- 93.00 KB
- 2021-06-02 发布
2016-2017学年江西省横峰中学高二上学期期中考试文科数学
一、选择题：共12题
1．若，a＞b，则下列不等式成立的是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本题只提供了“a，b，c∈R，a＞b”这个条件，而不等式的基本性质中，几乎都有类似的前提条件，但结论会根据不同的要求有所不同，因而这需要根据本题的四个选项来进行判断.选项A，还需有ab＞0这个前提条件；选项B，当a，b都为负数时不成立.或一正一负时可能不成立，如2＞－3，但22＞(－3)2不正确；对于选项C，，由a＞b就可知，故正确；选项D，当c＝0时不正确.
【备注】对于考查不等式的基本性质的选择题，解答时，一是利用不等式的相关性质，其中，特别要注意不等号变号的影响因素，如数乘、取倒数、开方、平方等；二是对所含字母取特殊值，结合排除法去选正确的选项，这种方法一般要注意选取的值应具有某个方面的代表性，如选取0、正数、负数等.
2．10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14， 12.设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有
A.a>b>c B.b>c>a C.c>a>b D.c>b>a
【答案】D
【解析】对于一组数据，通常要求的是这组数据的众数，中位数，平均数，它们分别表示一组数据的特征，这样的问题可以出现在选择题或填空题．
∵生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12总和为147，
∴平均数,样本数据17出现次数最多，为众数，即；
从小到大排列中间二位的平均数，即中位数．
∵，．
故选D.
3．数据5，7，7，8，10，11的标准差是
A.8 B.4 C.2 D.1
【答案】C
【解析】本题主要考查数据的标准差，根据标准差的公式进行求解即可.
∵5，7，7，8，10，11的平均数是
∴这组数据的方差是
∴这组数据的标准差是
故选C.
4．已知，函数的最小值是
A.5 B.4 C.8 D.6
【答案】B
【解析】本题主要考查利用基本不等式求最值.
,,
当且仅当时，即时“=”成立，
故最小值为4.
故选B.
5．函数f(x)=x2﹣x﹣2，x∈[﹣5，5]，在定义域内任取一点x0，使f(x0)≤0的概率是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本题主要考查一元二次不等式的解法和几何概型.
∵f(x)≤0⇔x2-x-2≤0⇔-1≤x≤2，
∴f(x0)≤0⇔-1≤x0≤2，即x0∈[-1，2]，
∵在定义域内任取一点x0，∴x0∈[-5，5]，
∴使f(x0)≤0的概率
故选C.
6．200辆汽车通过某一段公路时，时速的频率分布直方图如图所示，则时速在[50，70)的汽车大约有
A.60辆 B.80辆 C.70辆 D.140辆
【答案】D
【解析】本题主要考查频率分布直方图应用.
由已知可得样本容量为200，
又∵数据落在区间[50，70]的频率为0.07×10=0.7,
∴时速在[50，70]的汽车大约有200×0.7=140,
故选D.
7．同时掷3枚硬币，至少有1枚正面向上的概率是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本题主要考查等可能事件的概率.
由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件是将一枚硬币连续抛掷三次共有23=8种结果，
满足条件的事件的对立事件是三枚硬币都是正面，有1种结果，
∴至少一次正面向上的概率是，
故选A.
8．若x，y满足约束条件，则的最大值为
A.1 B.3 C.2 D.
【答案】B
【解析】本题主要考查线性规划问题，理解的几何意义是关键.
作出可行域如图中阴影部分所示，
由斜率的意义知，是可行域内一点与原点连线的斜率，
由图可知，点A(1,3)与原点连线的斜率最大，
故的最大值为3.
故选B.
9．已知函数其中.记函数满足的事件为A,则事件A的概率为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本题以二次函数与不等式的运算为载体，着重考查二元不等式组所表示的平面区域和几何概型计算公式的应用.
∵f(x)=x2+bx+c，
∴不等式，即，化简得,以b为横坐标、a为纵坐标建立直角坐标系，
将不等式组和对应的平面区域作出，如图所示,
不等式组对应图中的正方形ODEF，其中D(0.4)，E(4，4)，F(4，0)，O为坐标原点，可得S正方形ODEF=4×4=16,
不等式组对应图中的四边形OHGF，
可得S四边形OHGF=S正方形ODEF-S△DHG-S△EFG=16-2-4=10
∵事件A=，
∴事件A发生的概率为,
故选C.
10．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是
A.0 B. C. D.
【答案】A
【解析】本题考查当型循环结构的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
如图，这个循环结构是当型循环结构，
第一次循环：，n=2；
第二次循环：，n=3；
第三次循环：n=4；
第四次循环：，n=5；
第五次循环：S=0，n=6；
…
n=2015÷5=403，S=0
n+1=2016，退出循环，
∴输出S=0．
故选A.
11．若函数f(x)＝是奇函数，则使f(x)>3成立的x的取值范围为
A.(－∞，－1) B.(－1，0) C.(0，1) D.(1，＋∞)
【答案】C
【解析】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，熟练掌握函数奇偶性的性质，是解答的关键．
∵函数f(x)＝是奇函数，
则在定义域内恒成立，即,
解得：，令，即，
解得：，故选C.
12．若连掷两次骰子，分别得到的点数是m、n，将m、n作为点P的坐标，则点P落在区域内的概率是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本题考查了概率模型的判断及古典概型概率的求法，属于基础题．
由题意，符合古典概型，连续掷两次骰子分别得到的点数m、n依次作P点的横、纵坐标，则其基本事件共有：6×6=36个；
点P满足的有：(1，1)，(1，2)，(1，3)；(2，1)，
(2，2)，(2，3)，(2，4)；(3，1)，(3，2)，(3，3)；(4，2)；
共有11个，
故,
故选D.
二、填空题：共4题
13．某校高中生共有1000人，其中高一年级500人，高二年级300人，高三年级200人，现采用分层抽样法抽取一个容量为100的样本，那么从高一、高二、高三各年级抽取人数分别为 .
【答案】50、30、20
【解析】本题主要考查分层抽样.
,
故从高一、高二、高三各年级抽取人数分别为50；30；20.
14．在一个边长为5cm的正方形内部画一个边长为2cm的正方形，向大正方形内随机投点，则所投的点落入小正方形内的概率是 .
【答案】
【解析】本题主要考查几何概型. 其中分别计算出大小两个正方形的面积，是解答本题的关键.
∵边长为5cm的正方形面积为25cm2，
边长为2cm的正方形面积为4cm2，
∴向大正方形内随机投点，
则所投的点落入小正方形内的概率;
故答案为
15．在R上定义运算：＝ad－bc.若不等式≥1对任意实数x恒成立，则实数a的最大值为________.
【答案】
【解析】本题考查利用恒成立的关系构建关于参数的不等式及一元二次不等式的解法，是中档题．
由定义知不等式变为，
∴，对任意实数x成立，
∵
∴,
解得,
则实数a的最大值为.
16．设a>0，b>0且不等式恒成立，则实数k的最小值等于 .
【答案】-4
【解析】本题属于不等式恒成立问题，是高考常考题型之一．常规思路是先分离参数，再转化为函数最值问题求解．
∵，由，
得，
只需即可．
∵,
∴,
∴，从而实数k的最小值等于-4．
三、解答题：共6题
17．(1) 求不等式的解集：
(2)求函数的定义域：
【答案】解：(1)∵，
∴，
∴，
解得或，即解集为；
(2)令，则，
解得，即定义域为．
【解析】本题考查不等式的解法，考查函数的定义域，考查学生的计算能力，属于基础题．
(1)将二次项系数化为正数，再因式分解，即可得到结论；
(2)令被开方数大于等于0，即可求得函数的定义域．
18．为了解某地房价环比(所谓环比，简单说就是与相连的上一期相比)涨幅情况，如表记录了某年1月到5月的月份x(单位：月)与当月上涨的百比率y之间的关系：
(1)根据如表提供的数据，求y关于x的线性回归方程y=bx+a
(2)预测该地6月份上涨的百分率是多少？
(参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式(b=)
【答案】(1)由题意， =3，=0.2
所以
.
∴回归直线方程为y=0.01x+0.17
(2)当x=6时，y=0.01×6+0.17=0.23
预测该地6月份上涨的百分率是0.23.
【解析】本题考查回归直线方程的应用，回归直线方程的求法，考查计算能力．
(1)利用已知条件求出回归直线方程的有关数据，即可求出回归直线方程．
(2)代入回归直线方程，即可预测该地6月份上涨的百分率．
19．某企业员工500人参加“学雷锋”活动，按年龄分组所得频率分布直方图如下图：完成下列问题：
(1)下表是年龄的频数分布表，求出表中正整数的值；
(2)现在要从年龄较小的第1、2、3组中用分层抽样的方法抽取6人，则年龄在第1,2,3组的各抽取多少人？
(3)在第(2)问的前提下，从这6人中随机抽取2人参加社区活动，求至少有1人年龄在第3组的概率。
【答案】解：(1)由图可知，年龄在[35，40)间的频率为，
故(人)，(人)，
(2)由题意知，第1，2，3组共有300人，现在抽取6人，
其抽样比例为，
所以每组应该抽取的人数为：
第1组：，
第2组：，
第3组：，
(3)设第1组的人为A，第2组的人为B，第3组的人为c，d，e，f现在随机抽取6人，共有：AB，Ac，Ad，Ae，Af，Bc，Bd，Be，Bf，cd，ce，cf，de，df，ef抽取方法，记事件E为“至少有1人来自第3组”，
则.
【解析】本题考查等可能事件的概率及分层抽样方法，考查对立事件的概率，在考虑问题时，若问题从正面考虑比较麻烦，可以从它的对立事件来考虑．
(1)根据频率分布直方图，求出第3、5组的人数，
(2)再计算用分层抽样方法在各组应抽取的人数，
(3)利用列举法求出从从这6人中随机抽取2人参加社区活动，至少有1人年龄在第3组，求出对应的概率即可．
20．已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6.
(1)解关于的不等式f(1)>0；
(2)若不等式f(x)>的解集为(－1,3)，求实数，的值.
【答案】(1)∵f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6，
∴，
∴原不等式可化为a2－6a－3<0，
解得
∴原不等式的解集为{a|3－2b的解集为(－1,3)等价于方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的两根为－1,3，
等价于解得
【解析】本题考查不等式的解法，考查不等式的解集与方程解的关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．
(1)f(1)＞0，即-3+a(6-a)+6＞0，即a2-6a-3＜0，由此可得不等式的解集；
(2)不等式f(x)＞b的解集为(-1，3)，等价于-3x2+a(6-a)x+6＞b的解集为(-1，3)，即-1，3是方程3x2-a(6-a)x-6+b=0的两个根，利用韦达定理可求实数a，b的值．
21．一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4.
(1)从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之积不大于4的概率；
(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求|n﹣m|<2的概率.
【答案】(1)从袋中随机取两球，其一切可能的结果组成的基本事件有：
1和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3和4，共6个，
从袋中取出的球的编号之积不大于4的共有1和2，1和3，1和4，有3个，
因此，所求事件的概率.
(2)先从袋中随机取一个球，
该球的编号为m，将球放回袋中，
然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，
其一切可能的结果(m，n)有：
(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，
(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，
(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共16个.
满足条件|n﹣m|≥2的事件为：
(1，3)，(1，4)，(2，4)，(3，1)，(4，1)，(4，2)，共有6个,则|n﹣m|<2
的事件的概率
【解析】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．
(Ⅰ)从袋中随机取两球，利用列举类求出其一切可能的结果组成的基本事件的个数和从袋中取出的球的编号之积不大于4的事件的个数，由此能求出取出的球的编号之积不大于4的概率．
(Ⅱ)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，利用列举法求出其一切可能的结果的个数和满足条件|n-m|≥2的事件的个数，由此能求出的概率．
22．已知函数.
(1)若对任意的实数，都有，求的取值范围；
(2)当时，的最大值为M，求证：.
【答案】对任意的，都有
对任意的， ，
，∴.
(2)证明：∵
∴，即.
【解析】本题考查了二次函数大于0的恒成立的问题，转化为判别式求解．同时考查了同向不等式相加的性质．属于基础题．
(1)利用二次函数⇔△=(a-2)2-4(b-a)≤0即可求解．
(2)由题意x∈[-1，1]时，f(x)的最大值为M，即，利用不等式的性质可得．