【数学】2020届一轮复习（文）通用版8-3直线、平面平行的判定与性质作业 21页

‎§8.3　直线、平面平行的判定与性质 挖命题 ‎【考情探究】‎ 考点 内容解读 ‎5年考情 预测热度 考题示例 考向 关联考点 直线、平面平行的判定与性质 ‎①了解直线与平面、平面与平面间的位置关系;②认识和理解空间中直线、平面平行的有关性质和判定;③能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题 ‎2017课标全国Ⅰ,6,5分 线面平行的判定 ‎—‎ ‎★★★‎ ‎2016课标全国Ⅲ,19,12分 线面平行的判定,三棱锥的体积 线线平行的判定,体积公式 ‎2016四川,17,12分 线面平行与面面垂直的判定 探索性问题的求解 分析解读　　从近几年的高考试题来看,高考对本节内容的考查比较平稳,一般通过对图形或几何体的认识,考查直线与平面平行以及平面与平面平行的判定和性质,题型以解答题为主,偶尔也会出现在小题之中,以命题判断居多,难度适中,主要考查直线、平面平行间的转化思想,同时也考查学生的空间想象能力以及逻辑推理能力,分值约为6分.‎ 破考点 ‎【考点集训】‎ 考点　直线、平面平行的判定与性质 ‎1.已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列说法中正确的是(　　)‎ A.若m⊂α,n⊂β,m∥n,则α∥β B.若m⊂α,n⊂β,α∥β,则m∥n C.若m⊂α,n⊂β,α∥β,且m,n共面,则m∥n D.若m∥n,m∥α,n∥β,则α∥β 答案　C　‎ ‎2.(2019届河南豫北六校11月联考,5)如图,在四棱锥P-ABCD中,M,N分别为AC,PC上的两点,且MN∥平面PAD,则(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 ‎ A.MN∥PD B.MN∥PA C.MN∥AD D.以上均有可能 答案　B　‎ ‎3.如图所示,平面四边形ABCD所在的平面与平面α平行,且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形,则四边形ABCD的形状一定是　　　　　　. ‎ 答案　平行四边形 ‎4.(2019届山西太原五中期中考试,14)在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱A1B1,B1C1的中点,P是棱AD上的一点,AP=a‎3‎,过P,M,N的平面与棱CD交于点Q,则PQ=　　　　. ‎ 答案　‎2‎‎2‎‎3‎a ‎5.如图,四边形ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外的一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH,求证:AP∥GH.‎ 证明　如图,连接AC,设AC交BD于O,连接MO.‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴O是AC的中点.‎ 又M是PC的中点,‎ ‎∴MO∥PA.‎ 又MO⊂平面BDM,PA⊄平面BDM,‎ ‎∴PA∥平面BDM.‎ 又经过PA与点G的平面交平面BDM于GH,‎ ‎∴AP∥GH.‎ ‎6.(2019届河北邯郸10月调研,18)如图,在四棱锥S-ABCD中,侧棱SA⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,AD∥BC,AB⊥AD,且SA=AB=BC=2,AD=1,M是棱SB的中点.‎ ‎(1)求证:AM∥平面SCD;‎ ‎(2)求三棱锥B-MAC的体积.‎ 解析　(1)证明:取SC的中点N,连接MN,ND.‎ ‎∵M,N分别是SB,SC的中点,∴MN∥BC,且MN=‎1‎‎2‎BC.‎ ‎∵AD∥BC,且AD=‎1‎‎2‎BC,∴MN∥AD且MN=AD.‎ ‎∴四边形AMND为平行四边形,∴AM∥ND.‎ 又AM⊄平面SCD,ND⊂平面SCD.‎ ‎∴AM∥平面SCD.‎ ‎(2)∵SA⊥底面ABCD,∴SA⊥BC,又BC⊥AB,SA∩AB=A,‎ ‎∴BC⊥平面SAB,‎ ‎∴VB-MAC=VC-MAB=‎1‎‎3‎·S△MAB·BC=‎1‎‎3‎×‎1‎‎2‎×(‎2‎)2×2=‎2‎‎3‎.‎ ‎7.(2017河北衡水中学期中,18)如图,已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是等腰梯形,AB∥CD,点O是线段AB的中点,PO⊥平面ABCD,PO=CD=DA=‎1‎‎2‎AB=4,M是线段PA的中点.‎ ‎(1)证明:平面PBC∥平面ODM;‎ ‎(2)求点A到平面PCD的距离.‎ 解析　(1)证明:由题意,得CD∥BO,且CD=BO,‎ ‎∴四边形OBCD为平行四边形,∴BC∥OD.‎ ‎∵BC⊂平面PBC,OD⊄平面PBC,‎ ‎∴OD∥平面PBC.‎ 又∵AO=OB,AM=MP,∴OM∥PB.‎ 又OM⊄平面PBC,PB⊂平面PBC,‎ ‎∴OM∥平面PBC.‎ 又OM∩OD=O,‎ ‎∴平面PBC∥平面ODM.‎ ‎(2)取CD的中点N,连接ON,PN,如图所示,则ON⊥CD.‎ ‎∵PO⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴PO⊥CD.‎ 又∵ON⊥CD,PO∩ON=O,∴CD⊥平面PNO.‎ ‎∵PN⊂平面PNO,∴CD⊥PN.‎ ‎∴ON,PN分别为△ACD,△PCD的公共边CD上的高.‎ 由题意可求得ON=2‎3‎,则PN=2‎7‎,‎ 设点A到平面PCD的距离为d.‎ ‎∵V三棱锥A-PCD=V三棱锥P-ACD,‎ 即‎1‎‎3‎×‎1‎‎2‎×4×2‎7‎×d=‎1‎‎3‎×‎1‎‎2‎×4×2‎3‎×4,‎ ‎∴d=‎4‎‎21‎‎7‎.即点A到平面PCD的距离为‎4‎‎21‎‎7‎.‎ 炼技法 ‎【方法集训】‎ 方法1　证明线面平行的方法 ‎1.(2019届湖北重点中学9月调研,19)如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是正方形,SA⊥底面ABCD,SA=AB=2,点M是SD的中点,AN⊥SC,且交SC于点N.‎ ‎(1)求证:SB∥平面ACM;‎ ‎(2)求点C到平面AMN的距离.‎ 解析　(1)证明:连接BD交AC于E,连接ME.‎ ‎∵四边形ABCD是正方形,∴E是BD的中点.‎ 又∵M是SD的中点,∴ME是△DSB的中位线.∴ME∥SB.‎ 又∵ME⊂平面ACM,SB⊄平面ACM,∴SB∥平面ACM.‎ ‎(2)由题意知DC⊥SA,DC⊥DA,又SA∩DA=A,∴DC⊥平面SAD,又AM⊂平面SAD,∴AM⊥DC.‎ ‎∵SA=AD,M是SD的中点,∴AM⊥SD.‎ 又DC∩SD=D,‎ ‎∴AM⊥平面SDC,又SC⊂平面SDC,∴SC⊥AM.‎ ‎∵SC⊥AN,AM∩AN=A,∴SC⊥平面AMN.‎ 于是CN⊥平面AMN,则CN的长为点C到平面AMN的距离.‎ 在Rt△SAC中,SA=2,AC=2‎2‎,∴SC=SA‎2‎+AC‎2‎=2‎3‎,‎ 由AC2=CN·SC⇒CN=‎4‎‎3‎‎3‎,‎ ‎∴点C到平面AMN的距离为‎4‎‎3‎‎3‎.‎ ‎2.(2018江西南昌二中月考,19)在直三棱柱ABC-A'B'C'中,∠BAC=90°,AB=AC=‎2‎,AA'=1,点M,N分别为A'B和B'C'的中点.‎ ‎(1)证明:MN∥平面A'ACC';‎ ‎(2)求三棱锥A'-MNC的体积.‎ 解析　(1)证法一:连接AB',AC',‎ 因为三棱柱ABC-A'B'C'为直三棱柱,‎ 所以M为AB'的中点.又因为N为B'C'的中点,‎ 所以MN∥AC',‎ 又MN⊄平面A'ACC',AC'⊂平面A'ACC',‎ 所以MN∥平面A'ACC'.‎ 证法二:取A'B'的中点P,连接MP,NP.‎ 因为M,N分别为A'B和B'C'的中点,‎ 所以MP∥BB',NP∥A'C',易知AA'∥BB',所以MP∥AA'.‎ 因为MP⊄平面A'ACC',AA'⊂平面A'ACC',‎ 所以MP∥平面A'ACC',同理,NP∥平面A'ACC'.‎ 又MP∩NP=P,因此平面MPN∥平面A'ACC'.‎ 而MN⊂平面MPN,因此MN∥平面A'ACC'.‎ ‎(2)解法一:连接BN,由题意知A'N⊥B'C',因为平面A'B'C'∩平面B'BCC'=B'C',平面A'B'C'⊥平面B'BCC',‎ 所以A'N⊥平面NBC.又A'N=‎1‎‎2‎B'C'=1,‎ 故VA'-MNC=VN-A'MC=‎1‎‎2‎VN-A'BC=‎1‎‎2‎VA'-NBC=‎1‎‎6‎.‎ 解法二:连接BN.VA'-MNC=VA'-NBC-VM-NBC=‎1‎‎2‎VA'-NBC=‎1‎‎6‎.‎ 方法2　证明面面平行的方法 ‎1.(2018吉林长春质量监测,19)如图,在四棱锥P-ABCD中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面ABCD,PA=2,AB=1.设M,N分别为PD,AD的中点.‎ ‎(1)求证:平面CMN∥平面PAB;‎ ‎(2)求三棱锥P-ABM的体积.‎ 解析　(1)证明:∵M,N分别为PD,AD的中点,‎ ‎∴MN∥PA,又MN⊄平面PAB,PA⊂平面PAB,‎ ‎∴MN∥平面PAB.‎ 在Rt△ACD中,∠CAD=60°,易知CN=AN,∴∠ACN=60°.‎ 又∠BAC=60°,∴CN∥AB.‎ ‎∵CN⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,∴CN∥平面PAB.‎ 又CN∩MN=N,∴平面CMN∥平面PAB.‎ ‎(2)由(1)知,平面CMN∥平面PAB,‎ ‎∴点M到平面PAB的距离等于点C到平面PAB的距离,‎ ‎∵∠ABC=90°,∴CB⊥AB.‎ ‎∵PA⊥平面ABCD,‎ ‎∴PA⊥BC,‎ ‎∴BC⊥平面PAB.‎ ‎∵AB=1,∠ABC=90°,∠BAC=60°,∴BC=‎3‎,‎ ‎∴三棱锥P-ABM的体积V=VM-PAB=VC-PAB=‎1‎‎3‎×‎1‎‎2‎×1×2×‎3‎=‎3‎‎3‎.‎ ‎2.(2018安徽合肥一中模拟,18)如图,四边形ABCD与ADEF均为平行四边形,M,N,G分别是AB,AD,EF的中点.‎ ‎(1)求证:BE∥平面DMF;‎ ‎(2)求证:平面BDE∥平面MNG.‎ 证明　(1)连接AE,则AE必过DF与GN的交点O,连接MO,因为四边形ADEF为平行四边形,所以O为AE中点,又M为AB中点,所以MO为△ABE的中位线,所以BE∥MO,‎ 又BE⊄平面DMF,MO⊂平面DMF,‎ 所以BE∥平面DMF.‎ ‎(2)因为N,G分别为平行四边形ADEF的对边AD,EF的中点,所以DE∥GN,‎ 又DE⊄平面MNG,GN⊂平面MNG,‎ 所以DE∥平面MNG.‎ 又M为AB的中点,N为AD的中点,‎ 所以MN为△ABD的中位线,‎ 所以BD∥MN,‎ 因为BD⊄平面MNG,MN⊂平面MNG,‎ 所以BD∥平面MNG,‎ 因为DE与BD为平面BDE内的两条相交直线,‎ 所以平面BDE∥平面MNG.‎ 过专题 ‎【五年高考】‎ A组　统一命题·课标卷题组 考点　直线、平面平行的判定与性质 ‎1.(2017课标全国Ⅰ,6,5分)如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是(　　)‎ 答案　A　‎ ‎2.(2016课标全国Ⅲ,19,12分)如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.‎ ‎(1)证明MN∥平面PAB;‎ ‎(2)求四面体NBCM的体积.‎ 解析　(1)证明:由已知得AM=‎2‎‎3‎AD=2,‎ 取BP的中点T,连接AT,TN,由N为PC的中点知TN∥BC,TN=‎1‎‎2‎BC=2.(3分)‎ 又AD∥BC,故TN