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- 2021-06-02 发布
2017-2018学年黑龙江省牡丹江市第一高级中学高二下学期期中考试理科数学试题
一、选择题（每题5分）
1、从台甲型和4台乙型电视机中任取出台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同取法数为（ ）
A. 60 B. 30 C. 20 D. 40
2、若，则等于（ ）
A. B. C. D.
3、用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字且比1000大的奇数共有（ ）个
A. 36 B. 48 C. 66 D. 72
4、的展开式中的系数为（ ）
A. B. 84 C. D. 280
5、 设为曲线上的点，且曲线在点处的切线的倾斜角的取值范围是，则点的横坐标的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
6、 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7、如图，阴影部分的面积是（ ）.
A. B. C. D.
8、若，则 的解集为
A. B.
C. D.
9、已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
10、函数在上可导，其导函数为，且函数 的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）
A. 函数有极小值和极大值
B. 函数 有极大值和极小值
C. 函数有极小值和极小值
D. 函数有极大值和极小值
11、若，，，则（ ）
A. B. C. D.
12、设函数是偶函数的导函数，在区间上的唯一零点为2，并且当时，，则使得成立的的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（每题5分）
13、已知函数的图象在点处的切线的斜率为，则的最小值为________________
14、设函数，若关于的方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是_________________
15、已知，则的值为______________
16、 已知函数若有且只有一个整数解，则的取值范围为_________________
三、解答题（10+12+12+12+12+12）
17、 （1）求函数过点的切线方程。
（2）曲线在处的切线与直线的距离为，求直线的方程．
18、2017年5月14日,第一届“一带一路”国际高峰论坛在北京举行,为了解不同年龄的人对“一带一路”关注程度,某机构随机抽取了年龄在15-75岁之间的100人进行调查, 经统计“青少年”与“中老年”的人数之比为9:11
关注
不关注
合计
青少年
15
中老年
合计
50
50
100
(1)根据已知条件完成上面的列联表，并判断能否有的把握认为关注“一带一路”是否和年龄段有关？
(2)现从抽取的青少年中采用分层抽样的办法选取9人进行问卷调查.在这9人中再选取3人进行面对面询问,记选取的3人中关注“一带一路”的人数为X,求X的分布列及数学期望.
附:参考公式，其中
临界值表：
0.05
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
19、某校从学生会宣传部6名成员(其中男生4人，女生2人)中，任选3人参加某省举办的“我看中国改革开放三十年”演讲比赛活动．
(1)设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列；
(2)求男生甲或女生乙被选中的概率；
(3)设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，求P(B)和P(B|A)．
20、已知函数
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在R上单调递增，求实数的取值范围.
21、已知函数 (， 为自然对数的底数).
（Ⅰ）求函数的极值；
（Ⅱ）当时，若直线与曲线没有公共点，求的最大值.
22、已知函数
（1）若函数在区间上为增函数，求实数的取值范围；
（2）求证：对于任意大于的正整数，都有.
高二理科数学下学期期中考试参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
D
D
C
C
A
D
B
A
B
C
A
题号
13
14
15
16
答案
9
233
17、（1）（2）y＝2x＋6或y＝2x－4.
18、(1)依题意可知,抽取的“青少年”共有人,“中老年”共有人.
完成的2×2列联表如：
关注
不关注
合计
青少年
15
30
45
中老年
35
20
55
合计
50
50
100
则
因为， ，所以有的把握认为关注“一带一路” 和年龄段有关
(2)根据题意知,选出关注的人数为3,不关注的人数为6,在这9人中再选取3人进行面对面询问, 的取值可以为0,1,2,3,则
, , , .
0
1
2
3
所以的分布列为数学期望
19、【答案】（1）见解析（2）（3）
解析：(1)ξ的所有可能取值为0, 1,2，依题意得P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝.
∴ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
(2)设“甲、乙都不被选中”为事件C，
则P(C)＝＝＝.
∴所求概率为P()＝1－P(C)＝1－＝.
(3) P(B)＝＝＝；P(B|A)＝＝＝.
20、【答案】(1) ex－y＋1＝0；(2) [ln 2－1，＋∞).
(1)函数的解析式：f(x)＝ex－x2＋2x，
f′(x)＝ex－2x＋2，∴f′(1)＝e，又f(1)＝e＋1，
∴所求切线方程为y－(e＋1)＝e(x－1)，即ex－y＋1＝0.
(2)f′(x)＝ex－2x＋2a，∵f(x)在R上单调递增，∴f′(x)≥0在R上恒成立，
∴a≥x－在R上恒成立，令g(x)＝x－，
则g′(x)＝1－，令g′(x)＝0，则x＝ln 2，
在(－∞，ln 2)上，g′(x)>0；在(ln 2，＋∞)上，g′(x)<0，
∴g(x)在(－∞，ln 2)上单调递增，在(ln 2，＋∞)上单调递减，
∴g(x)max＝g(ln 2)＝ln 2－1，∴a≥ln 2－1，∴实数a的取值范围为[ln 2－1，＋∞).
21、【答案】（1）见解析（2）的最大值为1.
试题解析：（Ⅰ） ，
①当时， ， 为上的增函数，所以函数无极值.
②当时，令，得， .
， ； ， .
所以在上单调递减，在上单调递增，
故在处取得极小值，且极小值为，无极大值.
综上，当时，函数无极小值；
当， 在处取得极小值，无极大值.
（Ⅱ）当时， .
直线与曲线没有公共点，
等价于关于的方程在上没有实数解，即关于的方程：
在上没有实数解.
①当时，方程可化为，在上没有实数解.
②当时，方程化为.
令，则有
令，得，
当变化时， 的变化情况如下表：
-1
-
0
+
↘
↗
当时， ，同时当趋于时， 趋于，
从而的取值范围为.
所以当时，方程无实数解，
解得的取值范围是.
综上，得的最大值为1.
22、【答案】（1）；（2）证明见解析.
（1）∵,∴（）,
∵在上为增函数，∴对任意恒成立.
∴对任意恒成立，
即对任意恒成立.∵时，，
∴，即所求正实数的取值范围是.
（2）当时，，
当时，，故在上是增函数.
当时，令，则当时，，所以
，所以
所以即
所以即对于任意大于 则正整数 ，都有