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- 2021-06-02 发布
齐鲁名校教科研协作体
山东省部分重点中学2017年高考冲刺模拟（二）
数学（理）试题
命题学校：德州一中命题人：孟凡志 马英
第Ⅰ卷
说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟，满分150分
注意事项：
1． 答第Ⅰ卷前，考生需将自已的姓名、考号、科目、试卷类型涂写在答题卡上。
2． 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干静，再选涂其他选项
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1．（原创，容易）复数z满足z（2+i）=1+3i，则复数z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解答】解：由z（2+i）=1+3i，
得，
则复数z在复平面内对应的点的坐标为：（1，1），位于第一象限．
故选：A．
【考点】复数的代数表示法及其几何意义．
2．（原创，容易）已知集合，B={x|x﹣1≥0}，则A∩B为（ ）
A． B．
【答案】B
【解答】解：∵集合={x|﹣2≤x＜2}，B={x|x﹣1≥0}={x|x≥1}，
∴A∩B={x|1≤x＜2}= C． D．
【答案】A
【解答】解：不等式表示的区域如图所示，三个交点坐标分别为（0，1），（，3），（2，0）
目标函数z=3|x|+|y﹣3|=3x﹣y+3，即y=﹣3x+z﹣3，
∴目标函数过（2，0）时，取得最大值为9，过（，3）时，取得最小值为
∴目标函数z=3|x|+|y﹣3|的取值范围是
故选A．
【考点】简单线性规划的应用．考查数形结合的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题
6．（选编，容易）已知直线平面，直线平面，下面四个结论：①若，则；②若，则；③若则；④若，则，其中正确的是（ ）
A．①②④ B．③④ C．②③ D．①④
【答案】：D．
【解答】解：由直线平面，直线平面，知：
在①中，若，则由线面垂直的性质定理得，故①正确；
在②中，若，则与平行或异面，故②错误；
在③中，若，则与不一定垂直，故③错误；
在④中，若，则由线面平行的判定定理得，故④正确．
故选：D．
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．
7．（选编，容易）函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】：B
【解答】解：由题意可知A=2，T=4（﹣）=π，ω=2，
因为：当x=时取得最大值2，
所以：2=2sin（2×+φ），
所以：2×+φ=2kπ+，k∈Z，解得：φ=2kπ﹣，k∈Z，
因为：|φ|＜，
所以：可得φ=﹣，可得函数f（x）的解析式：f（x）=2sin（2x﹣）．
故选：B．
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
8．（选编，中档）已知f（x）=2x﹣1，g（x）=1﹣x2，规定：当|f（x）|≥g（x）时，h（x）=|f（x）|；当|f（x）|＜g（x）时，h（x）=﹣g（x），则h（x）（ ）
A．有最小值﹣1，最大值1 B．有最大值1，无最小值C．有最小值﹣1，无最大值 D．有最大值﹣1，无最小值
【答案】：C
【解答】解：画出y=|f（x）|=|2x﹣1|与y=g（x）=1﹣x2的图象，
它们交于A、B两点．由“规定”，在A、B两侧，|f（x）|≥g（x）故h（x）=|f（x）|；
在A、B之间，|f（x）|＜g（x），故h（x）=﹣g（x）．
综上可知，y=h（x）的图象是图中的实线部分，
因此h（x）有最小值﹣1，无最大值．
故选C．
【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法。考查分段函数的解析式及其图象的性质，利用了数形结合的方法，是一道中档题；
9、（改编，较难）已知关于x的方程x3+ax2+bx+c=0的三个实根分别为一个椭圆，一个抛物线，一个双曲线的离心率，则的取值范围（ ）
A、 B、 C、 D、
【解答】C
【解答】解：令f（x）=x3+ax2+bx+c
∵抛物线的离心率为1，∴1是方程f（x）=x3+ax2+bx+c=0的一个实根∴a+b+c=﹣1
∴c=﹣1﹣a﹣b代入f（x）=x3+ax2+bx+c，
可得f（x）=x3+ax2+bx﹣1﹣a﹣b=（x﹣1）（x2+x+1）+a（x+1）（x﹣1）+b（x﹣1）=（x﹣
1）
设g（x）=x2+（a+1）x+1+a+b，则g（x）=0的两根满足0＜x1＜1，x2＞1
∴g（0）=1+a+b＞0，g（1）=3+2a+b＜0
作出可行域，如图所示的几何意义是区域内的点与原点连线的斜率，∴
故答案为：C
【考点】抛物线的简单性质；函数的零点与方程根的关系．
10．已知函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是（）
A． B． C． D．
【解答】：B
【解答】解：根据题意，可知在区间上单增，且是奇函数；
由函数有两个零点，
等价于方程在区间上有两个零点，
令，则满足，得.
故选：B．
【考点】本题考查二次函数的零点与函数零点与方程根的关系的应用，关键点和难点是判断的单调性和奇偶性．
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共5小题,每题5分,共25分
11．（改编，中档）执行如图所示的程序框图，输出的S值为 ．
开始
结束
输出S
否
是
是
否
【答案】﹣6
【解答】解：该程序从i=1开始，直到i=4结束输出S的值，循环体被执行了3次
①i=1，满足i＜4，由于i是奇数，用S﹣i2代替S，得S=﹣1，用i+1代替i，进入下一步；
②i=2，满足i＜4，由于i是偶数，用S+i2代替S，得S=3，用i+1代替i，进入下一步；
③i=3，满足i＜4，由于i是奇数，用S﹣i2代替S，得S=﹣6，用i+1代替i，进入下一步；
④i=4，不满足i＜4，结束循环体，并输出最后一个S值
故答案为：﹣6
【考点】循环结构．
12．（选编，容易）在的展开式中常数项的系数是60，则a的值为 2 ．
【答案】2．
【解答】解：Tr+1==ar，令3﹣=0，解得r=2．
∴=60，a＞0，解得a=2．
故答案为： 2．
【考点】二项式系数的性质．考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
13、（改编，中档）已知直线过圆的圆心，则的最小值为。
【答案】：4
【解答】解：圆心为，则代入直线得：，即，则有，（当且仅当时取等号）
故答案填：4
【考点】：不等式
14．（选编，中档）如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数图象下方的阴影部分区域，则阴影部分E的面积为。
【答案】
【解答】，===
【考点】几何概型与定积分
15.（选编，难）设函数，则满足的的取值范围是_________.
【答案】
【解答】若，显然成立.则有或，解得，
若，由，可知，所以，得
故答案是或
【考点】函数迭代的求解及常用方法，利用好数形结合、分类讨论的思想是解答本题的关键．
三．解答题（共6小题共75分，）
16．(改编，中档)（本题12分）已知向量，，f（x）=．
（1）求函数f（x）的最小正周期及f（x）的最大值；
（2）在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=1，a=2，求三角形ABC面积的最大值．
【解答】解：（1）易得，则f（x）==﹣cos2x+sin2x
=sin（2x﹣）．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅3分
∴f（x）的最小正周期T==π，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅4分
当时，即，f（x）取最大值是．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅6分
（2）∵f（）=sin（A﹣）+=1，∴sin（A﹣）=，∴A=．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅8分
∵a2=b2+c2﹣2bccosA，∴12=b2+c2﹣bc，∴b2+c2=12+bc≥2bc，∴bc≤12．(当且仅当b=c时等号成立)┅┅┅10分
∴S==bc≤3．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅11分
∴当三角形ABC为等边三解形时面积的取最大值是3．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分
【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象，解三角形
17．(选编，中档题)集成电路E由3个不同的电子元件组成，现由于元件老化，三个电子元件能正常工作的概率分别降为，，，且每个电子元件能否正常工作相互独立，若三个电子元件中至少有2个正常工作，则E能正常工作，否则就需要维修，且维修集成电路E所需费用为100元．
（Ⅰ）求集成电路E需要维修的概率；
（Ⅱ）若某电子设备共由2个集成电路E组成，设X为该电子设备需要维修集成电路所需的费用，求X的分布列和期望．
【解答】解：（Ⅰ）三个电子元件能正常工作分别记为事件A，B，C，则P（A）=，P（B）=，P（C）=．
依题意，集成电路E需要维修有两种情形：
① 3个元件都不能正常工作，概率为P1=P（）=P（）P（）P（）=××=．┅┅┅2分
②3个元件中的2个不能正常工作，概率为P2=P（A）+P（B）+P（C）┅┅┅4分
=++×=．
所以，集成电路E需要维修的概率为P1+P2=+=．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅6分
（Ⅱ）设ξ为维修集成电路的个数，则ξ服从B（2，），┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅8分
而X=100ξ，P（X=100ξ）=P（ξ=k）=••，k=0，1，2．
X的分布列为：
X
0
100
200
P
┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅10分
∴EX=0×+100×+200×=．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分
【考点】相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量的期望与方差．
18．（选编，中档题）（本小题满分12分）
圆O上两点C，D在直径AB的两侧（如图甲），沿直径AB将圆O折起形成一个二面角（如图乙），若∠DOB的平分线交弧于点G，交弦BD于点E，F为线段BC的中点．
（Ⅰ）证明：平面OGF∥平面CAD；（Ⅱ）若二面角C﹣AB﹣D为直二面角，且AB=2，∠CAB=45°，∠DAB=60°，求直线FG与平面BCD所成角的正弦值．
【解答】证明：
（Ⅰ）∵OF为△ABC的一条中位线，∴OF∥AC，又OF⊄平面ACD，AC⊂平面ACD，∴OF∥平面ACD．
又∵OG为∠DOB的平分线，∴OG⊥BD，∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BD，
∴OG∥AD，又OG⊄平面ACD，AD⊂平面ACD，∴OG∥平面ACD，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅3分
又∵OG，OF为平面OGF内的两条相交直线，
∴平面OGF∥平面CAD．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅5分
（Ⅱ）∵O为AB的中点，∴CO⊥AB，∵平面CAB⊥平面DAB，平面CAB∩平面DAB=AB，OC⊂平面ABC，
∴CO⊥平面DAB，又Rt△DAB中，AB=2，∠DAB=60°，∴AD=1，又OG∥AD，OG=1，OA=1，
∴四边形ADGO为菱形，∠AOG=120°，设DG中点为M，则∠AOM=90°，即OM⊥OB，
∴直线OM，OB，OC两两垂直，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅7分
以O为原点，以OM，OB，OC为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．
则B（0，1，0），C（0，0，1），D（，，G（，，F（0，，）．
∴=（，，=（0，﹣1，1），=（，﹣，0）．
设平面BCD的法向量为=（x，y，z），则，
∴，令y=1，=（，1，1）．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅9分
∴=1，||=1， =．
∴=．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅11分
∴直线FG与平面BCD所成角的正弦值为．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分
【考点】直线与平面所成的角；平面与平面平行的判定．空间角的计算，空间向量在立体几何中的应用．
19、（原创，中档题）（本小题满分12分）
已知在数列中，，其前项和为，且
（1） 证明是等差数列，并求数列的前项和
（2） 若求数列的前项和
【解答】（1）当时，化简得即，又
所以数列为以1为首项，2为公差的等差数列，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅4分
，则==┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅6分
（2）由（1）得所以，
┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅8分
所以
，①
，②
① ②得，=
┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分
【考点】数列的概念、通项公式及数列求和
20．已知函数，对任意实数，都有成立.
（Ⅰ）对任意实数，函数恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅱ）求证：，.
【解答】解：（Ⅰ）解：，即得┅┅┅┅┅┅1分
，┅┅┅┅┅┅2分
当时，因为，所以，在上单调递减，
此时与不符，（舍）┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅3分
当时，令，
若即时，，，在上单调递增.
成立┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅4分
若即时，设的零点为，
则，. 所以有.
则当时，，，在上单调递减，
与不符，（舍）. ┅┅┅┅┅┅┅┅5分
综上：实数的取值范围是.┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅6分
（Ⅱ）由（Ⅱ）知，当时，恒成立.
即，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅7分
令
则有，即┅┅┅┅┅┅10分
所以
迭加有┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分
所以
故成立. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅13分
【考点】函数零点，利用导数研究函数不等式恒成立问题，
21.（选编，较难）（本小题满分14分）
已知椭圆C：的左、右焦点分别为，点在椭圆C上，满足.
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）直线过点，且与椭圆只有一个公共点，直线与的倾斜角互补，且与椭圆交于异于点的两点，
与直线交于点（介于两点之间）.
(ⅰ)求证：；
(ⅱ)是否存在直线，使得直线、、、的斜率按某种排序能构成等比数列？若能，求出的方程；若不能，请说明理由.
解：（Ⅰ）设，则=，
所以. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 1分
因为=4，所以. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅2分
┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅3分
故椭圆C的标准方程为. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅4分
（Ⅱ）(ⅰ)设方程为，与联立，消得
由题意知，解得.┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅5分
因为直线与的倾斜角互补，所以的斜率是.
设直线方程：，，
联立，整理得，
由，得，
，；
┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅6分
直线、的斜率之和
┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅8分
所以关于直线对称，即，
在和中，由正弦定理得
，，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅9分
又因为，
所以
故成立. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅10分
(ⅱ)由(ⅰ)知，，，. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅11分
假设存在直线，满足题意.不妨设，，
若按某种排序构成等比数列，设公比为，则或或.
所以，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅13分
则，此时直线与平行或重合，与题意不符，
故不存在直线，满足题意. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅14分
【考点】椭圆的简单性质．椭圆方程的求法，注意运用椭圆的定义和点满足椭圆方程，考查存在性问题的解法，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和斜率公式，考查正弦定理的运用，考查化简整理的运算能力.