2017-2018学年重庆市江津中学、合川中学等七校高二下学期期末考试数学（理）试题 Word版 9页

‎2017-2018学年重庆市江津中学、合川中学等七校高二下学期期末考试 数学试题（理科）‎ 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 满分150分，考试时间120分钟.‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，务必将自己的姓名．准考证号等填写在答题卷规定的位置上.‎ ‎2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑.‎ ‎3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卷规定的位置上.‎ ‎4．考试结束后，将答题卷交回.‎ 第Ⅰ卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题（本大题有12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．（原创）设为虚数单位，则复数（ ）‎ A． 　 　　 B． 　　 C． 　　　 D．‎ ‎2．（原创）以复平面的原点为极点，实轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则在极坐标系下的点在复平面内对应的复数为（ ）‎ A． B． 　 C． 　　　 D．‎ ‎3．（改编）在用数学归纳法证明某不等式“”的过程中，如果从左边推证到右边，则由时的归纳假设证明时，左边增加的项数为（ ）‎ A．1项 B．项 C．项 D．项 ‎4．（改编）袋中装有10个形状大小均相同的小球，其中有6个红球和4个白球．从中不放回地依次摸出2个球，记事件“第一次摸出的是红球”，事件“‎ 第二次摸出的是白球”，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．（原创）函数在其定义域内有极值点，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．（改编）从1、2、3、4、5这五个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为奇数的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．（改编）已知二项式的展开式中，第四项与第五项的二项式系数相等，则展开式中项的系数是（ ）‎ A．21 B．‎28 ‎ C．84 D．112 ‎ ‎8．（原创）明年的今天，同学们已经毕业离校了，在离校之前，有三位同学要与语文、数学两位老师合影留恋，则这两位老师必须相邻且不站两端的站法有（ ）种 A．12 B．‎24 ‎ C．36 D．48‎ ‎9．（原创）函数（）的大致图象为（ ）‎ ‎ ‎ ‎ A． B． 　 C． 　　　 D．‎ ‎10．（改编）现在，很多人都喜欢骑“共享单车”，但也有很多市民并不认可．为了调查人们对这种交通方式的认可度，某同学从交通拥堵不严重的A城市和交通拥堵严重的B城市分别随机调查了20名市民，得到了一个市民是否认可的样本，具体数据如下列联表：‎ A B 总计 认可 ‎13‎ ‎5‎ ‎18‎ 不认可 ‎7‎ ‎15‎ ‎22‎ 总计 ‎20‎ ‎20‎ ‎40‎ 附：，．‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ 根据表中的数据，下列说法中，正确的是（ ）‎ A．没有95% 以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”‎ B．有99% 以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关” ‎ C．可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”‎ D．可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”‎ ‎11．（原创）给出下面四个推理：‎ ‎①由“若是实数，则”推广到复数中，则有“若是复数，则”；‎ ‎②由“在半径为R的圆内接矩形中，正方形的面积最大”类比推出“在半径为R的球内接长方体中，正方体的体积最大”；‎ ‎③以半径R为自变量，由“圆面积函数的导函数是圆的周长函数”类比推出“球体积函数的导函数是球的表面积函数”； ‎ ‎④由“直角坐标系中两点、的中点坐标为”类比推出“极坐标系中两点、的中点坐标为”．‎ 其中，推理得到的结论是正确的个数有（ ）个 A．1 B．‎2 ‎ C．3 D．4 ‎ ‎12．（原创）已知函数的图象与函数的图象有三个不同的交点、、，其中．给出下列四个结论： ①；②；③；④．其中，正确结论的个数有（ ）个 A．1 B．‎2 ‎ C．3 D．4 ‎ 第II卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题（本大题有4个小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．（改编）由曲线，直线，，围成的曲边四边形的面积为 ．‎ ‎14．（原创）曲线C的参数方程为（为参数）．点在曲线C上运动，则点到直线距离的最大值为 ．‎ ‎15．（改编）已知且，则的最大值为 ．‎ ‎16．（原创）给出下列四个命题：‎ ‎①不等式对任意恒成立； ②；‎ ‎③设随机变量X～．若，则；‎ ‎④设随机变量X～，则．‎ 其中，所有正确命题的序号有 ．‎ 三、解答题（本大题有6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（10分）（原创）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）；以直角坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求的普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎（2）若与交于点，求线段的长．‎ ‎18．（12分）（改编）某小区新开了一家“重庆小面”面馆，店主统计了开业后五天中每天的营业额（单位：百元），得到下表中的数据，分析后可知与x之间具有线性相关关系．‎ 天数（x）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 营业额（y）‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎（1）求营业额关于天数x的线性回归方程；‎ ‎（2）试估计这家面馆第6天的营业额．‎ 附：回归直线方程中，‎ ‎，．‎ ‎19．（12分）（原创）（1）求关于的不等式的解集；‎ ‎（2）若关于的不等式在时恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎20．（12分）（原创）某同学参加了今年重庆市举办的数学、物理、化学三门学科竞赛的初赛，在成绩公布之前，老师估计他能进复赛的概率分别为、、，且这名同学各门学科能否进复赛相互独立．‎ ‎（1）求这名同学三门学科都能进复赛的概率； ‎ ‎（2）设这名同学能进复赛的学科数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．‎ ‎21．（12分）（改编）已知函数（为常数）与函数在处的切线互相平行．‎ ‎（1）求函数在上的最大值和最小值；‎ ‎（2）求证：函数的图象总在函数图象的上方．‎ ‎22．（12分）（原创）已知函数（为常数）．‎ ‎（1）当时，讨论函数的单调性；‎ ‎（2）当时，若函数在上单调递增，求的取值范围．‎ ‎2017—2018学年度第二学期期末七校联考 高二数学（理科）答案 ‎1—12 BAACD BCBAD CC ‎ ‎13． 14． 15． 16．①③‎ ‎17．（1），． （………6分）‎ ‎（2）圆的圆心为，半径为，圆心到直线的距离为．‎ 所以． （………10分）‎ ‎（注：可以用直线参数方程的几何意义，也可以先求出点A、B的坐标，再用两点间距离公式求长度，各位亲根据情况自行给分）‎ ‎18．（1），，，，所以回归直线为． （………8分）‎ ‎（2）当时，，即第6天的营业额预计为（百元）． （………12分） ‎ ‎19．（1）原不等式化为：‎ ‎① 或 ② 或 ③．‎ 解得或或．‎ ‎∴ 原不等式的解集为 （………6分）‎ ‎（2）令，则只须即可．‎ ‎①当时，（时取等）；‎ ‎②当时，（时取等）．‎ ‎∴ ． （………12分）‎ ‎20．设三科能进复赛的事件分别为A、B、C，则，，．‎ ‎（1）三科都能进复赛的概率为； （………4分）‎ ‎（2）X可取0，1，2，3． （………5分）‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎． （………9分）‎ 所以，X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎ （………10分）‎ 数学期望． （………12分）‎ ‎21．（1），，由已知有，解得．‎ 当时，．‎ 令，解得．‎ ‎∴当时，，单调递减；‎ 当时，，单调递增；‎ 又，， ．‎ ‎∴ 最小值为． ‎ 最大值为． （………6分）‎ ‎（2）令，则只须证恒成立即可．‎ ‎∵．‎ 显然，单调递增（也可再次求导证明之），且．‎ ‎∴ 时，，单调递减；‎ 时，，单调递增；‎ ‎∴恒成立，所以得证． （………12分）‎ ‎22．（1）当时，．‎ ‎；‎ 令，解得或．‎ ‎∴当，即时，增区间为，减区间为；‎ 当，即时，增区间为，无减区间；‎ 当，即时，增区间为，减区间为．‎ ‎（………6分）‎ ‎（2）当时，．‎ 由题意，在上恒成立．‎ 即即在上恒成立．‎ ‎1）显然时，不等式成立；‎ ‎2）当时，令，则．‎ ‎①当时，只须恒成立．‎ ‎∵ 恒成立，（可求导证明或直接用一个二级结论：）．‎ ‎∴ 当时，，单减；‎ 当时，，单增；‎ ‎∴ ．‎ ‎∴ ．‎ ‎②当时，只须恒成立．‎ ‎∵ 此时，即单减．‎ ‎∴ ．‎ ‎∴ ．‎ 综上所述，．‎ ‎（………12分）‎ ‎（各位亲，带参讨论的方法太复杂，就不写了，请根据情况自行给分）‎