安徽省黄山市七校2013届高三上学期联考数学（理）试题 9页

黄山市2013届高三“七校联考” ‎ 理科数学试卷 考生注意：‎ ‎1、本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟；‎ ‎2、答题前，请考生务必将答题卷左侧密封线内的项目填写清楚。请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、填在答题卡上，在试题卷上作答无效；‎ ‎3、请规范、工整书写，保持卷面清洁。‎ 第Ⅰ卷（选择题 满分50分）‎ 一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1. 已知复数满足，其中为虚数单位，则复数的虚部是[来源:学科网ZXXK]‎ ‎ ‎ ‎2. 已知，则 ‎ ‎ ‎3. 设集合，，则 ‎ ‎ ‎4.已知直线是抛物线的一条切线，且与直线平行，则直线的方程是 ‎ ‎ ‎5.已知双曲线的方程为，双曲线的一个焦点到渐近线的距离为（是双曲线的半焦距长），则双曲线的离心率是 ‎ ‎ ‎1 4 5 7‎ ‎4 7 9 3 2 6 3 7 8‎ ‎3 6 8 2 4 5‎ ‎5 3 1 ‎ 乙 甲 第6题图 ‎6. 如图是某种商品前三个季度在甲、乙两 地的月销售数量的茎叶图，则在甲、乙两 地的月销售数量的中位数之和是 A．65 B．64 ‎ C．63 D．62 ‎ ‎7.已知二项式的展开式的二项式 系数之和为，则展开式中含项的系数是 ‎ ‎ ‎8.由曲线与直线所围成的封闭图形面积是 ‎ ‎ ‎9.现有一种密码，它是由个，个，个和个组成的七位代码，则这种密码的个数是 ‎ ‎ ‎10. 给出以下命题：‎ ‎（1），使得；‎ ‎（2）函数在区间上是单调减函数；‎ ‎（3）“”是“”的充分不必要条件；‎ ‎（4）在中，“”是“”的必要不充分条件。‎ 其中是真命题的个数是 ‎ ‎ 第Ⅱ卷（非选择题 满分100分）‎ 正视图 ‎ 侧视图 ‎ 俯视图 ‎ 第11题图 二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置）‎ ‎11.已知某几何体的三视图如图所示，这个几何体的外接球的体积为 。‎ ‎12. 已知实数，满足，则此不等式组表示的平面区域的面积为 。‎ ‎13. 在极坐标系中，点到直线的距离是 。‎ ‎14.在执行右边的程序框图时，如果输入，则输出___________。‎ 第15题图 第14题图 ‎15.如图，在等腰直角中，点是斜边的中点，过点的直线分别交于点，若，其中，则的最小值是 。‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答写在答题卡上的指定区域内）‎ ‎16. （本题12分）已知函数 ‎。‎ ‎（Ⅰ）求函数的最小正周期及单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）若的内角，，的对边分别为，，，若，，，求的面积。‎ ‎17. （本题12分）已知从地去地有两条路可走，并且汽车走路①堵车的概率为；汽车走路②堵车的概率为．若现在有两辆汽车走路①，有一辆汽车走路②，且这三辆车是否堵车相互之间没有影响。‎ ‎（Ⅰ）若这三辆汽车中恰有一辆汽车被堵的概率为，求走公路②堵车的概率；‎ ‎（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求这三辆汽车中被堵车辆的辆数的分布列和数学期望。‎ 第18题图 ‎18. （本题12分）已知在四棱锥中，侧面底面，为中点，，，，。‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值。‎ ‎19.（本题12分）已知函数 ‎。‎ ‎（I）讨论函数的单调性；‎ ‎（II）设函数，试比较与的大小。‎ ‎20. （本题13分）已知数列的前项和为，首项，且对于任意都有。‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，且数列的前项之和为，求证：。‎ ‎21. （本题14分）已知椭圆的中心是原点，对称轴是坐标轴，抛物线的焦点是的一个焦点，且离心率。‎ ‎（I）求椭圆的方程；‎ ‎（II）已知圆的方程是（），设直线与圆和椭圆都相切，且切点分别为，。求当为何值时，取得最大值？并求出最大值。‎ 黄山市2013届高三“七校联考” ‎ 理科数学参考答案 一、选择题：、‎ 二、填空题： ‎ ‎11. 12. 13. 14. 15. ‎ 三、解答题： ‎ ‎16. 解：（Ⅰ）‎ ‎ 函数的最小正周期，‎ ‎ 又由可得 ‎ 函数的单调递增区间为。……………6分 ‎（Ⅱ）解法一：由及（Ⅰ）可得，‎ ‎ 所以，‎ ‎ 即，‎ ‎ 。……………12分 解法二：由及（Ⅰ）可得，‎ 即，，即 ‎ 。……………12分 ‎17. 解：（Ⅰ）由已知条件得 ‎ ‎ 即，则 ……………5分 ‎（Ⅱ）可能的取值为0，1，2，3 ‎ ‎ ； ； [来源:学.科.网Z.X.X.K]‎ ‎ ； ‎ ‎ 的分布列为： ‎ ‎0 ‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎ ‎ 所以 。……………12分 ‎18. （Ⅰ）证明：，为中点 侧面底面，侧面，侧面底面 底面 底面 在中，‎ 在中，‎ 在直角梯形中，‎ 即是以为直角的直角三角形，当然有 是平面内的两条相交直线 平面……………6分 ‎（Ⅱ）解法一：如图建立空间直角坐标系，则，，‎ 假设平面的一个法向量为，平面的法向量为则 由可得，取，得，，即，‎ 由可得，取，得，，‎ 即 ‎ 故二面角的余弦值为。……………12分 第18题图 ‎[来源:学科网]‎ 第18题图 解法二：过点作于点，过点作 于点，连接。则由于平面，平面，所以平面平面，平面，平面平面，∴平面， ∴，，，∴平面，∴，即是二面角的平面角。‎ 在中，，‎ 在中，，‎ 所以，所以 故二面角的余弦值为。……………12分 ‎19.解：（I）函数的定义域显然为 ‎ ‎ ‎ 令可得或即 ‎ 列表如下：‎ ‎—‎ ‎+‎ ‎—‎ ‎+‎ ‎↓‎ ‎↑‎ ‎↓‎ ‎↑‎ 由上表可知函数在区间和上是单调递增函数；在区间和上是单调递减函数。……………6分[来源:学科网ZXXK]‎ ‎（II）设函数， ‎ ‎ 又设函数，则，‎ ‎ 所以当时，，此时为减函数；‎ ‎ 当时，，此时为增函数，‎ ‎ 因而恒成立（等号仅当处取得）‎ ‎ 综上，当或时，，即；‎ ‎ 当，且时，，即。……………12分 ‎20. 解：（Ⅰ）解法一：由①可得当时，②，‎ 由①-②可得，，所以，‎ 即当时，，‎ 所以，将上面各式两边分别相乘得，，即（），又，所以（），此结果也满足，故对任意都成立。……………7分 解法二：由及可得，即，‎ 当时，（此式也适合），对任意正整数均有，当时，（此式也适合），故。……………7分 ‎（Ⅱ）依题意可得 ‎……………13分 ‎21. 解：（I）依题意可设椭圆的方程为，则 因为抛物线的焦点坐标为，所以，又因为，所以，所以，故椭圆的方程为。……………5分 ‎（II）由题意易知直线的斜率存在，所以可设直线：，即 ‎∵直线和圆相切 ∴，即①‎ 联立方程组 消去整理可得，‎ ‎∵直线和椭圆相切 ∴，即②‎ 由①②可得 现在设点的坐标为，则有，‎ ‎，‎ 所以，‎ 所以 等号仅当,即取得 故当时，取得最大值，最大值为。……………14分