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- 2021-06-02 发布
山西省临汾第一中学2017届高三4月月考
文科试题
一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 集合A={x|0＜x≤3}，B={x|x2＜4}，则集合A∪B等于（ ）
A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣2，3] C．（0，+∞） D．（﹣∞，3）
2. 设i是虚数单位，若复数是纯虚数，则a的值为（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
3. 下列函数为奇函数的是（ ）
A．2x﹣ B．x3sinx C．2cosx+1 D．x2+2x
4. 已知变量x，y满足，则z=2x+2y的最小值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
5. 在边长为2的正方形ABCD内部任取一点M，则满足的概率为（ ）
A． B． C． D．
6. 如图所示，已知||=1，||=， =0，点C在线段AB上，且∠AOC=30°，设=m+n（m，n∈R），则m﹣n等于（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
7. 如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是（ ）
(7题) （8题）
A．3+ B．2+ C．2+ D．3+
8. 若[x]表示不超过x的最大整数，执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．10
9.已知函数f（x）=cos（x+）sinx，则函数f（x）的图象（ ）
A．最小正周期为T=2π B．关于点（，﹣）对称
C．在区间（0，）上为减函数 D．关于直线x=对称
10. 已知抛物线y2=2px（p＞0），若定点（2p，1）与直线kx+y+2k+2=0距离的最大值是5，则p的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11. 如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，AB=2，E为对角线BD的中点，将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，若∠PEC=120°，则三棱锥P﹣BCD的外接球的表面积为（ ）
A．28π B．32π C．16π D．12π
12. 定义在R上的函数f（x）满足,f（0）=e+2（其中e为自然对数的底数），则不等式的解集为（ ）
A．（﹣∞，0） B．（﹣∞，e+2） C．（﹣∞，0）∪（e+2，+∞） D．（0，+∞）
一、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中横线上）
13. 若a、b满足条件3+log2a=2﹣log2b（a＞0，b＞0），则的最小值为 ____.
14. 已知为圆O：的两条互相垂直的弦，且垂足为，则四边形ABCD的面积的最大值为______.
15. 不等式ex≥kx对任意实数x恒成立，则实数k的最大值为 _____.
16. 若函数f（x）=x3+2x2+x+a的零点成等差数列，则a= ______.
二、 解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分12分）Sn为数列{an}的前n项和，Sn=2an﹣2（n∈N+）
（1）求{an}的通项公式；
（2）若bn=3nan，求数列{bn}的前n项和Tn．
18. （本小题满分12分）某校在高三抽取了500名学生，记录了他们选修A、B、C三门课的选修情况，如表：
科目
学生人数
A
B
C
120
是
否
是
60
否
否
是
70
是
是
否
50
是
是
是
150
否
是
是
50
是
否
否
（Ⅰ）试估计该校高三学生在A、B、C三门选修课中同时选修2门课的概率．
（Ⅱ）若该高三某学生已选修A，则该学生同时选修B、C中哪门的可能性大？
19. （本小题满分12分）如图，已知在多面体ABCDEF中，ABCD为正方形，EF∥平面ABCD，M为FC的中点，AB=2，EF到平面ABCD的距离为2，FC=2．
（1）证明：AF∥平面MBD；
（2）若EF=1，求VF﹣MBE．
20. （本小题满分12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的焦距为，且椭圆C过点A（1，），
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若O是坐标原点，不经过原点的直线L：y=kx+m与椭圆交于两不同点P（x1，y1），Q（x2，y2），且y1y2=k2x1x2，求直线L的斜率k；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求△OPQ面积的最大值．
21. （本小题满分12分）已知函数．
（Ⅰ）当0＜a≤1时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）是否存在实数a，使f（x）≤x恒成立，若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，说明理由．
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号。
22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
以直角坐标系的原点O为极点，轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的单位长度．已知过点P（1，1）的直线的参数方程是
（I）写出直线的极坐标方程；
（II）设与圆相交于两点A、B，求点P到A、B两点的距离之积
23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数．
（Ⅰ）求的取值范围，使为常函数；
（Ⅱ）若关于的不等式有解，求实数的取值范围．
文科试题答案及解析
1．解：由x2＜4，解得﹣2＜x＜2．
∴B=（﹣2，2），
又集合A={x|0＜x≤3}=（0，3]，
∴A∪B=（﹣2，3]，
故选：B．
2．解：∵a+=是纯虚数，
∴a+，即a=﹣．
故选：A．
3．解：对于函数f（x）=2x﹣，由于f（﹣x）=2﹣x﹣=﹣2x=﹣f（x），故此函数为奇函数．
对于函数f（x）=x3sinx，由于f（﹣x）=﹣x3（﹣sinx）=x3sinx=f（x），故此函数为偶函数．
对于函数f（x）=2cosx+1，由于f（﹣x）=2cos（﹣x）+1=2cosx+1=f（x），故此函数为偶函数．
对于函数f（x）=x2+2x，由于f（﹣x）=（﹣x）2+2﹣x=x2+2﹣x≠﹣f（x），且f（﹣x）≠f（x），
故此函数为非奇非偶函数．
故选：A．
4．解：作出不等式对应的平面区域，
由z=2x+2y，得y=﹣x+z，
平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z和x+y=1平行时，
即经过点A（1，2）时，直线y=﹣x+z的截距最此时小，此时z最小．
此时z的最小值为z=2+2×0=2，
故选：D．
5．解：由题意知，本题是一个几何概型，
如果M点位于以AB为直径的半圆内部，则满足条件，否则，M点位于半圆上及空白部分，则不满足条件，所以概率P= 故选：C
6. 解：∵；∴；∴∠AOB=90°，且；∴；
∴；∴∠OAB=60°；又∠AOC=30°；∴∠OCA=90°；即,
∴===0﹣m+3n﹣0=0；
即3n﹣m=0①；
∵，且A，C，B三点共线；∴m+n=1②；
∴①②联立得，；∴．故选：B．
7．解：根据三视图可知几何体是一个三棱锥，直观图如图所示：
且D是AB的中点，PD⊥平面ABC，PD=AD=BD=CD=1，
∴PD⊥CD，PD⊥AB，由勾股定理得，PA=PB=PC=，
由俯视图得，CD⊥AB，则AC=BC=，
∴几何体的表面积S=+
=2+，
故选：B．
8．解：模拟程序框图的运行过程，如下；
S=0，n=0，
执行循环体，S=0+[]=0，不满足条件n＞6，n=2，S=0+[]=1，不满足条件n＞6，n=4，S=1+[]=3，不满足条件n＞6，n=6，S=3+[]=5，不满足条件n＞6，n=8，S=5+[]=7，
满足条件n＞6，退出循环，输出S的值为7．故选：C．
9．解：∵函数f（x）=cos（x+）sinx=（cosx﹣sinx）•sinx=sin2x﹣•
=（sin2x+cos2x）﹣=sin（2x+）+，
故它的最小正周期为=π，故A不正确；
令x=，求得f（x）=+=，为函数f（x）的最大值，故函数f（x）的图象关于直线x=对称，
且f（x）的图象不关于点（，）对称，故B不正确、D正确；
在区间（0，）上，2x+∈（，），f（x）=sin（2x+）+ 为增函数，故C不正确，
故选：D．
10．解：由kx+y+2k+2=0得k（x+2）+y+2=0，由得，
即直线kx+y+2k+2=0过定点A（﹣2，﹣2），∵定点P（2p，1），
∴当AP垂直直线kx+y+2k+2=0时，距离最大，此时最大值为=5，
即（2p+2）2+9=25，即（2p+2）2=16，得2p+2=4，得p=1，故选：A
11．解：过球心O作OO′⊥平面BCD，则O′为等边三角形BCD的中心，∵四边形ABCD是菱形，A=60°，∴△BCD是等边三角形，∵∠PEC=120°，∴∠OEC=60°；∵AB=2，
∴CE=3，∴EO′=1，CO′=2，∴OO′=，∴球的半径OC==．
∴三棱锥P﹣BCD的外接球的表面积为4π•7=28π，故选：A．
12．解：设g（x）=exf（x）﹣ex+1﹣2（x∈R），
则g′（x）=exf（x）+exf′（x）﹣ex+1=ex[f（x）+f′（x）﹣e]，
∵f（x）+f′（x）＜e，∴f（x）+f′（x）﹣e＜0，
∴g′（x）＜0，∴y=g（x）在定义域上单调递减，
∵f（0）=e+2，∴g（0）=e0f（0）﹣e﹣2=e+2﹣e﹣2＞0，∴g（x）＞g（0），∴x＜0，
∴不等式的解集为（﹣∞，0）故选：A．
13．解：由已知a、b满足条件3+log2a=2﹣log2b（a＞0，b＞0），
得到log2a+log2b=﹣1，所以ab=，即2ab=1，所以+=（+）2ab=2a+2b≥4=2；当且仅当a=b时等号成立；故答案为：
14. 5
15．解：不等式ex≥kx对任意实数x恒成立，即为
f（x）=ex﹣kx≥0恒成立，即有f（x）min≥0，由f（x）的导数为f′（x）=ex﹣k，
当k≤0，ex＞0，可得f′（x）＞0恒成立，f（x）递增，无最大值；
当k＞0时，x＞lnk时f′（x）＞0，f（x）递增；x＜lnk时f′（x）＜0，f（x）递减．
即有x=lnk处取得最小值，且为k﹣klnk，
由k﹣klnk≥0，解得k≤e，即k的最大值为e，故答案为：e．
16．解：f′（x）=3x2+4x+1=0，
令f′（x）=0，解得x=﹣1或﹣．可知：﹣1或﹣分别是函数f（x）的极大值点与极小值点．∵函数f（x）=x3+2x2+x+a的零点成等差数列，∴=0，
∴+2×﹣+a+（﹣1）3+2×（﹣1）2﹣1+a=0，解得a=．
故答案为：．
17．解：（Ⅰ）依题意，Sn=2an﹣2，Sn﹣1=2an﹣1﹣2（n≥2），
两式相减得：an=2an﹣1，又∵S1=2a1﹣2，即a1=2，…………3分
∴数列{an}是首项、公比均为2的等比数列，∴an=2n；…………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得bn=3n×2n，
∴Tn=3×2+6×22+9×23+…+3n×2n，
2Tn=3×22+6×23+…+3（n﹣1）×2n+3n×2n+1，
两式相减得：﹣Tn=3（2+22+23+…+2n）﹣3n×2n+1=3•﹣3n×2n+1
=﹣3（n﹣1）2n+1﹣6，∴Tn=6+3（n﹣1）2n+1．…………7分
18．解：（I）由频率估计概率得P==0.68．…………5分
（Ⅱ）若某学生已选修A，则该学生同时选修B的概率估计为．
选修C的概率估计为，
即这位学生已选修A，估计该学生同时选修C的可能性大．…………7分
19．
解：（ 1）证明：连接AC，设AC与BD交于O点，在正方形ABCD中，O为AC的中点．
∵M是FC的中点，
∴OM∥AF，
∵AF⊄平面MBD，OM⊂平面MBD，
∴AF∥平面MBD．…………6分
（2）∵EF∥平面ABCD，FC=2，EF到平面ABCD的距离为2，
∴FC⊥平面ABCD，平面FBC⊥平面ABCD，
∵四边形ABCD为正方形，则AB⊥平面FBC，
∵EF∥平面ABCD，
∴EF∥AB，∴EF⊥平面FBC．
…………6分
20．解：（Ⅰ）∵椭圆C： =1（a＞b＞0）的焦距为2，且椭圆C过点A（1，），
∴由题意得，可设椭圆方程为，
则，得b2=1，
所以椭圆C的方程为． …………3分
（Ⅱ）由消去y得：（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0，…………6分
△=64k2m2﹣16（1+4k2）（m2﹣1）=16（4k2﹣m2+1）＞0，
，
故．…………2分
又∵，∴，∴．
∵m≠0，∴，解得k=，
∴直线L的斜率为或﹣．…………2分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知直线L的方程为
由对称性，不妨把直线方程与椭圆方程联立，消去y得：2x2+8mx+4m2﹣4=0，△=64m2﹣4（4m2﹣4）＞0，∵P（x1，y1），Q（x2，y2），∴x1+x2=﹣4m，，
设d为点O到直线l的距离，则d==，
当且仅当m2=1时，等号成立．∴△OPQ面积的最大值为1． ……………5分
21．解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
………1分
（1）当0＜a＜1时，由f′（x）＞0得，0＜x＜a或1＜x＜+∞，由f′（x）＜0得，a＜x＜1
故函数f（x）的单调增区间为（0，a）和（1，+∞），单调减区间为（a，1）……………3分
（2）当a=1时，f′（x）≥0，f（x）的单调增区间为（0，+∞）…………1分
（Ⅱ）f（x）≤x恒成立可转化为a+（a+1）xlnx≥0恒成立，
令φ（x）=a+（a+1）xlnx，则只需φ（x）≥0在x∈（0，+∞）恒成立即可，…………2分
求导函数可得：φ′（x）=（a+1）（1+lnx）
当a+1＞0时，在时，φ′（x）＜0，在时，φ′（x）＞0
∴φ（x）的最小值为，由得，
故当时f（x）≤x恒成立，…………2分
当a+1=0时，φ（x）=﹣1，φ（x）≥0在x∈（0，+∞）不能恒成立，…………1分
当a+1＜0时，取x=1，有φ（1）=a＜﹣1，φ（x）≥0在x∈（0，+∞）不能恒成立，………1分
综上所述当时，使f（x）≤x恒成立．…………1分
22．解：（I）因为直线的参数方程是．所以直线的普通方程是。化为极坐标方程为……… 4分
（II）因为点A,B都在直线l上，所以可设它们对应的参数为t1和t2,则点A,B的坐标分别. ………6分
圆化为直角坐标系的方程．……………… 8分
以直线的参数方程代入圆的方程整理得到
①
因为和是方程①的解，从而＝－2．
所以|PA|·|PB|= ||＝|－2|＝2． ………………… 10分
23．（Ⅰ） ………..4分
则当时，为常函数. ………..5分
（Ⅱ）由（1）得函数的最小值为4， ………..8分
则实数的取值范围为. …..10分