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- 2021-06-02 发布
东山二中2017-2018学年高二（下）期中考理科数学试卷
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.若复数是实数，则实数的值为 ( )
2.已知随机变量服从正态分布，且，
则等于 ( )
3.计算 （ ）
4.已知条件为减函数，条件关于的方程有实数解，则是的 ( )
充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 不充分不必要条件
5. 已知的取值如表：
从所得的散点图分析，与呈线性相关，且，则（ ）
6.已知；.若为假命题，则实数的取值范围是 ( )
7.设是空间不共面的四个点，且满足，则的形状是 （ ）
钝角三角形 直角三角形 锐角三角形 无法确定.
8.用数学归纳法证明，从
到，左边需要增乘的代数式为 （ ）
； ； ； .
9.某车队准备从甲、乙等7辆车中选派4辆参加救援物资的运输工作，并按出
发顺序前后排成一队，要求甲、乙中至少有1辆参加，且若甲、乙同时参加，
则它们出发时不能相邻，那么不同排法的种数为 （ ）
； ； ；
10.两个实习生每人加工一个零件，他们将零件加工成一等品的概率分别为，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 ( )
11.一个学生通过某种英语听力测试的概率是，他连续测试次，要保证他至少有一次通过的概率大于0.9，那么的最小值为 ( )
12.函数，当在上变化时，设关于的方程的不同实数解的个数为，则的所有可能的值为( )
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）．
13.若的展开式中常数项为，则实数的值为__________．
14.从1,2,3,4,5,6中任取2个不同的数，事件“取到的两个数之和为偶数”，事件“取到的两个数均为偶数”，则 .
15.在平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与椭圆交于第一、二象限内的两点分别为，若的外接圆的圆心为，则双曲线的离心率为 .
16.已知是抛物线上的一点，过点的切线的斜率可通过如下方式求得：在两边同时对求导，得，则，所以过点的切线的斜率，类比上述方法求出双曲线在处的切线方程为 .
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）
已知函数
（1）若函数在处的切线与轴平行，求的值；
（2）在（1）的条件下，求出函数的极值。
18.（本小题满分12分）
为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：
(1)求的值；
(2)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的比例；
(3)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者帮助与性别有关。
19．（本小题满分12分）
某食品厂为了检查甲乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取40件产品作为样本称出它们的质量（单位：克），质量值落在（495,510]的产品为合格品，否则为不合格品。图1是甲流水线样本频率分布直方图，表1是乙流水线样本频数分布表。
(1)求从甲流水线上任取1件产品为合格品的频率；
(2)若以频率作为概率，试估计从甲流水线上任取5件产品（看作有放回抽样），求其中合格品的件数的数学期望及方差；
(3)从乙流水线样本的不合格品中任取2件，求其中超过合格品质量的件数的分布列及期望。
20．（本小题满分12分）
如图所示，在三棱锥中，。
(1)证明：平面平面；
(2)若,在直线上是否存在一点，使得直线与平面所成角为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由。
21．（本小题满分12分）设分别为双曲线的左右顶点，双曲线的实轴长为，焦点到渐近线的距离为.
(1) 求双曲线的方程；
(2) 已知直线与双曲线的右支交于两点，且在双曲线的右支上存在点，使，求的值及点的坐标。
22．（本小题满分12分）已知函数
（1）求函数在上的最小值；
（2）对一切恒成立，求实数的取值范围。
高二（下）数学期中考参考答案及评分标准
一、选择题（每小题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
D
B
A
B
A
C
A
C
B
C
A
二、填空题（每小题5分，共20分）
13. 14. 15. 16. ．
三、解答题：（共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。）
17．（本小题满分10分）
解：（1）的定义域为
因为在处的切线与轴平行，则
即得 …………5分
（2）由（1）知，
则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以当时， 有极大值；
当时， 有极小值 …………10分
18.（本小题满分12分）
解：(1)由表知,
…………3分
(2)需要志愿者提供帮助的老年人的比例为 …………6分
(3)由
故有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者帮助与性别有关。…12分
19．（本小题满分12分）
解：(1)由图1知，从甲流水线上任取1件产品为合格品的频率为 …………2分
(2)依题意，从甲流水线上任取1件产品为合格品的概率为且
…………6分
(3)由表1知，乙流水线样本中的不合格品共10个，超过合格品质量的有4件，
则的所有可能取值为0,1,2，且
，，
所以的分布列为
Y
0
1
2
P
…………12分20．（本小题满分12分）
(1)证明：
平面平面
又平面
平面平面平面.……分
(2)解：由(1)可知平面以为原点，为轴，为轴，过垂直于平面的直线为轴，建立如图的空间直角坐标系，则设是平面的法向量，则，取，得，
设直线上的点满足，则，
直线与平面所成角为，
在直线上存在点，满足，
使得直线与平面所成角为。 …………分
21．（本小题满分12分）
解:⑴双曲线的渐近线方程为,焦点为,
则焦点到渐近线的距离为,又,,
∴双曲线的方程为. …………分
(2)设点,
联立消去化简得,
则
因为，所以
则又点在双曲线上，
所以,
又点在双曲线的右支上，所以
∴点. …………分
22．（本小题满分12分）
解：⑴ 的定义域为
当时，单调递减；
当时，单调递增.
①时，在上单调递增，；
②，即时， .
………………分
⑵则对一切恒成立，
设则
当时，单调递减；
当时，单调递增.
所以
因为对一切恒成立，所以。…………分