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- 2021-06-02 发布
板块命题点专练(七) 平面向量与复数
(研近年高考真题——找知识联系，找命题规律，找自身差距)
命题点一 平面向量基本定理 命题指数：☆☆☆☆
难度：低 题型：选择题、填空题
1．(2014·福建高考)在下列向量组中，可以把向量a＝(3,2)表示出来的是( )
A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2)
B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)
C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)
D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3)
2．(2014·陕西高考)设0<θ<，向量a＝(sin 2θ，cos θ)，b＝(cos θ，1)，若a∥b，则tan θ＝ ________.
命题点二 平面向量数量积 命题指数：☆☆☆☆☆
难度：中、低 题型：选择题、填空题
1．(2013·大纲卷)已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝( )
A．－4 B．－3
C．－2 D．－1
2．(2014·新课标全国卷Ⅱ)设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝( )
A．1 B．2
C．3 D．5
3．(2013·福建高考)在四边形ABCD中，＝(1,2)， ＝(－4,2)，则该四边形的面积为( )
A. B．2
C．5 D．10
4．(2014·天津高考)已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BE＝λBC，DF＝μDC.若·＝1，·＝－，则λ＋μ＝( )
A. B.
C. D.
5．(2014·湖北高考)设向量a＝(3,3)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a－λb)，则实数λ＝________.
6．(2014·湖北高考)若向量＝(1，－3)，|| ＝||， ·＝0，则 || ＝________.
7．(2014·山东高考)在△ABC中，已知·＝tan A，当A＝时，△ABC的面积为________．
8．(2014·四川高考)平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝________.
9．(2013·山东高考)已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ ＋，且⊥，则实数λ的值为________.
命题点三 复数,难度：低 命题指数：☆☆☆☆☆
难度：低 题型：选择题、填空题
1．(2014·浙江高考)已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
2．(2014·新课标全国卷Ⅰ)设z＝＋i，则|z|＝( )
A. B.
C. D．2
3．(2014·天津高考)i是虚数单位，复数＝( )
A．1－i B．－1＋i
C.＋i D．－＋i
4．(2014·江西高考)是z的共轭复数．若z＋＝2，(z－)i＝2(i为虚数单位)，则z＝( )
A．1＋i B．－1－i
C．－1＋i D．1－i
5．(2014·江苏高考)已知复数z＝(5＋2i)2(i为虚数单位)，则z的实部为________．
6．(2014·上海高考)若复数z＝1＋2i，其中i是虚数单位，则·＝________.
答案
命题点一
1．选B 由题意知，A选项中e1＝0，C，D选项中两向量均共线，都不符合基底条件，故选B，事实上，a＝(3,2)＝2e1＋e2.
2．解析：因为a∥b，所以sin 2θ＝cos2θ，2sin θcos θ＝cos2θ.因为0＜0＜，所以cos θ＞0，得2sin θ＝cos θ，tan θ＝.
答案：
命题点二
1．选B 由题意可得m＋n＝(2λ＋3,3)，m－n＝(－1，－1)，
因为(m＋n)⊥(m－n)，所以(m＋n)·(m－n)＝0，
所以(2λ＋3)×(－1)＋3×(－1)＝0，解得λ＝－3.
2．选A 由条件可得，(a＋b)2＝10，(a－b)2＝6，两式相减得4a·b＝4，所以a·b＝1.
3．选C 依题意得，·＝1×(－4)＋2×2＝0.所以⊥，所以四边形ABCD的面积为||·||＝××＝5.
4.选C 如图所示，以菱形ABCD的两条对角线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系xOy，不妨设A(0，－1)，B(－，0)，C(0,1)，D(，0)，由题意得＝(1－λ)＝(λ－，λ－1)，＝(1－μ)＝(－μ，μ－1)．
因为·＝－，
所以3(λ－1)·(1－μ)＋(λ－1)·(μ－1)＝－，
即(λ－1)(μ－1)＝.
因为＝＋＝(λ－，λ＋1)，
＝＋＝(－μ，μ＋1)，
又·＝1，所以(λ＋1)(μ＋1)＝2.
由整理得λ＋μ＝.
5．解析：(a＋λb)⊥(a－λb)⇒(a＋λb)·(a－λb)＝a2－λ2b2＝0⇒18－2λ2＝0⇒λ＝±3.
答案：±3
6．解析：法一：设＝(x，y)，由||＝||知，＝，又 ·＝x－3y
＝0，所以x＝3，y＝1或x＝－3，y＝－1.当x＝3，y＝1时，|| ＝2；当x＝－3，y＝－1时，|| ＝2.则|| ＝2.
法二：由几何意义知，||就是以，为邻边的正方形的对角线长，所以||＝2.
答案：2
7．解析：根据平面向量数量积的概念得
·＝||·||cos A，
当A＝时，根据已知可得||·||＝，
故△ABC的面积为||·||·sin ＝.
答案：
8．解析：由已知可以得到c＝(m＋4,2m＋2)，
且cos〈c，a〉＝cos〈c，b〉，所以＝，
又|b|＝2|a|，所以2c·a＝c·b，
即2＝4(m＋4)＋2(2m＋2)，
解得m＝2.
答案：2
9．解析：＝－，由于⊥，所以·＝0，即(λ＋)·(－)＝－λ＋＋(λ－1)·＝－9λ＋4＋(λ－1)×3×2×＝0，解得λ＝.
答案：
命题点三
1．选A 当a＝b＝1时，(a＋bi)2＝(1＋i)2＝2i，反之，若(a＋bi)2＝2i，则有a＝b＝－1或a＝b＝1，因此选A.
2．选B ＋i＝＋i＝＋i＝＋i，则|z|＝ ＝，选B.
3．选A ＝＝＝1－i.选A.
4．选D 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，又z＋＝2，即(a＋bi)＋(a－bi)＝2，所以2a＝2，解得a＝1.又(z－)i＝2，即[(a＋bi)－(a－bi)]·i＝2，所以bi2＝1，解得b＝－1.所以z＝1－i.
5．解析：复数z＝(5＋2i)2＝21＋20i，其实部是21.
答案：21
6．解析：∵z＝1＋2i，∴＝1－2i.
∴·＝z·＋1＝5＋1＝6.
答案：6