2020高中数学 第一章 三角函数 4页

三角函数的图象和性质 一、考点突破 知识点 课标要求 题型 说明 三角函数的图象和性质 ‎1. 会画正弦、余弦、正切函数的图象。‎ ‎2. 掌握正弦、余弦、正切函数的性质。‎ 填空 解答 三角函数图象及性质是高考的高频考点，也是学习后面三角知识的基础。‎ 二、重难点提示 重点：正、余弦函数的图象、性质及“五点法”作图，以及正切函数的图象与性质。‎ 难点：正弦、余弦、正切函数的性质及应用，并会运用性质解决简单问题。‎ 一、正弦、余弦函数的图象及性质 函数 正弦函数y＝sin x，x∈R 余弦函数y＝cos x，x∈R 图象 定义域 R R 值域 ‎[－1，1]‎ ‎[－1，1]‎ 最值 当x＝2kπ＋（k∈Z）时，ymax＝1；‎ 当x＝2kπ－（k∈Z）时，ymin＝－1‎ 当x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1；‎ 当x＝2kπ＋π（k∈Z）时，ymin＝－1‎ 周期 ‎2π ‎2π 奇偶性 奇函数 偶函数 单调性 在[2kπ－，2kπ＋]（k∈Z）上是增函数；‎ 在[2kπ＋，2kπ＋]（k∈Z）上是减函数 在[2kπ－π，2kπ]（k∈Z）上是增函数；‎ 在[2kπ，2kπ＋π]（k∈Z）上是减函数 对称轴 对称中心 4‎ 二、正切函数的图象及性质 函数 y＝tan x 图象 定义域 ‎{x|x≠kπ＋，k∈Z}‎ 值域 R 周期 π 奇偶性 奇函数 单调性 在（kπ－，kπ＋）（k∈Z）上都是增函数 ‎【核心突破】‎ ‎①正切函数是单调递增函数，但不能说函数在定义域内是单调递增函数。‎ ‎②函数其定义域由不等式得到，其周期为。‎ ‎③正切函数是中心对称图形，对称中心是；不是轴对称图形，没有对称轴。‎ 示例：‎ 函数y＝2cos（2x－）的对称中心为 。‎ 思路分析：本题主要利用正、余弦函数的对称中心与对称轴坐标再结合整体代入的思想求解。‎ 答案：y＝cos x的对称中心为（kπ＋，0）（k∈Z），‎ 由2x－＝kπ＋，‎ 得x＝＋π（k∈Z）；‎ 故y＝2cos（2x－）的对称中心为（＋π，0）（k∈Z）。‎ 技巧点拨：牢记y＝cos x的对称中心为（kπ＋，0）（k∈Z），且对称中心是点，不要写成x＝kπ＋（k∈Z）。‎ 4‎ 例题1 求函数y＝cos2 x＋2sin x－2的值域。‎ 思路分析：对于内外两层的复合型函数常采用换元法将其拆分成基础函数模型。故可令t＝sin x，化成关于x的二次函数求解。‎ 答案：令t＝sin x（x∈R），则由－1≤sin x≤1，‎ 知－1≤t≤1，‎ ‎∴y＝cos2 x＋2sin x－2＝－sin2x＋2sin x－1‎ ‎＝－t2＋2t－1‎ ‎＝－（t－1）2（－1≤t≤1），‎ ‎∵－1≤t≤1，∴－2≤t－1≤0，‎ ‎∴0≤（t－1）2≤4，‎ 即－4≤y≤0，‎ 故函数y＝cos2x＋2sin x－2的值域为[－4，0]。‎ 技巧点拨：‎ ‎1. 求解形如y＝asin2x＋bsin x＋c（或y＝acos2x＋bcos x＋c），x∈D的函数的值域或最值时，通过换元，令t＝sin x（或cos x），将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值即可，求解过程中要注意t＝sin x（或cos x）的有界性。‎ ‎2. 求最值时要注意三角函数的定义域，在定义域内求值域，尤其要注意题目中是否给定了区间。‎ 例题2 比较tan 1，tan 2，tan 3的大小。‎ 思路分析：把各角化归到同一单调区间内，再利用函数的单调性进行比较。‎ 答案：tan 2＝tan（2－π），tan 3＝tan（3－π），‎ 又∵＜2＜π，‎ ‎∴－＜2－π＜0，‎ ‎∵＜3＜π，‎ ‎∴－＜3－π＜0，‎ 显然－＜2－π＜3－π＜1＜，‎ 且y＝tan x在（－，）内是增函数，‎ ‎∴tan（2－π）＜tan（3－π）＜tan 1，即tan 2＜tan 3＜tan 1。‎ 技巧点拨：比较三角函数值的大小时，若函数名不同，一般应先化为同名三角函数，再运用诱导公式把它们化到同一单调区间上，以便运用函数的单调性进行比较。‎ 重视数形结合思想的运用 ‎【满分训练】函数的图象与直线 4‎ 有且仅有两个不同的交点，则的取值范围是 。‎ 思路分析：该题是图象的交点的个数问题，从“图形”的角度加以解决。即画出函数图象解决。‎ 答案：‎ 如图，则的取值范围是。‎ 技巧点拨：方程的根的个数和图象的交点的个数是一类问题，解决这类问题从两个角度解决。第一从方程的角度解决，即解方程，方程有几个根即有几个解或几个交点。如果方程不会解或方程含参数不好解，这时采用第二种方法，构造函数，从图形的角度解决问题。在构造函数时，往往参变分离，使其一个函数为定函数，另一个函数为简单的“动”函数。‎ 4‎