数学理卷·2019届河北省永年县第二中学高二12月月考（2017-12） 9页

永年二中高二数学月考试题 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的) 1．命题“∃x0∈R,2x0－3>1”的否定是( ) A．∃x0∈R,2x0－3≤1 B．∀x∈R,2x－3>1 C．∀x∈R,2x－3≤1 D．∃x0∈R,2x0－3>1 2．下列双曲线中，焦点在 y 轴上且渐近线方程为 y＝±2x 的是( ) A．x2－y2 4 ＝1 B.x2 4 －y2＝1 C.y2 4 －x2＝1 D．y2－x2 4 ＝1 3．若抛物线 x2＝2py 的焦点与椭圆x2 3 ＋y2 4 ＝1 的下焦点重合，则 p 的值为( ) A．4 B．2 C．－4 D．－2 4．若 k∈R，则 k>3 是方程 x2 k－3 － y2 k＋3 ＝1 表示双曲线的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 5．曲线 y＝sin x＋ex 在点(0,1)处的切线方程是( ) A．x－3y＋3＝0 B．x－2y＋2＝0 C．2x－y＋1＝0 D．3x－y ＋1＝0 6．已知等比数列{an}的公比 q＝2，且 2a4，a6,48 成等差数列，则{an}的前 8 项和为( ) A．127 B．255 C．511 D.1 023 7．已知双曲线的左、右焦点分别为 F1、F2，过 F1 的直线与双曲线的左支交于 A、B 两点， 线段 AB 的长为 5，若 2a＝8，那么△ABF2 的周长是( ) A．16 B．18 C．21 D．26 8．在△ABC 中，∠ABC＝π 4 ，AB＝ 2，BC＝3，则 sin∠BAC＝( ) A. 10 10 B. 10 5 C.3 10 10 D. 5 5 9．已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点，满足MF1 → ·MF2 → ＝0 的点 M 总在椭圆内部，则椭圆离心率 的取值范围是( ) A．(0,1) B．(0，1 2] C．(0， 2 2 ) D．[ 2 2 ， 1) 10．设 a＞0，b＞0.若 3是 3a 与 32b 的等比中项，则2 a ＋1 b 的最小值为( ) A．8 B.4 C．1 D.1 4 11．已知抛物线 y2＝2x 的弦 AB 的中点的横坐标为3 2 ，则|AB|的最大值为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 12．已知椭圆 E：x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a>b>0)的右焦点为 F(3,0)，过点 F 的直线交 E 于 A，B 两点．若 AB 的中点坐标为(1，－1)，则 E 的方程为( ) A.x2 45 ＋y2 36 ＝1 B.x2 36 ＋y2 27 ＝1 C.x2 27 ＋y2 18 ＝1 D.x2 18 ＋y2 9 ＝1 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．请把正确答案填在题中的横线上) 13．已知函数 f(x)＝xsin x＋ax，且 f′ π 2 ＝1，则 a＝________． 14．设 z＝x＋2y，其中实数 x，y 满足 x－y＋1≥0， x＋y－2≤0， x≥0， y≥0， 则 z 的取值范围是________． 15．已知点 F、A 分别为双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(a＞0，b＞0)的左焦点、右顶点，点 B(0，b)满足FB→·AB→ ＝0，则双曲线的离心率为__________． 16．已知椭圆x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a>b>0)的离心率等于1 3 ，其焦点分别为 A，B.C 为椭圆上异于长轴端 点的任意一点，则在△ABC 中，sin A＋sin B sin C 的值等于________． 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分 10 分)已知等差数列{an}为递增数列，且 a2，a5 是方程 x2－12x＋27＝0 的 两根，数列{bn}的前 n 项和 Tn＝1－1 2bn. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)若 cn＝ 3nbn anan＋1 ， 求数列{cn}的前 n 项和 Sn. 18．(本小题满分 12 分) 已知 a，b，c 分别为△ABC 三个内角 A，B，C 的对边，c＝ 3asin C －ccos A. (1)求 A；(2)若 a＝2，△ABC 的面积为 3，求 b，c. 19、(本小题满分 12 分)四棱锥 PABCD 中，四边形 ABCD 为正方形，PD⊥平面 ABCD，PD ＝DA＝2， F，E 分别为 AD，PC 的中点． (1)求证：DE∥平面 PFB；(2)求点 E 到平面 PFB 的距离． 20．(本小题满分 12 分)已知抛物线 y2＝－x 与直线 y＝k(x＋1)相交于 A，B 两点，O 为坐标 原点． (1)求证：OA⊥OB；(2)当△OAB 的面积等于 10 时，求实数 k 的值． 21．(本小题满分 12 分)如图，在直三棱柱 A1B1C1ABC 中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4， 点 D 是 BC 的中点． (1)求异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值； (2)求平面 ADC1 与平面 ABA1 所成二面角的正弦值． 22、 (本小题满分 12 分)已知点 P 是圆 O：x2＋y2＝9 上的任意一点，过 P 作 PD 垂直 x 轴于 D，动点 Q 满足 DQ  ＝2 3 DP  ． (1)求动点 Q 的轨迹方程； (2)已知点 E(1,1)，在动点 Q 的轨迹上是否存在不重合的两点 M，N，使OE  ＝1 2(OM  ＋ ON  )(O 是坐标原点)，若存在，求出直线 MN 的方程，若不存在，请说明理由． 永年二中高二数学月考试题答案 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的) 1．解析：选 C 由特称命题的否定的定义即知． 2．[解析]选项 A、B 的焦点在 x 轴，故排除 A、B；C 项的渐近线方程为 y2 4 －x2＝0，即 y＝ ±2x，选 C. 3．解析：椭圆x2 3 ＋y2 4 ＝1 的下焦点为(0，－1)，∴p 2＝－1，即 p＝－2.答案： D 4． 解析： 方程 x2 k－3－ y2 k＋3＝1 表示双曲线的条件是(k－3)(k＋3)>0，即 k>3 或 k<－3.故 k>3 是方程 x2 k－3－ y2 k＋3＝1 表示双曲线的充分不必要条件．故选 A. 5．解析：选 C ∵y＝sin x＋ex，∴y′＝cos x＋ex，∴y′＝cos 0＋e0＝2，∴曲线 y＝sin x＋ ex 在点(0,1)处的切线方程为 y－1＝2(x－0)，即 2x－y＋1＝0. 6．解析：∵2a4，a6，48 成等差数列，∴2a6＝2a4＋48，∴2a1q5＝2a1q3＋48，又∵q＝2，∴ a1＝1，∴S8＝ 1×(1－28) 1－2 ＝255.答案：B 7．[答案] D[解析] |AF2|－|AF1|＝2a＝8，|BF2|－|BF1|＝2a＝8，∴|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|) ＝16， ∴|AF2|＋|BF2|＝16＋5＝21，∴△ABF2 的周长为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝21＋5＝26. 8．解析：在△ABC 中，由余弦定理得 AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC＝2＋9－2××3 × 2 2＝5，即得 AC＝.由正弦定理 AC sin∠ABC＝ BC sin∠BAC，即 2＝ 3 sin∠BAC，所以 sin∠BAC＝ 10 10. 答案：C 9．[解析] 依题意得，c