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- 2021-06-02 发布
思南中学2017-2018学年度第二学期半期考试
高二年级数学文科试题
一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1、设集合，集合，则
A. B. C. D.
2、下列函数中，既是偶函数又在区间内单调递减的是
A. B. C. D.
3、在等差数列中,若,公差,那么等于
A. B. C. D.
4、如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某三棱锥的三视图，
则该几何体的体积为
A. B.
C. D.
5、设是两条不同的直线， 是两个不同的平面，给出下列条件，
其中能够推出∥的是
A. ∥，⊥，⊥ B. ⊥，⊥，∥
C. ∥，∥，∥ D. ∥，∥，⊥
6、已知， ，则
A. B. C. D. 1
7、函数的图象大致为
8、函数的部分图象如图所示，为了得到的图象，只需将函数的图象
(A)向左平移个单位长度 (B)向左平移个单位长度
(C)向右平移个单位长度 (D)向右平移个单位长度
9、在区间[-1，1]上随机取一个数，使直线与圆相交的概率为
1. (A) (B) (C) (D)
10、千年潮未落，风起再扬帆，为实现“两个一百年”奋斗目标,思南中学积极响应国家号召，不断加大拔尖人才的培养力度，据不完全统计：
年 份（届）
2014
2015
2016
2017
学科竞赛获省级一等奖及以上学生人数
51
49
55
57
被清华、北大等世界名校录取的学生人数
103
96
108
107
根据上表可得回归方程中的为1.35，我校2018届同学在学科竞赛中获省级一等奖及以上学生人数为63人，据此模型预报我校今年被清华、北大等“双一流”名校录取的学生人数为
A. B. C. D.
11、设函数，若是函数的极大值点，则函数的
极小值为
A. B. C. D.
12、已知、为双曲线的左、右焦点，点为双曲线右支上一点， ，,则双曲线的离心率为
A. B. C. D.
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上）
13、计算：cos215°﹣sin215°= ．
14、有下列各式：
则按此规律可猜想此类不等式的一般形式为：________________．
15、若x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值为
16、函数为偶函数，且在单调递增，则的解集为______________.
三、解答题（共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17、 (本小题满分12分)
已知函数.
（1）当时，求的值域；
（2）已知的内角的对边分别为,，
求的面积.
18、 “中国式过马路”是网友对部分中国人集体闯红灯现象的一种调侃，即“凑够一撮人就可以走了，和红绿灯无关”，某校研究性学习小组对全校学生按“跟从别人闯红灯”，“从不闯红灯”、“带头闯红灯”等三种形式进行调查，获得下表数据：
跟从别人闯红灯
从不闯红灯
带头闯红灯
男生
980
410
60
女生
340
150
60
用分层抽样的方法从所有被调查的人中抽取一个容量为n的样本，其中在“跟从别人闯红灯”的人中抽取了66人．
（Ⅰ）求n的值；
（Ⅱ）在所抽取的“带头闯红灯”的人中，在选取2人参加星期天社区组织的“文明交通”宣传活动，求这2人中至少有一人是女生的概率．
19、 (本小题满分12分)
如图，直三棱柱中，且，
是中点，是中点.
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离.
20、已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|=|OF|，且△A0B的面积为．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线y=2上是否存在点M，使得从该点向椭圆所引的两条切线相互垂直？若存在，求点M的坐标，若不存在，说明理由．
21、已知函数f（x）=﹣x3+x2+b，g（x）=alnx．
（Ⅰ）若f（x）在x∈[﹣，1）上的最大值为，求实数b的值；
（Ⅱ）若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥﹣x2+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围．
22、选修4-4:坐标系与参数方程(本小题满分10分)
在极坐标系中，曲线的方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线的方程为（为参数）.
（1）求曲线的参数方程和曲线的普通方程；
（2）求曲线上的点到曲线的距离的最大值.
思南中学2017-2018学年度第二学期半期考试文科数学答案
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
C
B
B
A
B
D
A
B
C
C
A
C
13．计算：cos215°﹣sin215°= ．
14、
15、2．
16、 ．
解析：由已知为二次函数且对称轴为轴，∴，即．再根据函数在单调递增，可得．令，求得或，故由，可得或，故解集为．
三、解答题
17．（1）题意知，由
∵，∴，∴
可得
（2）∵，∴，∵可得
∵，
∴由余弦定理可得
∴
∴
18、解：（Ⅰ）由题意得，
解得n=100．
（Ⅱ）∵所有参加调查的人数为980+340+410+150+60+60=2000，
∴从在“带头闯红灯”的人中用分层抽样抽取的人数为：
（60+60）×=6，
其中男生为：60×=3人，
女生为60×=3人，
从抽取的“带头闯红灯”的人中选取2人参加星期天社区组织的“文明交通”宣传活动，
基本事件总数n==15，
这2人中至少有一人是女生的对立事件是这2人都是男生，
∴这2人中至少有一人是女生的概率：p=1﹣=．
19. （1）取中点，连结，则∥且.
因为当为中点时，∥且，
所以∥且.
所以四边形为平行四边形，∥，
又因为，，
所以平面；
（2）因为中，，是中点，所以.
又因为直三棱柱中，，，
所以，到的距离为.
因为平面，所以到的距离等于到的距离等于.
设点到平面的距离为.
，，
易求，，解得.
点到平面的距离为.
20、解：（1）∵椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|=|OF|，且△A0B的面积为，
∴=c， =，
∴a=2，b=，
∴椭圆方程为=1．
（2）假设直线y=2上存在点Q满足题意，
设Q（m，2），当m=±2时，从Q点所引的两条切线不垂直．
当m≠±2时，设过点Q向椭圆所引的切线的斜率为k，则l的方程为y=k（x﹣m）+2，
代入椭圆方程，消去y，整理得：（1+2k2）x2﹣4k（mk﹣2）x+2（mk﹣2）2﹣4=0，
∵△=16k2（mk﹣2）2﹣4（1+2k2）[2（mk﹣2）2﹣4]=0，
∴（m2﹣4）k2﹣4mk+2=0，*
设两条切线的斜率分别为k1，k2，
则k1，k2是方程（m2﹣4）k2﹣4mk+2=0的两个根，
∴k1k2==﹣1，
解得m=±，点Q坐标为（，2），或（﹣，2）．
∴直线y=2上两点（，2），（﹣，2）满足题意．
21、解：（1）函数f（x）=﹣x3+x2+b，函数f（x）=﹣3x2+2x，f（x）=0得x=0，x=，
f（x）＞0，0； f（x）＜0，x＜0或
可知：f（x）在x∈[﹣，1）有[﹣，0），（，1）是减区间，（0，）是增区间
f（﹣）=+b，f（）=+b，可以判断）+b=，b=0
所以实数b的值为0
（2）任意x∈[1，e]，都有g（x）≥﹣x2+（a+2）x，g（x）=alnx．
a≤，设T（x）=，x∈[1，e]
T′（X）=，x∈[1，e]，x﹣1≥0，lnx≤1，x+2﹣lnx＞0，
从而t′（x）≥0，t（x）在[1，e]上为增函数．
所以t（x）min=t（1）=﹣1，所以a≤﹣1
22、（1）曲线的参数方程为（为参数）
曲线的普通方程为
（2）设曲线上任意一点，点到的距离
∵ ∴
所以曲线上的点到曲线的距离的最大值为