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- 2021-06-02 发布
成都龙泉第二中学 2017 届高考模拟考试试题（一）
数 学(理工类)
注意事项：
1．本试卷分第 1 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自
己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上．
2．回答第 1 卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷 选择题（共60分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的
1．已知集合 A＝{x|y＝lg(2x－x2)}，B＝{y|y＝2x，x>0}，R 是实数集，则(∁ RB)∩A 等于
A． B．(0,1] C．(－∞，0] D．以上都不对
2. 已知复数 1 ( )1
aiz a Ri
，若 z 为纯虚数，则 a 的值为
A. 1 B. 1
2
C. 1
2
D. 1
3．下列说法中，正确的是
A．命题“若 am2＜bm2，则 a＜b”的逆命题是真命题
B．命题“存在 x∈R，x2﹣x＞0”的否定是：“任意 x∈R，x2﹣x≤0”
C．命题“p 或 q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题
D．已知 x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件
4. 若等差数列{an}的公差 d≠0，前 n 项和为 Sn，若∀n∈N*，都有 Sn≤S10，则
A．∀n∈N*，都有 an＜an﹣1 B．a9•a10＞0
C．S2＞S17 D．S19≥0
5.某工厂生产 A、B、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为 k∶5∶
3，现用分层抽样方法抽出一个容量为 120 的样本，已知 A 种型号产品共
抽取了 24 件，则 C 种型号产品抽取的件数为
A.24 B.30
C.36 D.40
6.一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为
A.1
3
＋2
3
π B.1
3
＋ 2
3
π
C.1
3
＋ 2
6
π D.1＋ 2
6
π
7. 已知实数 满足不等式组 ，则 的最大值为
A.3 B. 5 C.4 D. 6
8. 执行如图所示的程序框图，若输出的 n=6，则输入整数 p 的最小值是
A．17 B． 16 C．18 D． 19
9.设随机变量 ～B（2，p），η～B（3，p），若 5( 1) 9P ，则 P（η
≥2）的值为
A． 20
27
B． 8
27
C． 7
27
D． 1
27
10.已知函数 ( )f x 的定义域为 R ， ( 2) 2021f ，对任意
( , )x ，都有 '( ) 2f x x 成立，则不等式 2( ) 2017f x x 的解
集为
A． ( 2, ) B． ( 2,2) C． ( , 2) D． ( , )
11.在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 ac＝1
4
b2，sin A＋sin C＝psin B，
且 B 为锐角，则实数 p 的取值范围是
A. (1， 2) B.
6
2
， 2
C.
6
2
， 3
D. (1， 3)
12.中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分
别为 cba ,, ，三角形的面积 S 可由公式 ))()(( cpbpappS 求得，其中 p 为三角
形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足
8,12 cba ，则此三角形面积的最大值为
A. 58 B. 54 C. 154 D. 158
第Ⅱ卷 非选择题（共 90 分）
本卷包括必考题和选考题两部分．第 13～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第
22～23 题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把各题答案的最简形式写在题中的
横线上．
13.若两个非零向量 ba, 满足
ababa 2- ，则向量 abba -与 的夹角为
，
.
14． , ,a b c 分别是 ABC 内角 , ,A B C 的对边， 4a c ，sin (1 cos ) (2 cos )sinA B A B ，
则 ABC 面积的最大值为____________.
15．已知 tanα=3，则 sinαsin（ ﹣α）的值是 ．
16.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨，B 原料 2 吨，生产
每吨乙产品要用 A 原料 1 吨，B 原料 3 吨。销售每吨甲产品可获得利润 5 万元，每吨乙产
品可获得利润 3 万元，该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨，B 原料不超过
18 吨，那么该企业可获得最大利润是 万元
三、解答题:（本题包括 6 小题，共 70 分。要求写出证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分 10 分）
在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足 csinA＝acosC.
(1)求角 C 的大小；
(2)求 3sinA－cos ）（
4
B 的最大值，并求取得最大值时角 A，B 的大小．
18.(本小题满分 12 分)
如图(1)，四边形 ABCD 为矩形，PD⊥平面 ABCD，AB＝1，BC＝PC＝2.作如图(2)折叠：
折痕 EF∥DC，其中点 E，F 分别在线段 PD，PC 上，沿 EF 折叠后点 P 叠在线段 AD 上的点记
为 M，并且 MF⊥CF.
(1)证明：CF⊥平面 MDF；
(2)求三棱锥 M－CDE 的体积.
19.(本小题满分 12 分)
某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结
果统计如下：
赔付金额(元) 0 1 000 2 000 3 000 4 000
车辆数(辆) 500 130 100 150 120
(1)若每辆车的投保金额均为 2 800 元，估计赔付金额大于投保金额的概率；
(2)在样本车辆中，车主是新司机的占 10%，在赔付金额为 4 000 元的样本车辆中，车主是
新司机的占 20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为 4 000 元的概率.
20．(本小题满分 12 分)
已知直线 l 的方程为 y=x+2，点 P 是抛物线 y2=4x 上到直线 l 距离最小的点，点 A 是抛
物线上异于点 P 的点，直线 AP 与直线 l 交于点 Q，过点 Q 与 x 轴平行的直线与抛物线 y2=4x
交于点 B．
（Ⅰ）求点 P 的坐标；
（Ⅱ）证明直线 AB 恒过定点，并求这个定点的坐标．
21.(本小题满分 12 分)
设函数 f(x)＝ln x＋ a
ex
.
(Ⅰ)求函数 f(x)的单调区间；
(Ⅱ)若 a＝2，证明：对任意的实数 x>0，都有 f(x)>e－x.
请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时请
写清题号。
22.（本小题满分 10 分）【选修 4—4：坐标系与参数方程】
在极坐标系中，曲线C 的方程为 2 cos2 9 ，点 (2 3, )6P ．以极点O 为原点，极轴为
x 轴的正半轴建立直角坐标系．
（1）求直线 OP 的参数方程和曲线 C 的直角坐标方程；
（2）若直线 OP 与曲线C 交于 A 、 B 两点，求 1 1
| | | |PA PB
的值．
23．（本小题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲．
设函数 f（x）=|x+1|+|2x﹣1|的最小值为 a．
（1）求 a 的值；
（2）已知 m，n＞0，m+n=a，求 的最小值．
成都龙泉第二中学 2017 届高考模拟考试试题（一）
数 学(理工类)参考答案
1—5 BDBDC 6—10 CBBDC 11—12 BA
13.
3
14. 3 15. ﹣ 16. 27
17.解：(1)由正弦定理得 sinCsinA＝sinAcosC.
因为 00.
从而 sinC＝cosC.
又 cosC≠0，所以 tanC＝1，则 C＝
π
4.
(2)由(1)知，B＝
3π
4－A，于是
sinA－cos
π
4＝sinA－cos(π－A)
＝sinA＋cosA＝2sin
π
6.
因为 00，f′(x)＝1
x
－ a
ex2＝ex－a
ex2
①当 a≤0 时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
②当 a>0 时，令 f′(x)＝0，有 x＝a
e
，
x 0，a
e
a
e
a
e
，＋∞
f′(x) － 0 ＋
f(x) 极小值
所以 f(x)的单调减区间为
0，a
e ，单调增区间为
a
e
，＋∞
.6 分
综合①②，当 a≤0 时，f′(x)在(0，＋∞)上单调递增；当 a>0 时，f(x)的单调减区间
为
0，a
e ，单调增区间为
a
e
，＋∞
.
(Ⅱ)要证明 f(x)>e－x，即证明 eln x＋2
x
> 1
ex－1，
下面先证明：ex≥x＋1(x≥0)．
构造函数 h(x)＝ex－(x＋1)(x≥0)，h′(x)＝ex－1.
令 h′(x)＝0 得 x＝0，当 x≥0 时，h′(x)≥0 即 h(x)在 10，＋∞)上单调递增．
∴h(x)＝ex－(x＋1)≥h(0)＝0.
于是有 ex>x＋1，x>0.
∴当 x>0 时，ex－1>x.
从而 1
ex－1<1
x
.9 分
接下来只需证：eln x＋2
x
≥1
x
，
即证：eln x＋1
x
≥0，
令 F(x)＝eln x＋1
x
(x>0)，则 F′(x)＝e
x
－1
x2＝ex－1
x2 ，
所以 F(x)在
0，1
e 上单调递减，
1
e
，＋∞
上单调递增，
即 F(x)≥F
1
e ＝0，
∵x＝1
e
时，ex－1>x，
∴0< 1
ex－1<1
x
，
∴eln x＋2
x
> 1
ex－1.(12 分)
22．解：（1）
33 2
13 2
x t
y t
（t 为参数）， 2 2 9x y ；（2） 2 .
试题解析：（1）∵化为直角坐标可得 (3, 3)P ， = 6
，
∴直线OP 的参数方程为：
33 ,2
13 .2
x t
y t
∵ 2 2 2 2cos sin 9 ，
∴曲线C 的直角坐标方程： 2 2 9x y ，得： 2 4 3 6 0t t ，
∴ 1 2 4 3t t ， 1 2 6 0t t ，
∴ 1 2
1 2 1 2
| |1 1 1 1 2| | | | | | | | | |
t t
PA PB t t t t
．
23.选修 4－5：不等式选讲
解：1）函数 f（x）=|x+1|+|2x﹣1|= ，故函数的减区间为（﹣∞， ]，
增区间为（ ，+∞），
故当 x= 时，函数 f（x）取得最小值为 a= ． --5 分
（2）已知 m，n＞0，m+n=a= ，∴ =（ + ）• = 1+ + +4]= + （ + ）
≥ + •2 =6，当且仅当 = 时，取等号，
故 的最小值为 6．---------------------10