的性质.‎ ‎11.（原创.难）已知分别是边的中点，是线段上的一动点（不包含两点），且满足，则的最小值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】由于是上的一动点（不包含两点），且满足，所以且,所以，‎ ‎(当且仅当时取=).故选D．‎ ‎【考点】考查平面向量的线性运算.‎ ‎12. （原创.难）定义在上的奇函数，当时，，则关于的函数的所有零点之和为（ ） ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】当时，‎ 又是奇函数，由图像可知：‎ ‎，有5个零点，其中有两个零点关于对称，还有两个零点关于对称，所以这四个零点的和为零，第五个零点是直线与函数，交点的横坐标，即方程的解，，故选C.‎ ‎【考点】考查函数零点与图象的对称性及指数方程的解法.‎ 二.填空题：本题共4个题，每小题5分，共20分.‎ ‎13. (原创.容易) 在三棱锥中，平面，为中点，则异面直线与所成角的余弦值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图，取中点为，连结，因为分别为的中点，所以∥，所以就是异面直线与所成角，令，由勾股定理得，又.易证平面，平面，， ‎ 在中，.‎ ‎【考点】考查空间异面直线所成角的大小.‎ ‎ ‎ ‎14. (原创.容易)已知双曲线上一点，过点作双曲线两渐近线的平行线 ‎，直线分别交轴于两点，则__________.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】双曲线两渐近线的斜率为，设点，则的方程分别为，，‎ 所以坐标为，‎ ‎，又点在双曲线上，则，‎ 所以.（另解：填空题可用特值法，取）‎ ‎【考点】考查双曲线的渐近线的性质.‎ ‎15. 实系数一元二次方程有两实根，一根在区间内，另一根在区间内.若，则的取值范围为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】令，依题意得 即作出可行域如图，可行域是内部的部分. ‎ 表示的几何意义是过可行域内一点与点的直线的斜率，‎ 由得，‎ 所以，‎ ‎【考点】考查线性规划求范围.‎ ‎16. (原创.中等) 下面有四个命题：‎ ①在等比数列中，首项是等比数列为递增数列的必要条件.‎ ②已知，则.‎ ③将的图象向右平移个单位，再将所得图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的，可得到的图象.‎ ④设，则函数有最小值无最大值.‎ 其中正确命题的序号为___________.(填入所有正确的命题序号)‎ ‎【答案】③④‎ ‎【解析】①如首项公比的等比数列为递增数列，所以首项不是等比数列为递增数列的必要条件，所以错误. ②可知即，所以，所以错误. ③由变换规律得正确. ④得，又，，可知在单调递减，在单调递增，所以正确.故填③④.‎ ‎【考点】考查了等比数列的性质，用指数函数的单调性比较大小，图象变换及函数的最值的求解.‎ 三.解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ ‎（原创.容易）的内角的对边分别为.已知 ‎.‎ ‎（Ⅰ）求角；‎ ‎（Ⅱ）的面积为，其外接圆半径为，且，求.‎ 解：（Ⅰ）由余弦定理得， ……………1分 ‎，‎ ‎. ……………3分 由正弦定理得，‎ 又，， ‎ 又. ……………5分 ‎，所以. ……………6分 ‎（Ⅱ）， ……………7分 由面积公式得，即. ……………9分 由余弦定理得即. ……11分 解得：或，又，所以.……………12分 ‎18. （本小题满分12分）‎ ‎(原创.容易)一批大学生和公务员为了响应我党提出的“精准扶贫”政策，申请报名参加新疆某贫困地区开展脱贫工作的“进村工作”活动，帮助当地农民脱贫致富.该区有四个村，政府组织了四个扶贫小组分别进驻各村，开展“进村工作”，签约期两年.约期完后，统计出该区四村的贫富情况条形图如下：‎ ‎（Ⅰ）若该区脱贫率为80％，根据条形图，求出村的总户数；‎ ‎（Ⅱ）约期完后，政府打算从四个小组中选出两个小组颁发金星级奖与银星级奖，每个小组被选中的可能性相同.求进驻 村的工作小组被选中的概率.‎ 解：（Ⅰ）设村户数为户，‎ 则：80％，………3分 得：（户）. ……………5分 ‎（Ⅱ）不妨用（金星级奖队，银星级奖队）表示获奖结果，则可能出现的结果为：，，，‎ ‎，，，，，，‎ ‎，，，‎ 共12种等可能性结果. ……………9分 其中，，，，，符合题意，共6种.‎ 所以进驻村的工作小组被选中的概率为. ……………12分 ‎19. （本小题满分12分）‎ ‎（原创.中）如图，五边形中，四边形为长方形，三角形为边长为2的正三角形，将三角形沿折起，使得点在平面上的射影恰好在上.‎ ‎（Ⅰ）当时，证明：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）当，求四棱锥的侧面积.‎ 解析：（Ⅰ）作，垂足为，依题意得平面，，‎ 又，平面，.………2分 利用勾股定理得，同理可得.‎ 在中，……………4分 平面，又平面，‎ 所以平面平面. ……………6分 ‎(Ⅱ)由（Ⅰ）中可知 ，同理，……………7分 ‎，则由勾股定理可得， ……………8分 ‎，‎ 中，，所以边上高，‎ ‎， ……………11分 ‎，‎ 所以四棱锥的侧面积. ……………12分 ‎20. （本小题满分12分）‎ ‎(原创.中)已知过抛物线的焦点向圆引切线（为切点），切线的长为.‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的方程；‎ ‎（Ⅱ）作圆的切线，直线与抛物线交于两点，求的最小值.‎ 解；（Ⅰ）因为圆的圆心为，，……………1分 由切线长定理可得，即，……………3分 解得：或，‎ 又，，所以抛物线的方程为. ……………4分 ‎（Ⅱ）设，直线方程为，‎ 代入得，‎ ‎，‎ 得，，……………5分 由抛物线的性质得：， ‎ ‎. ……………8分 又直线与圆相切，则有，即，，‎ 因为圆在抛物线内部，所以得：，……………10分 此时.‎ 由二次函数的性质可知当时，取最小值，‎ 即的最小值为. ……………12分 ‎21. （本小题满分12分）‎ ‎(原创.难)已知函数 ‎（Ⅰ）当时，求的单调区间及极值； ‎ ‎（Ⅱ）若有两个零点，求实数的取值范围.‎ 解：（Ⅰ）当时，，.‎ ‎，. ……………1分 当时，；当时，. ……………3分 所以的单调减区间为；单调增区间为.‎ 的的极小值为；无极大值. ……………5分 ‎（Ⅱ）‎ ‎.……………7分 ‎，‎ 当时，；当时，.‎ 在上单调递减；在上单调递增. ……………8分 所以 若有两个零点，必有，得.……………10分 又 综上所述，当时有两个零点，所以符合题意的的取值范围为.…12分 ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22. （本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎（原创.易）在直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数，）.以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.‎ ‎（Ⅰ）当时，求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）已知点的直角坐标为，直线与曲线交于两点，当面积最大时，求直线的普通方程.‎ 解：（Ⅰ）当时，直线的参数方程为，‎ 消去得直线的普通方程为. ……………………2分 曲线的极坐标方程是，两边乘以为，由得：‎ ‎，‎ 所以曲线的直角坐标方程为. ……………………5分 ‎（Ⅱ）曲线是以为圆心，2为半径的圆，‎ ‎. ……………………7分 当时面积最大.此时点到直线的距离为，所以，解得：， ……………………9分 所以直线的普通方程为. ……………………10分 ‎23. （本小题满分10分）[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎（原创.易）设.‎ ‎（Ⅰ）当时，求的最小值； ‎ ‎（Ⅱ）若为奇函数，且，当时，.‎ 若有无数多个零点，作出图象并根据图象写出的值（不要求证明）.‎ 解：（Ⅰ）当时，，‎ 当且仅当，即时等号成立.‎ 的最小值为4. ……………………4分 ‎（Ⅱ）的图象是夹在与之间的周期为4的折线，如图，…………6分 又， 的图象是两条射线与中间一段线段组成. ……………………8分 若有无数多个零点，则的图象的两条射线中至少有一条是平行于轴的，所以或得.‎ 此时，经验证符合题意， ……………………10分