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- 2021-06-02 发布
2019-2020 学年上学期高二期末考试备考精编金卷
理 科 数 学（A）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证
号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案
标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题
卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的．
1．设 是虚数单位，复数 为纯虚数，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
2．命题“ ， ”的否定是（ ）
A．“ ， ” B．“ ， ”
C．“ ， ” D．“ ， ”
3．“双曲线方程为 ”是“双曲线离心率 ”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知函数 ，则函数 的图象在 处的切线方程为
（ ）
A． B． C． D．
i 2i
2 i
a +
− a
1 1− 1
2 2
0x∃ ∈R 0 2
2 0 0logxe x x≤ +
0x∃ ∈R 0 2
2 0 0logxe x x> + 0x∃ ∈R 0 2
2 0 0logxe x x≥ +
x∀ ∈R 2
2logxe x x≤ + x∀ ∈R 2
2logxe x x> +
2 2 3x y− = 2e =
2( ) ln 2 4 1f x x x x= + − + ( )f x 1x =
2 0x y+ + = 2 0x y+ − = 2 0x y− − = 2 0x y− + =
此 卷 只 装 订 不 密 封
班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
5 ． 我 们 知 道 ： 在 平 面 内 ， 点 到 直 线 的 距 离 公 式 为
． 通 过 类 比 的 方 法 ， 可 求 得 在 空 间 中 ， 点 到 平 面
的距离为（ ）
A． B． C． D．
6．对于曲线 ，给出下面四个命题：（1）曲线 不可能表示椭
圆；（2）若曲线 表示焦点在 轴上的椭圆，则 ；（3）若曲线 表示
双曲线，则 或 ；（4）当 时曲线 表示椭圆，其中正确的是（ ）
A．（2）(3) B．（1）(3) C．（2）(4) D．(3)(4)
7．设 ， ，空间向量 ， ， ，且 ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
8．利用定积分的几何意义，可得 （ ）
A． B． C． D．
9．在古希腊，毕达哥拉斯学派把 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成正三角形(如图 1 所示)，
则三角形数的一般表达式 （ ）
A． B． C． D．
10．王老师的班上有四个体育健将甲、乙、丙、丁，他们都特别擅长短跑，在某
0 0( , )x y 0Ax By C+ + =
2 2
Ax By Cd
A B
+ +=
+ (2,4,1)
2 2 3 0x y z+ + + =
3 5 5 21
7 3 5
2 2
: 14 1
x yC k k
+ =− − C
C x 51 2k< < C
1k < 4k > 1 4k< < C
x y∈R ( ,2,1)x=a (1, ,3)y=b ( 1,2, 3)= − −c ⊥a c
∥b c + + =a b c
3 6 2 6 2 3
1
2
0
2 1 dx x− =∫
π π
2
π
3
π
4
1 3 6 10 15 21 28 36 45 55
( )f n =
2n + ( 1)n n + ( 1)
2
n n + ( 1)( 2)
2
n n− +
次运动会上，他们四人要组成一个 米接力队，王老师要安排他们四个人的
出场顺序，以下是他们四人的对话：甲：我不跑第一棒和第二棒；乙：我不跑第
一棒和第四棒；丙：我也不跑第一棒和第四棒；丁：如果乙不跑第二棒，我就不
跑第一棒；王老师听了他们四人的对话，安排了一种合理的出场顺序，满足了他
们的所有要求，据此我们可以断定，在王老师安排的出场顺序中，跑第三棒的人
是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
11．已知抛物线 ， 为坐标原点， 为其焦点，当点 在抛物线 上运
动时， 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
12 ． 已 知 为 定 义 在 上 的 可 导 函 数 ， 为 其 导 函 数 ， 且
， ，则不等式 (其中 为自然对
数的底数)的解集为（ ）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13．用数学归纳法证明： ，在第二步证明从
到 成立时，左边增加的项数是__________（用含有 的式子作答)．
14 ． 如 图 ， 在 正 四 棱 锥 中 ， ， 点 为 的 中 点 ，
．
若 ，则实数 _______．
4 100×
2 8x y= − O F P C
PO
PF
2 3
3
4
3
5
2
5
4
( )f x R '( )f x
( ) '( ) 1 0f x f x+ + > (0) 2019f = ( ) 2020x xe f x e+ > e
(0, )+∞ ( ,0) (0, )−∞ +∞
(2019, )+∞ ( ,0) (2019, )−∞ +∞
1 1 11 ( 1)2 3 2 1n n n+ + + + < >− n k=
1n k= + k
P ABCD− PA AB= M PA
BD BNλ=
MN AD⊥ λ =
15．若实数 满足 ，则 的最
小值为__________．
16．过双曲线 的左焦点向圆 作一条切线，若该
切线与双曲线的两条渐近线分别相交于第一、二象限，且被双曲线的两条渐近线
截得的线段长为 ，则该双曲线的离心率为__________．
三、解答题：本大题共 6 大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过
程或演算步骤．
17．（10 分）设命题 ：实数 满足 ，其中 ；命题 ：实数
满足 ．
（1）若 ，且 为真，求实数 的取值范围；
（2）若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围．
, , ,a b c d 2 4ln 2 2 0b a a c d+ − + − + = 2 2( ) ( )a c b d− + −
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > 2 2 2x y a+ =
3a
P x 2 24 3 0x ax a− + < 0a > q
x 3 02
x
x
− ≤−
1a = p q∧ x
p¬ q¬ a
18．（12 分）（1）已知 ， 都是正数，并且 ，求证： ；
（2）若 ， 都是正实数，且 ，求证： 与 中至少有一个
成立．
19．（12 分）如图，四棱锥 的底面为矩形， 是四棱锥的高， 与
平面 所成角为 ， 是 的中点， 是 上的动点．
（1）证明： ；
（2）若 ， 与 所成角的余弦值为 ，求二面角 的
a b a b≠ 5 5 2 3 3 2a b a b a b+ > +
x y , 2x y > 1 2x
y
+ < 1 2y
x
+ <
P ABCD− PA PB
PAD 45° F PB E BC
PE AF⊥
2BC AB= PE AB 2 17
17
D PE B− −
余弦值．
20．（12 分）设函数 ．
（1）求 在区间 的最值；
（2）若 有且只要两个零点，求 的值．
3 2( ) 6 9f x x x x a= − + +
( )f x [ 2,2]x∈ −
( )f x a
21．（12 分）已知椭圆 的左焦点为 ， 是椭圆上关于原
点 对称的两个动点，当点 的坐标为 时， 的周长恰为 ．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点 作直线 交椭圆于 、 两点，且 ，求 面积
的取值范围．
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > F AB
O A 14(1, )2
ABF 7 2
F l C D ACD∆( )CD ABλ λ= ∈R
22 ．（ 12 分 ） 已 知 函 数 在 处 的 切 线 与 直 线
平行．
（1）求实数 的值，并判断函数 的单调性；
（2）若函数 有两个零点 ， ，且 ，求证： ．
2019-2020 学年上学期高二期末考试备考精编金卷
1( ) ln ( )f x x aax
= + ∈R 1x =
2 1 0x y− + =
a ( )f x
( )f x m= 1x 2x 1 2x x< 1 2 1x x+ >
理 科 数 学（A）答 案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】A
【解析】∵ 为纯虚数，∴ ，解得
．
2．【答案】D
【解析】因为特称命题的否定是全称命题，
所 以 ： 命 题 “ ， ” 的 否 定 是 ： “ ，
”．
3．【答案】B
【解析】双曲线的标准方程为 ，则 ，
双曲线为等轴双曲线，则双曲线离心 ，即充分性成立，
反 之 若 双 曲 线 离 心 ， 则 双 曲 线 为 等 轴 双 曲 线 ， 但 方 程 不 一 定 为
，
即必要性不成立，
即“双曲线方程为 ”是“双曲线离心 ”的充分不必要条件．
4．【答案】C
【解析】∵ ，∴ ， ，
当 ，时 ，即切点的坐标为 ，
根据点斜式可得 ，化成一般式为 ．
5．【答案】B
2i ( 2i)(2 i) 2 2 ( 4)i
2 i (2 i)(2 i) 5
a a a a+ + + − + += =− − +
1 0
4 0
a
a
− =
+ ≠
1a =
0x∃ ∈R 0 2
2 0 0logxe x x≤ + x∀ ∈R
2
2logxe x x> +
2 2
13 3
x y− = 3a b= =
2e =
2e =
2 2 3x y− =
2 2 3x y− = 2e =
2( ) ln 2 4 1f x x x x= + − + 1( ) 4 4f x xx
′ = + − (1) 1k f ′= =
1x = 1y = − (1, 1)−
( 1) 1 ( 1)y x− − = × − 2 0x y− − =
【 解 析 】 因 为 在 平 面 内 ， 点 到 直 线 的 距 离 公 式 为
，
类 比 可 得 ： 点 到 平 面 的 距 离 为
．
故选 B．
6．【答案】A
【解析】①若曲线 表示椭圆，则 ，即 时，曲线
表示椭圆，故（1）错误；
②若曲线 表示焦点在 轴上的椭圆，则 ，解得 ，故（2）
正确；
③若曲线 表示双曲线，则 ，解得 或 ，故（3）正确；
④由（1）可知，（4）错误．
7．【答案】B
【解析】∵ ，∴ ，解得 ，∴ ，
又 ，设 ，则 ，∴ ，∴ ，
∴ ．
8．【答案】B
【解析】函数 表示单位园位于 轴上方的部分，
结合定积分的几何意义可得 ．
0 0( , )x y 0Ax By C+ + =
2 2
Ax By Cd
A B
+ +=
+
(2,4,1) 2 2 3 0x y z+ + + =
2 2 2
2 2 4 2 1 3 15 531 2 2
d
+ × + × += = =
+ +
C
4 0
1 0
4 1
k
k
k k
− >
− >
− ≠ −
5 5(1, ) ( ,4)2 2k ∈ C
C x
4 0
1 0
4 1
k
k
k k
− >
− >
− > −
51 2k< <
C (4 )( 1) 0k k− − < 4k > 1k <
⊥a c 4 3 0x− + − = 1x = (1,2,1)=a
∥b c λ=b c
1 12 23 3
y y
λ λλ
λ
= − = − = ⇒ = − = −
(1, 2,3)= −b (1,2,1)+ + =a b c
1 4 1 6+ + = + + =a b c
21y x= − x
1 1
2 2 2
0 0
1 π2 1 d 2 1 d 2 (π 1 )4 2x x x x− = − = × × × =∫ ∫
9．【答案】C
【解析】当 时， ；当 时， ；当 时， ；
当 时， ，
猜想： ．
10．【答案】C
【解析】由题乙，丙均不跑第一棒和第四棒，则跑第三棒的人只能是乙，丙中的
一个，
当丙跑第三棒时，乙只能跑第二棒，这时丁第一棒，甲第四棒，符合题意．
故跑第三棒的人是丙．故选 C．
11．【答案】A
【解析】抛物线的焦点 ，设点 ， ，
则 ，
设 ．∴ ．
∵ ，∴ 时，即 时， 的最大值为 ．
12．【答案】A
【解析】设 ，则 ，
∵ ， ，∴ ，
∴ 是 上的增函数，
又 ，∴ 的解集为 ，
即不等式 的解集为 ．故选 A．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
1n = 1 21 2
×= 2n = 2 33 2
×= 3n = 3 46 2
×=
4n = 4 510 2
×=
( 1)( ) 2
n nf n
+=
(0, 2)F − ( , )( 0)P x y y ≤ 2 8x y= −
2 2 2
22 2 2
8 12 4 1( 2) ( 2)( 2) ( 2)
PO x y y y
PF y yx y y
+ − − −= = = + +− −+ + −
1 1( 0)2 2t ty
= − ≤ <−
2 21 412 4 1 12( )6 3
PO t t tPF
= − − + = − + +
1 02 t− ≤ < 1
6t = − 4y = − PO
PF
2 3
3
( ) ( )x xg x e f x e= + ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) 1]x x x xg x e f x e f x e e f x f x′ ′ ′= + + = + +
( ) '( ) 1 0f x f x+ + > 0xe > ( ) [ ( ) ( ) 1] 0xg x e f x f x′ ′= + + >
( )g x R
(0) (0) 1 2020g f= + = ( ) ( ) 2020x xg x e f x e= + > (0, )+∞
( ) 2020x xe f x e+ > (0, )+∞
13．【答案】
【解析】假设 成立，即 ，
则 成立时有 ，
所以左边增加得项数是 ．
14．【答案】
【解析】连接 ，交 于 ，
以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，
设 ， 则 ， ， ， ，
， ，
设 ，则 ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
， ，
∵ ，∴ ，解得实数 ．
15．【答案】
【解析】∵ ，∴ ， ，
分别令 ， ，
问题转化为曲线 上的点与直线 上的点之间的距离平方的最小值，
，设与直线 平行且与曲线 相切的切点为 ，
2k
n k= 1 1 1
2 3 2 1k k+ + + <−
1n k= + 1 1 1 1 1 12 3 2 1 2 2 2 1k k k k k+ + ⋅⋅⋅ + + + ⋅⋅⋅ + < +− + −
2 2 1 (2 1) 2k k k k+ − − − =
4
AC BD O
O OA x OB y OP z
2PA AB= = ( 2,0,0)A (0, 2,0)D − (0,0, 2)P 2 2( ,0, )2 2M
(0, 2,0)B (0, 2 2,0)BD = −
(0, ,0)N b (0, 2,0)BN b= −
BD BNλ= 2 2 ( 2)bλ− = − 2 2 2b
λ
λ
−= 2 2 2(0, ,0)N
λ
λ
−
2 2 2 2 2( , , )2 2MN
λ
λ
−= − − ( 2, 2,0)AD = − −
MN AD⊥ 2 41 0MN AD
λ
λ
−⋅ = − = 4λ =
5
2 4ln 2 2 0b a a c d+ − + − + = 24lnb a a= − 2 2d c= +
2( ) 4lnf x x x= − ( ) 2 2g x x= +
( )f x ( )g x
4( ) 2f x xx
′ = − 2 2y x= + ( )f x 0 0( , )P x y
则 ，解得 ，可得切点 ，
切点 到直线 的距离 ，
∴ 的最小值为 ．
16．【答案】
【解析】因为切线过双曲线的左焦点，所以设切线方程为 ，即
，
且 ，
因为切线与两条渐近线交于第一、二象限，所以 ，
又因为 ，所以 ， ，
， ， ，
因为 ， ， ，所以 ，
因为双曲线的一条渐近线为 ， ，所以切线与该条渐近线垂
直．
设 两 个 交 点 分 别 为 ， ， 坐 标 原 点 为 ， 则 ， ， 所 以
，
因为 ，所以 ，
则渐近线 的斜率为 ，所以 ，
因为 ，所以 ， ， ，
因为 ，所以 ．
三、解答题：本大题共 6 大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过
0 0
0
4 2 2, 0x xx
− = >
0 1x = (1, 1)P −
(1, 1)P − 2 2y x= + 2 1 2 5
5
d
+ += =
2 2( ) ( )a c b d− + − 2 5d =
2
( )y k x c= +
0kx y kc− + =
2 2( 1)
kc a
k
=
+ −
0k >
0c > 2 1kc ka
= + 2 1kc a k= +
2 2 2 2( 1)k c a k= + 2 2 2 2( )k c a a− = 2 2 2k b a=
0k > 0a > 0b > ak b
=
by xa
= − ( ) 1a b
b a
× − = −
A B O OA a= 3AB a=
tan 3AOB∠ =
0 πAOB< ∠ < π
3AOB∠ =
by xa
= πtan[(π ) 2] 33
− ÷ = 3b
a
=
2 2 2a b c+ = 2 2 2( 3 )a a c+ =
2
2 4c
a
= 2 4e =
0e > 2e =
程或演算步骤．
17．【答案】（1） ；（2） ．
【解析】由 ，得 ，
其中 ，得 ， ，则 ， ．
由 ，解得 ，即 ．
（1）若 ，则 ，若 为真，则 ， 同时为真，即 ，
解得 ，∴实数 的取值范围是 ．
（2）若 是 的充分不必要条件，即 是 的充分不必要条件，∴ ，
即 ，解得 ．
18．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】（1）
，
因为 ， 都是正数，所以 ， ，
又∵ ，所以 ，所以 ，
所以 ，即 ．
（2）假设 和 都不成立，即 和 同时成立．
∵ 且 ，∴ ， ，
两式相加得 ，即 ，与已知条件 相矛盾，
∴ 和 中至少有一个成立．
19．【答案】（1）证明见解析；（2） ．
(2,3) 1 2a< ≤
2 24 3 0x ax a− + < ( )( 3 ) 0x a x a− − <
0a > 3a x a< < 0a > : 3p a x a< < 0a >
3 02
x
x
− ≤− 2 3x< ≤ : 2 3q x< ≤
1a = :1 3p x< < p q∧ p q 2 3
1 3
x
x
< ≤
< <
2 3x< < x (2,3)
p¬ q¬ q p 3 3
2
a
a
>
≤
1
2
a
a
>
≤ 1 2a< ≤
5 5 2 3 3 2( ) ( )a b a b a b+ − + = 5 3 2 5 2 3( ) ( )a a b b a b− + −
3 2 2 3 2 2( ) ( )a a b b b a= − + − = 2 2 3 3( )( )a b a b− − = 2 2 2( )( ) ( )a b a b a ab b+ − + +
a b 0a b+ > 2 2 0a ab b+ + >
a b≠ 2( ) 0a b− > 2 2 2( )( ) ( ) 0a b a b a ab b+ − + + >
5 5 2 3 3 2( ) ( ) 0a b a b a b+ − + > 5 5 2 3 3 2a b a b a b+ > +
1 2x
y
+ < 1 2y
x
+ < 1 2x
y
+ ≥ 1 2y
x
+ ≥
0x > 0y > 1 2x y+ ≥ 1 2y x+ ≥
2 2 2x y x y+ + ≥ + 2x y+ ≤ , 2x y >
1 2x
y
+ < 1 2y
x
+ <
5 42
42
−
【解析】（1）建立如图所示空间直角坐标系，由题意可知 ，
设 ， ， 则 ， ， ， ，
，
于是 ， ，则 ，所以 ．
（ 2 ） 设 ， 则 ， ， ， ， ，
， ，则由 ，得 ， ，
设平面 的法向量为 ， ， ，
由 ，得 ，取 ，于是 ， ，
∵ 平面 ，∴ ， ，
设二面角 为 ，且 为钝角，
所以 ．
20．【答案】（1） ， ；（2） 或 ．
【解析】（1） ，令 ，可得 或 ，
因为 ，所以当 时， ， 在 上单调递增；
当 时， ， 在 上单调递减，
又因为 ， ， ，
所以 ， ．
PA AB=
AP AB b= = BE a= (0,0,0)A (0, ,0)B b ( , ,0)E a b (0,0, )P b
(0, , )2 2
b bF
( , , )PE a b b= − (0, , )2 2
b bAF =
0PE AF⋅ = PE AF⊥
2AB = 4BC = (4,0,0)D (0,2,0)B ( ,2,0)E a (0,0,2)P
(0,2,0)AB = ( ,2, 2)PE a= − 2 17| | 17| | | |
AB PE
AB PE
⋅ =
⋅
3a = (3,2,0)E
PDE ( , , )x y z=n (4,0, 2)PD = − (1, 2,0)ED = −
0
0
PD
ED
⋅ =
⋅ =
n
n
4 2 0
2 0
x z
x y
− =
− = 1y = (2,1,4)=n | | 21=n
AF ⊥ PBE (0,1,1)AF = 2AF =
D PE B− − θ θ
1 4 5 42cos | | 4221 2| || |
AF
AF
θ ⋅ += − = − = −
⋅
n
n
min( ) 50f x a= − + max( ) 4f x a= + 4a = − 0a =
2( ) 3 12 9f x x x′ = − + ( ) 0f x′ = 1x = 3x =
[ 2,2]x∈ − [ 2,1)x∈ − ( ) 0f x′ > ( )f x [ 2,1)−
(1,2]x∈ ( ) 0f x′ < ( )f x [ 2,1)−
(1) 4f a= + ( 2) 50f a− = − + (2) 2f a= +
min( ) 50f x a= − + max( ) 4f x a= +
（2）令 ，可得 ．
设 ，则 ，
令 ，得 或 ，列表如下：
递减
有
极
小
值
递
增
有
极
大
值
递减
所以 的大致图象如下：要使 有且只有两个零点，只需直线
与 的图象有两个不同交点，所以 或 ．
21．【答案】（1） ；（2） ．
【 解 析 】（1 ） 当 点 的 坐 标 为 时 ， ， 所 以
．
由对称性及椭圆定义，知 ，所以 ，得
，
将点 代入椭圆方程 中，解得 ，
3 2( ) 6 9 0f x x x x a= − + + = 3 26 9a x x x= − + −
3 2( ) 6 9g x x x x= − + − 2( ) 3 12 9g x x x′ = − + −
( ) 0g x′ = 1x = 3x =
x ( ,1)−∞ 1 (1,3) 3 (3, )+∞
( )g x′ − 0 + 0 −
( )g x
4− 0
( )g x 3 26 9a x x x= − + −
y a= ( )g x 4a = − 0a =
2 2
18 4
x y+ = (0,2 2]
A 14(1, )2
7 3 2| | 1 2 2OA = + =
| | 3 2AB =
| | | | 2AF BF a+ = 2 7 2 3 2 4 2a = − =
2 2a =
14(1, )2
2 2
2 18
x y
b
+ = 2 4b =
所以椭圆方程为 ．
（ 2 ） 当 直 线 的 斜 率 不 存 在 时 ， ， 此 时
．
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，
由 ，消去 整理得 ．
显然 ，设 ， ，则 ，
故 ，
因为 ，所以 ，
所以点 到直线 的距离即为点 到直线 的距离 ，
所 以
，
因为 ，所以 ，所以 ．
综上， ．
22．【答案】（1） ，单调性见解析；（2）证明见解析．
【解析】（1） ，由 ，解得 ，
∴ ，∴ ，
2 2
18 4
x y+ =
AB | | 2 2CD =
1 2 2 2 2 22ACDS = × × =△
AB CD ( 2)( 0)y k x k= + ≠
2 2
( 2)
2 8
y k x
x y
= +
+ =
y 2 2 2 2(1 2 ) 8 8 8 0k x k x k+ + + − =
0Δ > 1 1( , )C x y 2 2( , )D x y
2
1 2 2
2
1 2 2
8
1 2
8 8
1 2
kx x k
kx x k
+ = − + − ⋅ = +
2 2
2 2
1 2 2 2 2
32 32 4 2(1 )| | 1 | | 1 (1 2 ) 1 2
k kCD k x x k k k
+ += + ⋅ − = + ⋅ =+ +
( )CD ABλ λ= ∈R CD AB∥
A CD O CD 2
| 2 |
1
kd
k
=
+
2 2 2 2
2 2 2 22
1 2 2(1 ) | 2 | 4 2 | | 1 (1 )| | 4 22 1 2 1 2 (1 2 )1ACD
k k k k k kS CD d k k kk
+ ⋅ + += × × = × = =+ + ++△
4 2
4 2 2 2
4 4 12 2 2 2 14 4 1 (1 2 )
k k
k k k
+= = −+ + +
21 2 1k+ > 2 2
10 1(1 2 )k
< <+ 0 2 2ACDS< <△
(0,2 2]ACDS ∈△
2a =
2
1 1( ) ( 0)f x xx ax
′ = − > 1 1(1) 1 2f a
′ = − = 2a =
1( ) ln 2f x x x
= +
2 2
1 1 2 1( )= ( 0)2 2
xf x xx x x
−′ − = >
令 ，解得 ，故 在 上是单调递减；
令 ，解得 ，故 在 上是单调递增．
（2）由 ， 为函数 的两个零点，得 ， ，
两式相减，可得 ，即 ， ，
因此 ， ，令 ，由 ，得 ，
则 ， 构 造 函 数 ，
，所以函数 在 上单调递增，
故 ，即 ，可知 ，故 ．命题得证．
( ) 0f x′ < 10 2x< < ( )f x 1(0, )2
( ) 0f x′ > 1
2x > ( )f x 1( , )2
+∞
1x 2x ( )f x m= 1
1
1ln 2x mx
+ = 2
2
1ln 2x mx
+ =
1 2
1 2
1 1ln ln 02 2x x x x
− + − = 1 1 2
2 1 2
ln 2
x x x
x x x
−= 1 2
1 2
1
2
2ln
x xx x x
x
−=
1
2
1
1
2
1
2ln
x
xx x
x
−
=
2
1
2
1
2
1
2ln
x
xx x
x
−
= 1
2
xt x
=
1 2x x< 0 1t< <
1 2
1 111
2ln 2ln 2ln
tt t tx x t t t
− −−+ = + = 1( ) 2ln (0 1)h t t t tt
= − − < <
2
2 2
1 2 ( 1)( ) 1 0th t t t t
−′ = + − = > ( )h t (0,1)
( ) (1)h t h< 1 2ln 0t tt
− − <
1
12ln
t t
t
−
> 1 2 1x x+ >