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- 2021-06-02 发布
1. 已知矩阵，其中，若点在矩阵的变换下得到点，
（1）求实数a的值；
（2）求矩阵的特征值及其对应的特征向量.
解：（1）由=，（2分） ∴. （3分）
（2）由（1）知，则矩阵的特征多项式为
（5分）
令，得矩阵的特征值为与4. （6分）
当时，
∴矩阵的属于特征值的一个特征向量为; （8分）
当时，
∴矩阵的属于特征值的一个特征向量为. （10分）
2.已知某圆的极坐标方程为：
求：（1）圆的普通方程和参数方程；
（2）圆上所有点（x,y）中xy的最大值和最小值
【解析】（1）原方程可化为：–4ρ[.cos+.sin] +6=0
即：–2–2+6=0 ①
∵ ∴①可化为：–2 x–2y+6=0
即+=2 此方程即为所求普通方程
设 =cosθ, =sinθ
∴则普通方程又可化为,此方程即为所求参数方程。
（2）由①xy=()()=4+2 (cosθ+sinθ) +2 cosθ.sinθ
=3+2 (cosθ+sinθ)+ ②
设 t= cosθ+sinθ,则 t=sin(θ+) t∈[-,]
∴xy=3+2 t+ =+1
当t=–时的xy最小值为1；当t=时xy最大值为9
3.已知抛物线的焦点为，直线过点.
（1）若点到直线的距离为，求直线的斜率；（4分）
（2）设为抛物线上两点，且不与轴垂直，若线段的垂直平分线恰过点，求证：线段中点的横坐标为定值.（6分）
解：（1）由已知，不合题意.设直线的方程为，
由已知，抛物线的焦点坐标为， ………1分
因为点到直线的距离为，所以， ……2分
解得，所以直线的斜率为 . ………4分
（2）设线段中点的坐标为，，
因为不垂直于轴，则直线的斜率为，直线的斜率为，
直线的方程为， ………5分
联立方程
消去得， ……7分
所以， …………8分
因为为中点，所以，即， ………9分
所以.即线段中点的横坐标为定值. …………………10分
4.已知，
（1）若，求的值；（3分）
（2）若，求中含项的系数；（3分）
（3）证明：．（4分）
解：（1）因为,所以,又,
所以 （1）
（2）
（1）-（2）得：
所以： …………………3分
（2）因为，所以
中含项的系数为 …6分
（Ⅲ）设 (1)
则函数中含项的系数为…7分
(2)
(1)-(2)得
中含项的系数，即是等式左边含项的系数，等式右边含项的系数为
所以 …………10分