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- 2021-06-02 发布
民乐一中2018—2019学年第二学期高二年级四月考试
理科数学试卷
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题(共12小题,每小题5分，共60分，在每小题中只有一个选项符合题目要求.)
1．已知命题若是实数，则是的充分不必要条件；命题“
”的否定是“”，则下列命题为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
2．设抛物线上一点到轴的距离是2，则点到该抛物线焦点的距离是（ ）
A． B． C． D．
3．已知复数则的共轭复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，正方体的棱长为是底面的中心，则到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数则（ ）
A． B． C． D．
6．已知为等比数列，则若为等差数列，
则的类似结论为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知则（ ）
A． B． C． D．
8．根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为下雨的概率为既吹东风又下雨的概率为则在吹东风的条件下下雨的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．从5中主料中选2种，8种辅料中选3种来烹饪一道菜，烹饪方式有5种，那么最多可以烹饪出不同的菜的种类为（ ）
A． B． C． D．
10．设分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点，若且则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
11．一动圆过定点且与已知圆相切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
12．定义在上的函数满足则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分,所填答案应是最简结果.）
13．已知随机变量满足正态分布且则
14．焦点在轴上的椭圆的离心率为则它的短半轴长为
15．若的展开式中第三项与第五项的系数之比为则展开式中常数项为
16．若函数的值域为则实数的取值范围是
三、解答题(共6题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.)
17.(本题满分10分)
已知；
（1）若是的充分条件，求实数的取值范围；
（2）若“”为真命题，“”为假命题，求实数的取值范围
18.(本题满分12分)
已知椭圆的离心率为长轴长为4，直线与椭圆交于两点且为直角，为坐标原点
（1）求椭圆的方程
（2）求的长度
19.(本题满分12分)
已知在的展开式中，第二项系数是第三项系数
（1）展开式中二项系数最大项；
（2）若求的值．
20.(本题满分12分）
如图，在正三棱柱中，点分别为的中点
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求直线与平面所成角的正弦值
21.(本题满分12分）
某理科考生参加自主招生面试，从7道题中（4道理科题3道文科题）不放回地依次任取3道作答．
（1）求该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到文科题的概率；
（2）规定理科考生需作答两道理科题和一道文科题，该考生答对理科题的概率均为答对文科题的概率均为若每题答对得10分，否则得零分．现该生已抽到三道题（两理一文），求其所得总分的分布列与数学期望 ．
22.(本题满分12分)
已知函数
（1）求函数在区间上的最小值；
（2）判断函数在区间上零点的个数
民乐一中2018—2019学年第二学期高二年级四月考试
理科数学答案
一·选择题（12×5=60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
D
C
B
C
D
B
C
A
D
C
A
二．填空题（4×5=20分）
13. 0.2 14. 15. 45 16.
三．解答题（70分）
17.（本题满分10分）
解：（1）由题意-------------------------------1分
是的充分条件，是的子集-------------------------------2分
的取值范围是------------------------4分
（2）由题意可知一真一假，当时，------------------------5分
真假时，由得------------------------7分
假真时，由得------------------------9分
综上所述，实数的取值范围是------------------------10分
18.（本题满分12分）
解：（1）由题意得
所以椭圆的方程为--------------------------------4分
（2）设把代入得
---------------------7分
为直角，（或斜率乘积为）
---------------------9分
解得
的长度为---------------------12分
19.（本题满分12分）
解：（1）由题得 ，解得 -----------------------3
∴展开式中二项式系数最大项为 ------------------------6
（2） ，
令 ，得 ------------------------8
又令 ，得 ------------------------10
∴ ------------------------12
20.（本题满分12分）
在正三棱柱中，设的中点分别为则以
为基底，建立空间直角坐标系
因为所以
-------------------------2分
因为为的中点，所以
从而
故 -------------------------4
因此，异面直线与所成角的余弦值为-------------------------6
（2）因为为的中点，所以
因此-------------------------7
设为平面的一个法向量
则即
不妨取-------------------------8
设直线与平面所成角为
则------------------------10
所以直线与平面所成角的正弦值为------------------------12
解：
21.（本题满分12分）
解：（1）记“该考生在第一次抽到理科题”为事件 “该考生第二次和第三次均抽到文科题”为事件------------------------1
则 ------------------------2
------------------------4
∴该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到文科题的概率为
------------------------6
（2）解： 的可能取值为：0，10，20，30，
则 ， ------------------------7 ， ------------------------8
， ------------------------9 ------------------------10
∴ 的分布列为
------------------------11
∴ 的数学期望为 ------------------------12
22.（本题满分12分）
解：（Ⅰ）因为 ， ------------------------1
①当 时， ，所以 在 上是增函数，无最小值；
②当 时，又 得 ，由 得 ------------------------3
∴ 在 上是减函数，在 上是增函数，
若 ，则 在 上是减函数，则 ；------------------4
若 ，则 在 上是减函数，在 上是增函数，
∴
综上：当 时， 的最小值为 ；
当 时， 的最小值为 ------------------------6
（Ⅱ）由 得
令 ，则 ，由 得 ，由 得 ，
-----------------------8
所以 在 上是减函数，在 上是增函数，
且 ，且 ，------------------------10
当 时， ，
所以，当 时， 无有零点；
当 或 时， 有1个零点；
当 时， 有2个零点------------------------12