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- 2021-06-02 发布
上海市各区县2017届高三上学期期末考试数学试题分类汇编
圆锥曲线
一、填空、选择题
1、（宝山区2017届高三上学期期末）椭圆（为参数）的焦距为
2、（崇明县2017届高三第一次模拟）抛物线上一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标为 ．
3、（虹口区2017届高三一模）点，抛物线的焦点为，若对于抛物线上的任意点，的最小值为，则的值等于 ．
4、（黄浦区2017届高三上学期期终调研）在直角坐标平面内，点的坐标分别为，则满足为非零常数）的点的轨迹方程是 （ ）
A． B．
C． D．
5、（静安区2017届向三上学期期质量检测）已知椭圆，抛物线焦点均在轴上，的中心和顶点均为原点，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于表中，则的左焦点到的准线之间的距离为 【 】
A．；
B．；
C．1；
D．2．
6、（闵行区2017届高三上学期质量调研）已知满足曲线方程，则的取值范围是____________．
7、（浦东新区2017届高三上学期教学质量检测）过双曲线的右焦点作一条垂直于轴的垂线交双曲线的两条渐近线于两点，为坐标原点，则的面积的最小值为____________．
8、（普陀区2017届高三上学期质量调研）设R，若表示焦点在轴上的双曲线，则半焦距的取值范围是 .
9、（青浦区2017届高三上学期期末质量调研）等轴双曲线与抛物线的准线交于两点，且，则该双曲线的实轴长等于 ．
10、（松江区2017届高三上学期期末质量监控）设是曲线上的点，，则的最大值= ▲ ．
11、（徐汇区2017届高三上学期学习能力诊断）已知抛物线的顶点在平面直角坐标系原点，焦点在轴上，若经过点，则其焦点到准线的距离为____________．
12、（杨浦区2017届高三上学期期末等级考质量调研）若双曲线的一条渐近线为，且双曲线与抛物线的准线仅有一个公共点，则此双曲线的标准方程为_________．
13、（奉贤区2017届高三上学期期末）若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则____________.
14、（金山区2017届高三上学期期末）点到双曲线的渐近线的距离是
二、解答题
1、（宝山区2017届高三上学期期末）已知椭圆的长轴长为，左焦点的坐标为
；
（1）求的标准方程；
（2）设与轴不垂直的直线过的右焦点，并与交于、两点，且，
试求直线的倾斜角；
2、（崇明县2017届高三第一次模拟） 已知点、为双曲线的左、右焦点，过作垂直于x轴的直线，
在轴上方交双曲线C于点M，且．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为、，
求的值．
3、（虹口区2017届高三一模）椭圆：过点，且右焦点为，过的直线与椭圆相交于、两点．设点，记、的斜率分别为和．
（1）求椭圆的方程；
（2）如果直线的斜率等于，求出的值；
（3）探讨是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出
的取值范围．
4、（黄浦区2017届高三上学期期终调研）已知双曲线以为焦点，且过点．
（1）求双曲线与其渐近线的方程；
（2）若斜率为1的直线与双曲线相交于两点，且(为坐标原点)．求直线的方程．
5、（静安区2017届向三上学期期质量检测）设双曲线：， 为其左右两个焦点．
(1) 设为坐标原点，为双曲线右支上任意一点，求的取值范围；
(2) 若动点与双曲线的两个焦点的距离之和为定值，且的最小值为，求动点的轨迹方程．
6、（闵行区2017届高三上学期质量调研）如图，椭圆的左、右顶点分别为、，双曲线以、为顶点，焦距为．点是上在第一象限内的动点，直线
与椭圆相交于另一点，线段的中点为，记直线的斜率为，为坐标原点．
（1）求双曲线的方程；
（2）求点的纵坐标的取值范围；
（3）是否存在定直线，使得直线与直线关于直线对称？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由．
7、（浦东新区2017届高三上学期教学质量检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，过的一条直线交椭圆于两点，若的周长为，且长轴长与短轴长之比为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若，求直线的方程.
8、（普陀区2017届高三上学期质量调研）已知椭圆：（）的左、右两个焦点分别为、，是椭圆上位于第一象限内的点，轴，垂足为,
且，，△的面积为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若是椭圆上的动点，求的最大值, 并求出取得最大值时的坐标.
9、（青浦区2017届高三上学期期末质量调研）如图，分别是椭圆的左、右焦点，且焦距为，动弦平行于轴，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）若点是椭圆上异于点、的任意一点，且直线、分别与轴交于点、，若、的斜率分别为、，求证：是定值．
10、（松江区2017届高三上学期期末质量监控）已知双曲线经过点，两条渐近线的夹角为，直线交双曲线于、两点．
（1）求双曲线的方程；
（2）若过原点，为双曲线上异于、的一点，且直线、的斜率、均存在，
求证：为定值；
（3）若过双曲线的右焦点，是否存在轴上的点，使得直线绕点无论怎样转动，都有成立？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由．
11、（徐汇区2017届高三上学期学习能力诊断）如图：双曲线：的左、右焦点分别为，过作直线交轴于点．
（1）当直线平行于的一条渐近线时，求点到直线的距离；
（2）当直线的斜率为时，在的右支上是否存在点，满足？若存在，
求出点的坐标；若不存在，说明理由；
（3）若直线与交于不同两点，且上存在一点，满足
（其中为坐标原点），求直线的方程．
12、（杨浦区2017届高三上学期期末等级考质量调研）如图所示，椭圆C：
，左右焦点分别记作、，过、分别作直线、交椭圆于、，且⫽．
（1）当直线的斜率与直线的斜率都存在时，求证：为定值；
（2）求四边形面积的最大值．
13、（奉贤区2017届高三上学期期末）过双曲线的右支上的一点作一直线与两渐近线交于、两点，其中是的中点.
（1）求双曲线的渐近线方程；
（2）当，求直线的方程；
（3）求证：是一个定值．
参考答案：
一、填空、选择题
1、解析：消去参数得：，所以，c＝＝3，所以，焦距为2c＝6。
2、 3、或 4、C 5、B
6、 7、8
8、【解析】若表示焦点在y轴上的双曲线，
可得，可得k＞2，半焦距c==．
则半焦距的取值范围是：（，+∞）．
故答案为：（，+∞）．
9、4 10、10
11、 12、 13、4 14、
二、解答题
1、
2、解：（1）设的坐标分别为
因为点在双曲线上，所以，所以...........2分
中，因为，所以，...........5分
由双曲线定义，得：...........5分
所以双曲线的方程为：...........6分
（2）由（1）知，双曲线的两条渐近线分别为.......8分
设，
则到两条渐近线的距离分别为，.......10分
设两条渐近线的夹角为，则两个向量夹角也为，其中..........12分
又点在双曲线上，所以
所以..................................14分
3、解：（1），又，，椭圆方程为…4分
（2）直线，设、，由消得，有，．………………7分
………………9分
（3）当直线的斜率不存在时，不妨设，，
则，，故．…………11分
当直线的斜率存在时，设其为，则直线：，设，．
由消得，有，．………………13分
……………16分
4、解：（1）设双曲线的方程为，半焦距为，
则，，， ……………2分
所以，
故双曲线的方程为． ……………………………4分
双曲线的渐近线方程为． ……………………………6分
（2）设直线的方程为，将其代入方程，
可得 （*） ……………………………8分
， 若设，
则是方程（*）的两个根，所以，
又由，可知， ……………………………11分
即， 可得，
故，解得，
所以直线方程为． …………………………14分
5、（1）设，，左焦点，
……………………………4分
（）对称轴
……………………………3分
（2）由椭圆定义得：点轨迹为椭圆，，
……………………………4分
由基本不等式得，
当且仅当时等号成立
，
所求动点的轨迹方程为 ……………………………3分
6、[解]
（1）设双曲线的方程为，双曲线的焦距为；………2分
依题意可得， ，
；
双曲线的方程为 …………………………4分
(2) 由题意可知，直线的斜率皆存在，且不为零．
设点、，
直线的方程为 （）
联立方程组 整理，得， ………6分
解得，或，，
得，， ………8分
因为， 在上是增函数，所以………10分
（或者，当且仅当时取等号，所以）（3）方法一：由题（2）知直线的方程为: ………………12分
同理，解方程组，可得，
得点的坐标为
直线的斜率
直线的方程为:， …………………………14分
联立直线与直线的方程，解得，
因为直线与的斜率互为相反数，所以直线与关于直线对称． …………………………16分
方法二：由在双曲线上可得：
所以 …………………………12分
同理，即, …………………………14分
因此
设直线:，则直线:,解得
因为直线与的斜率互为相反数，所以直线与关于直线对称． …………………………16分
7、解：（1）由条件可知：，，
∵，
解得：，……………………………4分
所以椭圆的方程为…………………………6分
（2）设直线的方程为：；
因为，
所以，所以，所以…………………………9分
，
……………………………11分
解得：………………………………………13分
所以直线的方程为…………………………………14分
8、【解】（1）在△中，由
得
因为△的面积为，,所以.
解得……2分在△中，由余弦定理得，，所以,故，
于是,故……4分，由于，所以,
故椭圆的方程为
（2）设，根据题意可知，故,由于,所以……7分，将代入椭圆方程得，，解得，由于，所以，故的坐标为……8分 令
，则,所以
，
其中……11分，所以当时，的最大值为，故的最大值为…13分，此时点的坐标为.
9、解：因为焦距，所以，
由椭圆的对称性及已知得，又因为，所以，
因此， 于是，因此椭圆方程为；
（2）设，则
直线的方程为，令得，
故；
直线的方程为，令得，
故；
所以，因此；
因为在椭圆上，所以
所以
10、解：（1）由题意得 ……………2分
解得 ……………3分
∴双曲线的方程为 ……………4分
（2）证明：设点坐标为，则由对称性知点坐标为…………5分
设，则 ……………7分
得 ……………8分
所以 ……………10分
（3）当直线的斜率存在时，设直线方程为，
与双曲线方程联立消得，
∴ 得 且 ……………12分
设、
∵
……………………14分
假设存在实数，使得，
故得对任意的恒成立，
∴，解得
∴当时，.
当直线l的斜率不存在时，由及知结论也成立
综上，存在，使得. …………………………………16分
11、解：（1）易得，，的渐近线方程为，由对称性，
不妨设,即，------------------2分
所以，到的距离.-----------------------------4分
（2）当直线的斜率为时，的方程为，------------------------5分
因此，， -----------------------------6分
又，故，
设右支上的点的坐标为，则，
由，得，-----------------------8分
又，联立消去得，
由根与系数的关系知，此方程无正根，
因此，在双曲线的右支上不存在点，满足. --------------------10分
（3）设，则， ----------------11分
由点在曲线上，故(*)
设
联立与的方程，得---------------------------12分
由于与交于不同两点，所以，.
所以，，
因此，. ------------14分
从而(*)即为，
解得.
即直线的方程为 . -------------------------------------------16分
12、证明：（1）设，，
根据对称性，有
因为，都在椭圆C上
所以， （2分）
二式相减，
所以为定值（4分）
（2）（Ⅰ）当的倾角为时，与重合，舍（6分）
（Ⅱ）当的倾角不为时，由对称性得四边形为平行四边形
设直线的方程为
代入，得 （8分）
显然，，
所以 （10分）
设，所以，，
所以 （12分）
当且仅当即时等号成立。
所以，
所以平行四边形面积的最大值为，（14分）
13、解(1)令 得
所以双曲线的渐近线方程为 3分
(2)因为P在双曲线上，所以，，
又因为P在双曲线右支，所以 5分
设直线
联立方程组 消元得 6分
又因为， 7分
得 8分
所以直线 9分
当不存在时，与渐近线的交点的中点为 不合题意 10分
所以直线的方程为
(3)设直线与渐近线 与分别交于
所以中点，即 12分
在双曲线上， 13分
得 14分
又因为=为定值 16分
解法2：
当直线斜率不存在时，，， 11分
当直线斜率存在时，设直线
，
12分
若是的中点. ， 13分
14分
15分
16分