专题8-3+空间点、线、面的位置关系（讲）-2018年高考数学（理）一轮复习讲练测 25页

‎2018年高考数学讲练测【新课标版】【讲】第八章 立体几何 第03节 空间点、线、面的位置关系 ‎【考纲解读】‎ 考 点 考纲内容 ‎5年统计 分析预测 空间点、线、面的位置关系 ‎①理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理和定理；‎ ‎②以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理；‎ ‎③能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.‎ ‎2013•新课标I. 18;II.4,18;‎ ‎2014•新课标I.19;II. 18;‎ ‎2015•新课标I.18;II.19; ‎ ‎2016•新课标I.18;II.14，19;III.19;‎ ‎2017•新课标I.18;II.19；III.16，19.‎ ‎1.以几何体为载体，考查点线面的位置关系，以及异面直线所成角、线面角等，与平行关系、垂直关系等相结合考查的情况.‎ ‎2.判断线线、线面、面面的位置关系.‎ ‎3.备考重点：‎ ‎ (1) 掌握相关定义、公理、定理；‎ ‎(2)掌握平行关系、垂直关系的常见转换方法.‎ ‎【知识清单】‎ ‎1.平面的基本性质 ‎(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)．‎ ‎(2)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)．‎ ‎(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．‎ 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．‎ 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．‎ 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．‎ 对点练习：‎ 下列命题：‎ ‎①三个点确定一个平面；②一条直线和一点确定一个平面；③两条相交直线确定一个平面；④两条平行线确定一个平面；⑤若四点不共面，则必有三点不共线．‎ 其中正确命题是________．‎ ‎【答案】③④⑤‎ ‎2. 空间两直线的位置关系 直线与直线的位置关系的分类 直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况．‎ 平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．‎ 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．‎ 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．‎ 对点练习：‎ ‎【2016高考浙江理数】已知互相垂直的平面交于直线l.若直线m，n满足 则（ ）‎ A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n ‎【答案】C ‎【解析】由题意知，．故选C．‎ ‎3.异面直线所成的角 异面直线所成的角 ‎①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角或直角叫作异面直线a，b所成的角(或夹角)．‎ ‎②范围：.‎ 异面直线的判定方法：‎ 判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线；‎ 反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．‎ 对点练习：‎ ‎【2017课标II，理10】已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎【答案】C ‎【考点深度剖析】‎ 平面的基本性质，点、直线、平面之间的位置关系是高考试题主要考查知识点，题型除了选择题或填空题外，往往在大题中结合平行关系、垂直关系或角的计算间接考查．‎ ‎【重点难点突破】‎ 考点一 平面的基本性质 ‎【1-1】下列叙述中错误的是（ ）．‎ A. 若P∈α∩β且，则P∈l B. 三点A，B，C确定一个平面 C. 若直线a∩b=A，则直线a与b能够确定一个平面 D. 若A∈l，B∈l且A∈α，B∈α，则l⊂α ‎【答案】B ‎【解析】根据公理‎2,‎ 若P∈α∩β，且是α、β的交线，则P∈l，A正确；当A，B，C三点共线时不能确定一个平面，B错误；根据推论‎2,‎若直线a∩b=A，则直线a与b能够确定一个平面，C正确；根据公理‎1，‎若A∈l，B∈l且A∈α，B∈α，则l⊂α，D正确，故选B．‎ ‎【1-2】【江西卷】如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．‎ ‎【答案】4‎ ‎【1-3】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC，BD交于点M，求证：点C1，O，M共线．‎ ‎【答案】见解析.‎ ‎【解析】如图所示，∵A1A∥C1C，‎ ‎∴A1A，C1C确定平面A1C.‎ ‎∵A1C⊂平面A1C，O∈A1C，‎ ‎∴O∈平面A1C，而O＝平面BDC1∩线A1C，∴O∈平面BDC1，‎ ‎∴O在平面BDC1与平面A1C的交线上．‎ ‎∵AC∩BD＝M，‎ ‎∴M∈平面BDC1，且M∈平面A1C，‎ ‎∴平面BDC1∩平面A1C＝C1M，‎ ‎∴O∈C1M，即C1，O，M三点共线．‎ ‎【1-4】如图，直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线．‎ ‎【答案】见解析.‎ ‎【解析】很明显，点S是平面SBD和平面SAC一个公共点，即点S在交线上．由于AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示．‎ ‎∵E∈AC，AC⊂平面SAC，‎ ‎∴E∈平面SAC.‎ 同理，可证E∈平面SBD.‎ ‎∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，则连接SE，直线SE是平面SBD和平面SAC的交线．‎ ‎【领悟技法】‎ 公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据；公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据；公理3是证明三线共点或三点共线的依据．要能够熟练用文字语言、符号语言、图形语言来表示公理．‎ 画几何体的截面，关键是画截面与几何体各面的交线，此交线只需两个公共点即可确定，作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件，可以更快地确定交线的位置．‎ 证明四点共面的基本思路：一是直接证明，即利用公理或推论来直接证明；二是先由其中不共线的三点确定一个平面，再证第四个点也在这个平面内即可．‎ 要证明点共线或线共点的问题，关键是转化为证明点在直线上，也就是利用公理3，即证点在两个平面的交线上．或者选择其中两点确定一直线,然后证明另一点也在直线上.‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式1】如果平面外有两点、，它们到平面的距离都是，则直线和平面的位置关系一定是（ ）．‎ A. 平行 B. 相交 C. 平行或相交 D. ‎【答案】C ‎【解析】若两点在平面同侧，则直线与平面平行，‎ 若在异侧，则直线与平面相交，‎ 故选．‎ ‎【变式2】如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.‎ ‎（Ⅰ）求证：E，F，G，H四点共面；‎ ‎（Ⅱ）设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线．‎ ‎【答案】见解析.‎ ‎【变式3】如图，在四面体ABCD中 ，E，G分别为BC，AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3.求证：EF，GH，BD交于一点．‎ ‎【答案】见解析.‎ ‎【解析】如图，连接GE，FH.‎ 因为E，G分别为BC，AB的中点，‎ 所以GE∥AC.‎ 又因为DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3，‎ 所以FH∥AC.‎ 所以FH∥GE，GH，EF不平行．‎ 所以E，F，H，G四点共面．‎ 所以四边形EFHG是一个梯形．‎ 设GH和EF交于一点O.‎ 因为O在平面ABD内，又在平面BCD内，‎ 所以O在这两个平面的交线上．‎ 因为这两个平面的交线是BD，且交线只有这一条，‎ 所以点O在直线BD上．‎ 这就证明了GH和EF的交点也在BD上，‎ 所以EF，GH，BD交于一点．‎ 综合点评：(1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”).‎ ‎(2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上或选择某两点确定一条直线，然后证明其他点都在这条直线上.‎ 考点二 空间两直线的位置关系 ‎【2-1】已知a，b是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，下列命题中正确的是（ ）．‎ A. a∥b，b∥α，则a∥α B. a，b⊂α，a∥β，b∥β，则α∥β C. a⊥α，b∥α，则a⊥b D. 当a⊂α，且b⊄α时，若b∥α，则a∥b ‎【答案】C ‎【解析】A中，a可能在面α上，错误；‎ B中，a，b可能都平行于α、β相交的直线，错误；‎ C中，正确；‎ D中，直线a和直线b可能异面，错误．‎ 故选C．‎ ‎【2-2】如图，正方体ABCD-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎D‎1‎中，下列结论不正确的是（ ）．‎ A. C‎1‎D‎1‎‎⊥B‎1‎C B. BD‎1‎⊥AC C. BD‎1‎∥B‎1‎C D. ‎‎∠ACB‎1‎=60°‎ ‎【答案】C ‎【解析】BD‎1‎与B‎1‎C是两条异面直线．所以不可能平行,选C.‎ ‎【2-3】如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，‎ ‎①GH与EF平行；‎ ‎②BD与MN为异面直线；‎ ‎③GH与MN成60°角；‎ ‎④DE与MN垂直．‎ 以上四个命题中，正确命题的序号是________．‎ ‎【答案】　②③④‎ ‎【解析】把正四面体的平面展开图还原．如图所示，GH与EF为异 面直线，BD与MN为异面直线，‎ GH与MN成60°角，DE⊥MN.‎ ‎【2-4】如图，三棱柱中，侧棱底面，底面三角形是正三角形，是中点，则下列叙述正确的是（）‎ A．与是异面直线 B．平面 C． D．平面 ‎【答案】C ‎【领悟技法】‎ 空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定，对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、平行公理及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决.‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式1】若两条直线和一个平面相交成等角，则这两条直线的位置关系是(　　)‎ A．平行 B．异面 C．相交 D．平行、异面或相交 ‎【答案】D ‎【解析】当平行、异面或相交时，均有两条直线和一个平面相交成等角的情况出现，故选D.‎ ‎【变式】如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：‎ ‎①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成‎60°‎角；④DM与BN是异面直线．‎ 以上四个结论中，正确的序号是（ ）．‎ A. ③④ B. ②④ C. ①②③ D. ②③④‎ ‎【答案】A ‎【解析】如图所示，画出题目中的正方体，‎ 由图可知①BM与ED是异面直线，错误；‎ ‎②CN∥BE，错误；‎ ‎③CN与BM成‎60°‎角，正确；‎ ‎④DM与BN是异面直线，正确；‎ 正确的选项为③④．故选A．‎ ‎【变式3】【广东卷】若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是(　　)‎ A.l与l1，l2都不相交 B.l与l1，l2都相交 C.l至多与l1，l2中的一条相交 D.l至少与l1，l2中的一条相交 ‎【答案】D ‎【解析】　如图1，l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交，故A，B不正确；如图2，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故C不正确，选D.‎ ‎【变式4】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：‎ ‎①直线AM与CC1是相交直线；‎ ‎②直线AM与BN是平行直线；‎ ‎③直线BN与MB1是异面直线；‎ ‎④直线AM与DD1是异面直线．‎ 其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论的序号都填上)．‎ ‎【答案】③④‎ 综合点评：判定空间两条直线是异面直线的方法：(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线.‎ ‎(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面.‎ 考点3 异面直线所成的角 ‎【3-1】在正方体中，异面直线与所成的角为（ ）‎ A. 90° B. 60° C. 45° D. 30°‎ ‎【答案】C ‎【解析】如图所示，由正方体的性质可知，‎ 则异面直线与所成的角即，‎ 结合正方体的性质可知，‎ 综上可得异面直线与所成的角为45°.‎ 本题选择C选项.‎ ‎【3-2】【大纲全国卷】已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】B ‎【解析】如图所示，取AD的中点F，连EF，CF，则EF∥BD，∴异面直线CE与BD所成的角即为CE与EF所成的角∠CEF. 由题知，△ABC，△ADC为正三角形，设AB＝2，则CE＝CF＝，EF＝BD＝1.‎ ‎∴在△CEF中，由余弦定理，得cos∠CEF ‎＝＝＝，故选B.‎ ‎【3-3】异面直线所成的角，直线，则异面直线直线与所成的角的范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】B ‎【解析】作b的平行线b′，交a于O点， 所有与a垂直的直线平移到O点组成一个与直线a垂直的平面α， O点是直线a与平面α的交点， 在直线b′上取一点P，作垂线PP'⊥平面α，交平面α于P'， ∠POP'是b′与面α的夹角为，在平面α中，所有与OP'平行的线与b′的夹角都是，由于PP'垂直于平面α，所以该线垂直与PP′，则该线垂直于平面OPP'，所以该线垂直与b'， 故在平面α所有与OP'垂直的线与b'的夹角为，与OP'夹角大于0，小于，的线，与b'的夹角为锐角且大于，‎ 故选B.‎ ‎【领悟技法】‎ 求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行．‎ 平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：‎ ‎①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；‎ ‎②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；‎ ‎③计算：求该角的值，常利用解三角形；‎ ‎④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．‎ 求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式1】【2016高考新课标1卷】平面过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,//平面CB1D1,平面ABCD=m,平面AB B1A1=n,则m、n所成角的正弦值为 ‎(A) (B) (C) (D) ‎【答案】A ‎【变式2】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱A1B1，A1D1的中点，则A1B与EF所成角的大小为________．‎ ‎【答案】 ‎【解析】如图，连接B1D1，D1C，B1C.由题意知EF是△A1B1D1的中位线，所以EF∥B1D1.‎ 又A1B∥D1C，所以A1B与EF所成的角等 于B1D1与D1C所成的角．‎ 因为△D1B1C为正三角形，所以∠B1D1C＝.‎ 故A1B与EF所成角的大小为.‎ ‎【变式3】【2017课标3，理16】a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：‎ ‎①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；‎ ‎②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；‎ ‎③直线AB与a所成角的最小值为45°；‎ ‎④直线AB与a所成角的最小值为60°.‎ 其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）‎ ‎【答案】②③‎ ‎【解析】‎ ‎【变式4】如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．已知AB＝2，AD＝2，PA＝2.求：‎ ‎ ‎ ‎（Ⅰ）三角形PCD的面积；‎ ‎（Ⅱ）异面直线BC与AE所成的角的大小．‎ ‎【答案】（1）2；（2）.‎ ‎【解析】（Ⅰ）因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD.‎ 又AD⊥CD，PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD，‎ 从而CD⊥PD.‎ 因为PD＝＝2，CD＝2，‎ 所以三角形PCD的面积为×2×2＝2.‎ ‎（Ⅱ）如图，取PB的中点F，连接EF，AF，则EF∥BC，从而∠AEF(或其补角)是异面直线BC与AE所成的角．‎ 在△AEF中，由EF＝，AF＝，AE＝2知△AEF是等腰直角三角形，‎ 所以∠AEF＝.‎ 因此，异面直线BC与AE所成的角的大小是. ‎ 综合点评：求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移.‎ ‎【易错试题常警惕】‎ 易错典例：l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是(　　)‎ A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3‎ B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3‎ C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面 D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面 错解：A 错因：受平面几何知识限制，未能全面考虑空间中的情况．‎ 正解：在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A错；两平行线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D错．‎ 温馨提醒：1.正确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的含义，不要理解成“不在同一个平面内”. ‎ ‎2. 不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”条件.‎ ‎3.两条异面直线所成角的范围是. ‎ ‎4.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角. ‎ ‎【学科素养提升之思想方法篇】‎ 化抽象为具体——数形结合思想 数形结合是一种重要的数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质. ‎ 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围.‎ 在解答异面直线所成角的问题中，主要存在两类问题，一是“有图考图”，二是 “无图考图”，如：‎ ‎【典例1】已知三棱锥A－BCD中，AB＝CD，且直线AB与CD所成的角为60°，点M，N分别是BC，AD的中点，则直线AB和MN所成的角为________.‎ ‎【答案】60°或30°‎ ‎【解析】‎ 解析　方法一　如图，取AC的中点P，连接PM，PN，则PM∥AB，且PM＝12AB，PN∥CD，且PN＝12CD，所以∠MPN(或其补角)为AB与CD所成的角.‎ 方法二　由AB＝CD，可以把该三棱锥放在长方体AA1BB1－C1CD1D中进行考虑，如图，由M，N分别是BC，AD的中点，‎ 所以MN∥AA1，即∠BAA1(或其补角)为AB与MN所成的角. 连接A1B1交AB于O，‎ 所以A1B1∥CD，即∠AOA1(或其补角)为AB与CD所成的角.所以∠AOA1＝60°或120°，由矩形AA1BB1的性质可得∠BAA1＝60°或30°.所以直线AB和MN所成的角为60°或30°.‎ ‎【典例2】如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AB的中点为M，DD′的中点为N，则异面直线B′M与CN所成的角是________.‎ ‎【答案】90°‎ ‎【解析】‎ 取AA′的中点Q，连接QN，BQ，且BQ与B′M相交于点H，则QN綉AD綉BC，从而有四边形NQBC为平行四边形，所以NC∥QB，则有∠B′HB为异面直线B′M与CN所成的角. ‎ 又∵B′B＝BA，∠B′BM＝∠BAQ＝90°，BM＝AQ，∴△B′BM≌△BAQ，‎ ‎∴∠MB′B＝∠QBM.‎ 而∠B′MB＋∠MB′B＝90°，‎ 从而∠B′MB＋∠QBM＝90°，‎ ‎∴∠MHB＝90°. ‎ ‎ ‎