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- 2021-06-02 发布
全*品*高*考*网， 用后离不了！一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
试题分析：要使原函数有意义,则,计算得出，函数的定义域是.所以A选项是正确的.
考点：函数的定义域.
2.已知复数，给出下列四个结论：①；②；③的共轭复数；④的虚部为.其中正确结论的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
考点：复数的运算.
3.已知命题：若，则；命题：若，则.下列说法正确的是（ ）
A．“”为真命题 B．“”为真命题 C．“”为真命题 D．“”为真命题
【答案】A
【解析】
试题分析：由题意可得：命题：若，则，命题为真命题，命题：若，则，命题为假命题，为真命题，综上所述，答案选择：A．
考点：命题真假判断.
4.如图，已知，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
试题分析：.
考点：向量的基本运算.
5.若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
6.已知三条不重合的直线，，，两个不重合的平面，，有下列四个命题：
①若，，则；②若，，且，则；
③若，，，，则；
④若，，，，则.其中正确命题的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
考点：空间线面位置关系.
7.设，分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得，，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
试题分析：由双曲线的定义可得，，由，，则有，即有，即有，即，则，即有，则．故选B．
考点：双曲线的几何性质以及离心率的求解.
8.函数的大致图象是（ ）
【答案】B
【解析】
试题分析：由得，，又时，函数为增函数，且为偶函数，故选B．
考点：函数的奇偶性，对数函数的图象.
9.已知平面直角坐标系中的区域由不等式组给定，若为上的动点，点的坐标为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
考点：简单线性规划和向量的数量积.
10.设，，…，是数列，，…，的一个排列，观察如图所示的程序框图，则输出的的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
11.设等差数列的前项和为，已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
试题分析：令,则,得到在上单调递增,且为奇函数.由条件,有,,即.
,从而,则,,,在上单调递增,,即,所以A选项是正确的.
考点：函数与数列综合.
【思路点晴】本题考查的是函数与数列综合，本题的关键在于通过已知条件的两数列关系式构造函数，则,得到在上单调递增，借助于函数单调性得到，从而，结合等差数列的性质及前和公式可得.
12.定义在上的函数，单调递增，，若对任意，存在，使得成立，则称是在上的“追逐函数”.已知，下列四个函数：
①；②；③；④.其中是在上的“追逐函数”的有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】B
考点：新定义.
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）
13.在中，角，，所对的边长分别为，，，若，且
，则角的大小为________.
【答案】
【解析】
试题分析：由，得，又，，
,.
考点：正、余弦定理的应用.
14.过直线上一点作圆的切线，则切线长的最小值是________.
【答案】
【解析】
试题分析：圆心到直线距离是，，所以切线长的最小值是.
考点：直线与圆的位置关系.
15.已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中的曲线是一段半圆弧，则这个几何体的表面积是________.
【答案】
16.已知函数，，若对任意，存在，使，则实数的取值范围是________.
【答案】
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知公差不为零的等差数列满足：，且，，成等比数列.
（I）求数列的通项公式；
（II）若表示数列的前项和，求数列的前项和.
【答案】(I)；(II).
考点：数列通项，数列求和.
18.某出租车公司为了解本公司出租车司机对新法规的知晓情况，随机对名出租车司机进行调查，调查问卷共道题，答题情况如下表：
答对题目数
女
男
（I）如果出租车司机答对题目大于等于，就认为该司机对新法规的知晓情况比较好，试估计该公司的出租车司机对新法规知晓情况比较好的概率；
（II）从答对题目数小于的出租车司机中选出人做进一步的调查，求选出的人中至少有一名女出租车司机的概率.
【答案】(I)；(II).
19.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，底面，，，为的中点，为棱的中点.
（I）证明：平面；
（II）已知，求点到平面的距离.
【答案】(I)证明见解析；(II).
（II）由（I）可知，平面.
点到平面的距离等于点到平面的距离,所以,
取的中点,连接,所以,,………（7分）
又底面,所以底面.
又,,所以,,,,………（10分）
所以,………（11分）
则点到平面的距离………（12分）
考点：直线与平面平行，点面距.
20.已知椭圆：的左焦点为，其左、右顶点为、，椭圆与轴正半轴的交点为，的外接圆的圆心在直线上.
（I）求椭圆的方程；
（II）已知直线：，是椭圆上的动点，，垂足为，是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.
【答案】(I)；(II)或.
因为,所以
再由求得
所以椭圆的方程为………（7分）
（II）若,即
解得,(显然不符合条件,舍去).
此时所以满足条件的点的坐标为.
综上,存在点或,使得为等腰三角形
考点：椭圆方程，存在性问题.
21.已知函数.
（I）求函数的单调区间；
（II）若在上恒成立，求实数的取值范围；
（III）在（II）的条件下，对任意的，求证：.
【答案】（I）当时，在上单调递增，无单调递减区间，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；（II）；(III)证明见解析.
（II）由（I）知：当时，在上递增，，显然不成立；
当时，，只需即可，
令，则，
在上单调递减，在上单调递增.
.
对恒成立，也就是对恒成立，
，解得，若在上恒成立，则.
(III)证明：，
由（II）得在上恒成立，即，当且仅当时取等号，
又由得，所以有，即.
则，
则原不等式成立. ………（12分）
考点：函数的求导，单调性，最值以及不等式应用.
【方法点晴】本题主要考查函数的单调性，函数导数与不等式，恒成立问题.（II）中根据函数单调性与最值，若在上恒成立，则函数的最大值小于或等于零.当时，在上单调递增，，说明时，不合题意舍去.当时，的最大值小于零.但在上恒成立，所以只能等于零，即可求得答案.（III）要证明一个不等式，我们可以利用第二问的结论.
请考生在第22、23二三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.
22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
自极点任意作一条射线与直线相交于点，在射线上取点，使得，求动点的极坐标方程，并把它化为直角坐标方程.
【答案】，.
则动点的极坐标方程为.………（5分）
极点在此曲线上，方程两边可同时乘，得.
. ………（10分）
考点：相关点法求点的极坐标方程.
23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（I）解不等式；
（II）设，若关于的不等式解集非空，求的取值范围.
【答案】(I)；(II)．
考点：绝对值不等式的解法.