2018-2019学年辽宁省东北育才、实验中学、大连八中、鞍山一中等高二下学期期末联考数学（文）试题（解析版） 18页

‎2018-2019学年辽宁省东北育才、实验中学、大连八中、鞍山一中等高二下学期期末联考数学（文）试题 一、单选题 ‎1．已知集合，集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】,,‎ 所以,选C.‎ ‎2．已知是虚数单位，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】转化条件得，即可得解.‎ ‎【详解】‎ 由题意.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了复数的运算，属于基础题.‎ ‎3．已知点（，27）在幂函数f（x）=（t-2）xa的图象上，则t+a=（ ）‎ A． B．0 C．1 D．2‎ ‎【答案】B ‎【解析】由幂函数可得,再将点代入函数中可得,求解即可 ‎【详解】‎ 解：∵幂函数,则,即,‎ 又∵点在幂函数的图象上，‎ ‎∴,解得,‎ ‎∴‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查幂函数的定义,考查已知函数图象上的一点求参数,属于基础题 ‎4．已知定义在上的函数满足，且当时，，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由可得的周期为，，带入解析式即可求解 ‎【详解】‎ 由可得，，所以 ，故函数的周期为，所以，又当时，，所以，故．故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查抽象函数的基本性质，周期性，注意区分函数的轴对称、点对称、周期性三者的区分．‎ ‎5．下列命题中，①若实数，则；②由圆的性质类比出球的性质是合情推理；③在回归直线方程中，当变量每增加一个单位时，变量一定减少0.2单位；④相关系数越大，则两个变量相关性越强.正确的个数是（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】A ‎【解析】由虚数不能比较大小可判断①，由合情推理的定义可判断②，由回归方程的意义可判断③，由相关系数的意义可判断④，即可得解.‎ ‎【详解】‎ 虚数不能比较大小，故①错误；‎ 由圆的性质类比出球的性质属于类比推理，属于合情推理，故②正确；‎ 由回归方程的意义知只是一个估计值，当变量每增加一个单位时，变量平均减小0.2单位，故③错误；‎ 相关系数的绝对值越接近1，则两个变量相关性越强，故④错误.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题通过判断多个命题的真假，综合考查了虚数的概念、合情推理、回归方程的定义和相关系数的意义，属于基础题.‎ ‎6．已知函数，且，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】转化条件得，计算即可得解.‎ ‎【详解】‎ 由题意得或，解得，‎ ‎.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了分段函数的求值，考查了分类讨论思想，属于基础题.‎ ‎7．在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是（ ）‎ A．若的观测值为6.635，我们有的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病 B．从独立性检验可知有的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们就说某人吸烟，那么他有的可能患有肺病 C．若从统计量中求出有的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有的可能性使得推断出现错误 D．以上三种说法都不正确 ‎【答案】C ‎【解析】根据独立性检验的原理，结合题意逐一判断即可得解.‎ ‎【详解】‎ 若的观测值为6.635，我们有的把握认为吸烟与患肺病有关系，但不能说明在100个吸烟的人中必有99人患有肺病，故A错误；‎ 从独立性检验可知有的把握认为吸烟与患肺病有关系时，是指吸烟和患肺病有关系的概率，并不是某人吸烟，那么他有的可能患有肺病，故B错误；‎ 由独立性检验的原理可知，C正确.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了独立性检验，属于基础题.‎ ‎8．已知偶函数在上单调递增，若，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可得函数在上单调递减，，由即可得解.‎ ‎【详解】‎ 函数为偶函数，，‎ 由函数的单调性可知，，‎ 由函数的单调性可知，，‎ ‎，‎ 又 函数在上单调递增，函数在上单调递减，‎ 即.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数单调性和奇偶性的应用，属于基础题.‎ ‎9．如图是某超市一年中各月份的收入与支出单位：万元情况的条形统计图 已知利润为收入与支出的差，即利润收入一支出，则下列说法正确的是　　‎ A．利润最高的月份是2月份，且2月份的利润为40万元 B．利润最低的月份是5月份，且5月份的利润为10万元 C．收入最少的月份的利润也最少 D．收入最少的月份的支出也最少 ‎【答案】D ‎【解析】利用收入与支出单位：万元情况的条形统计图直接求解．‎ ‎【详解】‎ 在A中，利润最高的月份是3月份，且2月份的利润为15万元，故A错误；‎ 在B中，利润最小的月份是8月份，且8月分的利润为5万元，故B错误；‎ 在C中，收入最少的月份是5月份，但5月份的支出也最少，故5月分的利润不是最少，故C错误；‎ 在D中，收入最少的月份是5月份，但5月份的支出也最少，故D正确．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题真假的判断，考查收入与支出单位：万元情况的条形统计图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．‎ ‎10．已知函数图象如图，是的导函数，则下列数值排序正确的是（ ）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】结合函数的图像可知过点的切线的倾斜角最大，过点的切线的倾斜角最小，又因为点的切线的斜率，点的切线斜率，直线的斜率，故，应选答案C．‎ 点睛：本题旨在考查导数的几何意义与函数的单调性等基础知识的综合运用．求解时充分借助题设中所提供的函数图形的直观，数形结合进行解答．先将经过两切点的直线绕点逆时针旋转到与函数的图像相切，再将经过两切点的直线绕点顺时针旋转到与函数的图像相切，这个过程很容易发现，从而将问题化为直观图形的问题来求解．‎ ‎11．将十进制数37化为二进制数，根据二进制数“满二进一”的原则，采用“除二取余法”，得如下过程：，，，，，，把以上各步所得余数从后面到前面依次排列，从而得到37的二进制数为100101，记作：.类比上述方法，根据三进制数“满三进一”的原则，则（ ）‎ A．1102 B．2011 C．1021 D．2021‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意计算，，，，即可得解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，，，，则.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了数制之间的转化，考查了对新概念的理解，属于基础题.‎ ‎12．若函数的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍，所得函数的图象与函数图象上存在关于原点对称的点，且的最小值为，则实数( )‎ A． B．2 C．3 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先根据函数的图像变换规则及对称性求得相应的函数解析式，然后将题目转化为方程有解，分离a，构造函数，利用导数分析函数的单调性及最值，可得a的范围.‎ ‎【详解】‎ ‎∵函数的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍，‎ ‎∴所得图象的对应函数解析式为 即.‎ 因为曲线关于原点对称的曲线为 ‎，所以当曲线与曲线有交点时，满足题意，‎ 故方程有解，‎ 即有解，‎ 令（），可知直线与的图象有交点 ‎.又 ，‎ 令，可得，（舍去），‎ 故当时，，单调递减；‎ 当时，，单调递增，‎ 故，‎ 故，所以的最小值为，‎ 又的最小值为，∴，‎ 解得，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用导数研究函数图像交点的问题，考查了函数的性质及图像变换的应用，考查了转化思想，属于中档题.‎ 二、填空题 ‎13．已知复数为纯虚数，则实数______.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】根据复数的概念结合题意得，解方程即可得解.‎ ‎【详解】‎ 由题意得解得.‎ 故答案为：1.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了复数的概念，属于基础题.‎ ‎14．设在区间内有极小值点，则实数的取值范围为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】对函数求导后，确定其极小值点为，解不等式即可得解.‎ ‎【详解】‎ 对函数求导得，‎ 若时，，函数单调递增，不合题意；‎ 若时，令即，‎ 当时，，函数单调递减，‎ 当时，，函数单调递增，‎ 为函数的极小值点，‎ 即.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了导数的应用，考查了分类讨论思想与计算能力，属于中档题.‎ ‎15．集合，现有甲、乙、丙三人分别对，，‎ 的值给出了预测，甲说，乙说，丙说.已知三人中有且只有一个人预测正确，那么______.‎ ‎【答案】231‎ ‎【解析】由题意经推理可得，， ，代入计算即可得解.‎ ‎【详解】‎ 若甲正确，则丙错误，则，此时，，故乙也正确，与题设矛盾；‎ 若乙正确，则甲错误，此时，，与题设矛盾；‎ 若丙正确，则甲错误，此时，， 符合题意.‎ 所以，， ，此时.‎ 故答案为：231.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了推理案例及其应用，属于中档题.‎ ‎16．已知函数，若，，则实数的取值范围为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】求出导数后确定函数的单调递增区间，，由题意转化条件得或，即可得解.‎ ‎【详解】‎ 由题意当时，，‎ 则当，，函数单调递增，‎ 当时，，函数单调递减；‎ 当时，，则时，，函数单调递增.‎ 由，可知函数在上单调递增，‎ ‎ 或，‎ ‎.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了导数的应用，考查了分类讨论思想和计算能力，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17．对于不等式，，，它们都是正确的.根据上面不等式的规律，归纳猜想与的大小并加以证明.‎ ‎【答案】，见解析 ‎【解析】提出猜想，对不等式两边同时平方，利用分析法即可证明.‎ ‎【详解】‎ 归纳猜想： .‎ 证明如下：‎ 因为，要证，‎ 只需证： ，‎ 即证： ，‎ 也就是证： ，‎ 只需证： ，‎ 即证： ，显然成立. ‎ 故.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了归纳推理和利用分析法证明不等式，属于基础题.‎ ‎18．设函数.‎ ‎（Ⅰ）若在处取得极值，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若在上为减函数，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）由题意得即可求出，再求出，利用点斜式即可得解；‎ ‎（Ⅱ）转化条件得在恒成立，令，，求出即可得解.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ） ‎ ‎∵在处取得极值,∴，即.‎ 经检验当时符合题意.‎ 又，，‎ 则在处的切线方程为.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，‎ 因为在上为减函数，在恒成立，‎ 即在恒成立，‎ 即在恒成立.‎ 在恒成立.‎ 令，则 令，则在单调递减，.‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了导数的应用和恒成立问题的转化，考查了转化化归思想和计算能力，属于中档题.‎ ‎19．随着人民生活水平的日益提高，某小区居民拥有私家车的数量与日俱增．由于该小区建成时间较早，没有配套建造地下停车场，小区内无序停放的车辆造成了交通的拥堵．该小区的物业公司统计了近五年小区登记在册的私家车数量（累计值，如147表示2016年小区登记在册的所有车辆数，其余意义相同），得到如下数据：‎ 编号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 年份 ‎2014‎ ‎2015‎ ‎2016‎ ‎2017‎ ‎2018‎ 数量（单位：辆）‎ ‎37‎ ‎104‎ ‎147‎ ‎196‎ ‎216‎ ‎（1）若私家车的数量与年份编号满足线性相关关系，求关于的线性回归方程，并预测2020年该小区的私家车数量；‎ ‎（2）小区于2018年底完成了基础设施改造，划设了120个停车位．为解决小区车辆乱停乱放的问题，加强小区管理，物业公司决定禁止无车位的车辆进入小区．由于车位有限，物业公司决定在2019年度采用网络竞拍的方式将车位对业主出租，租期一年，竞拍方案如下：①截至2018年已登记在册的私家车业主拥有竞拍资格；②每车至多中请一个车位，由车主在竞拍网站上提出申请并给出自己的报价；③根据物价部门的规定，竞价不得超过1200元；④申请阶段截止后，将所有申请的业主报价自高到低排列，排在前120位的业主以其报价成交；⑤若最后出现并列的报价，则以提出申请的时间在前的业主成交，为预测本次竞拍的成交最低价，物业公司随机抽取了有竞拍资格的40位业主，进行了竞拍意向的调查，并对他们的拟报竞价进行了统计，得到如图频率分布直方图：‎ ‎（i）求所抽取的业主中有意向竞拍报价不低于1000元的人数；‎ ‎（ii）如果所有符合条件的车主均参与竞拍，利用样本估计总体的思想，请你据此预测至少需要报价多少元才能竞拍车位成功？（精确到整数）‎ 参考公式及数据：对于一组数据，其回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为：；‎ ‎．‎ ‎【答案】（1）,320；（2）（i）12人；（ii）936．‎ ‎【解析】（1）由表中数据，计算得与的值，则线性回归方程可求，取x=7求得y值得答案；‎ ‎（2）（i）由频率直方图求得有意竞拍报价不低于1000元的频率，乘以40得答案．‎ ‎（ii）由题意，．由频率直方图估算知，报价应该在900-1000之间，设报价为x百元，可得．求解x值即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由表中数据，计算得，，，．‎ 故所求线性回归方程为，‎ 令x=7，得；‎ ‎（2）（i）由频率直方图可知，有意竞拍报价不低于1000元的频率为：‎ ‎（0.25+0.05）×1=0.3，‎ 共抽取40位业主，则40×0.3=12，‎ ‎∴有意竞拍不低于1000元的人数为12人．‎ ‎（ii）由题意，．‎ 由频率直方图估算知，报价应该在900-1000之间，‎ 设报价为x百元，‎ 则．‎ 解得x≈9.36．‎ ‎∴至少需要报价936元才能竞拍成功．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是中档题．‎ ‎20．若，，，求证：，，不可能同时大于.‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】利用反证法，先假设，，同时大于，得，再利用基本不等式得出矛盾，即可得证.‎ ‎【详解】‎ 证明：假设，，同时大于.‎ 则由 得，‎ 因为，，，‎ 所以 ‎ ‎ 这与矛盾，所以假设不成立，‎ 故，，不可能同时大于.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了反证法证明不等式成立的应用，考查了基本不等式的应用，属于中档题.‎ ‎21．已知函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数在上的最值；‎ ‎（Ⅱ）试讨论零点个数.‎ ‎【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）当或时，只有一个零点；当或时，有两个零点.‎ ‎【解析】（Ⅰ）由题意得，求得函数的单调性后即可求出最值；‎ ‎（Ⅱ）求导得，当时，在上单调递减，由即可得解；当时，在处取得极大值，令 ‎，根据、和分类讨论，根据零点存在性定理即可得解.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）当时，，，‎ 当时，，当时，，‎ 在上单调递增，在上单调递减，‎ 因，‎ 故，.‎ ‎（Ⅱ）因，.‎ 当时在上恒成立，‎ 在上单调递减，又因为，有唯一的零点；‎ 当时，有时，当时，‎ 在上单调递增，在上单调递减，‎ 在处取得极大值，即最大值，‎ 设，，‎ 当时，有，，在上单调递减，‎ 在上恒成立， 即，‎ 即，，‎ 又因为，‎ 在上有一个零点，‎ 又，所以此时有两个零点； ‎ 当时，有，，在上单调递增，‎ 在上恒成立， 即，‎ 令，则，易知，‎ ‎，‎ ‎，‎ 在上有一个零点，又，所以此时有两个零点； ‎ 当时，，此时有唯一的零点；‎ 综上所述，当或时，只有一个零点；‎ 当或时，有两个零点.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了导数的应用，考查了计算能力和转化化归思想，属于难题.‎ ‎22．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，点P是曲线上的动点，点Q在OP的延长线上，且，点Q的轨迹为．‎ ‎（1）求直线l及曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）若射线与直线l交于点M，与曲线交于点（与原点不重合），求的最大值.‎ ‎【答案】（1）直线l的极坐标方程为.的极坐标方程为 ‎（2）‎ ‎【解析】（1）消参可得直线的普通方程，再利用公式把极坐标方程与直角坐标方程进行转化，从而得到直线的极坐标方程；利用相关点法求得曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）利用极坐标中极径的意义求得长度，再把所求变形成正弦型函数，进一步求出结果．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）消去直线l参数方程中的t，得，‎ 由，得直线l的极坐标方程为，‎ 故．‎ 由点Q在OP的延长线上，且，得，‎ 设，则，‎ 由点P是曲线上的动点，可得，即，‎ 所以的极坐标方程为．‎ ‎（2）因为直线l及曲线的极坐标方程分别为，，‎ 所以，， ‎ 所以，‎ 所以当时，取得最大值，为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，考查了点的轨迹方程的求法，涉及三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，属于中档题．‎ ‎23．已知函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，恒成立，试求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若的解集包含，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）转化条件得，根据恒成立问题的解决方法即可得解；‎ ‎（Ⅱ）转化条件得对恒成立，根据的取值范围分类讨论去绝对值即可得解.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）当时，，‎ 当且仅当时等号成立，.‎ ‎（Ⅱ）时， 恒成立，‎ 对恒成立.‎ 当时，，解得：， ‎ 当时，，解得：， ‎ 综上：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了绝对值不等式的解法和绝对值三角不等式的应用，考查了恒成立问题的解决方法和分类讨论思想，属于中档题.‎