2017-2018学年广西桂林中学高二上学期期中考试数学（文）试题 10页

‎2017-2018学年广西桂林中学高二上学期期中考试 数学科试卷（文科）‎ 出题人：叶景龙 审题人：雷玉云 考试时间：120分钟 说明: 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．‎ ‎2．请在答题卷上答题（在本试卷上答题无效）‎ 第Ⅰ卷 一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．若,则下列不等式中成立的是 A. B. C. D. ‎ ‎2．双曲线的渐近线方程是 A． B． C． D．‎ ‎3．命题“”的否定是 ‎ A.不存在 B. ‎ ‎ C. D.‎ ‎4．在中，已知A=60°，，则B的度数是 A. 45°或135° B. 135° C. 75° D. 45°‎ ‎5．在等差数列中，若，则=‎ ‎ A.11 B.12 C.13 D.不确定 ‎6．设集合，，则“x∈A”是“x∈B”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 ‎ C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎7．已知椭圆上的一点到焦点的距离为2,是的中点,O为原点,则等于 ‎ A．2 B．4 C．8 D．‎ ‎8. 已知，则的最小值为 A．8 B．6 C． D．‎ ‎9. 已知中，三内角的度数成等差数列，边依次成等比数列．则是 A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 ‎10. 已知满足约束条件错误！未找到引用源。若的最大值为4,则=‎ A. 3 B. 2 C. -2 D. -3‎ ‎11.若双曲线的中心为原点,是双曲线的焦点,过的直线与双曲线相交于,两点,且的中点为,则双曲线的方程为 A. B. C D. ‎ ‎12．已知椭圆和双曲线焦点相同，且离心率互为倒数，是它们的公共焦点，是椭圆和双曲线在第一象限的交点，若，则椭圆的离心率为 A. B. C. D. ‎ 第II卷 非选择题 二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．在中，，且边，则的面积等于_____________‎ ‎14.椭圆被直线截得的弦长为________.‎ ‎15. 已知直线与双曲线的左、右支各有一个公共点，则的取值范围是 ． ‎ ‎16、椭圆的焦点为,点为其上的动点,当为钝角时点的横坐标的取值范围是_____________．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤.‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 已知为等差数列，且，.‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若等比数列满足，，求的前n项和公式.‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 已知△的周长为10，且．‎ ‎（Ⅰ）求边长的值；‎ ‎（Ⅱ）若，求角的余弦值．‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD,公园由长方形的休闲区（阴影部分）A1B1C1D1‎ 和环公园人行道组成．已知休闲区A1B1C1D1的面积为4000平方米，人行道的宽分别为4米和10米（如图）‎ ‎（Ⅰ）若设休闲区的长求ABCD所占面积S关于x的函数S（x）的解析式；‎ ‎（Ⅱ）要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 设p:实数x满足,其中a≠0,q:实数x满足.错误！未指定书签。‎ ‎(I)若a=1,且p∧q为真,求实数x的取值范围.‎ ‎(II)若p是q的必要不充分条件,求实数a的取值范围.‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知等差数列的公差大于0,且是方程的两根，数列的前项的和为，且．‎ ‎（Ⅰ）求数列，的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前项和．‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 平面内动点P（x，y）与两定点A（-2, 0）, B（2,0）连线的斜率之积等于，若点P的轨迹为曲线E，过点Q作斜率不为零的直线交曲线E于点．‎ ‎（I）求曲线E的方程；‎ ‎（II）求证：；‎ ‎（III）求面积的最大值．‎ 参考答案 ‎1、解：选A.‎ ‎2．A 3．B ‎4．解：由正弦定理得.选D.‎ ‎5．解：,选C.‎ ‎6．解：,但 所以“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，选A.‎ ‎7．【答案】B【解】设椭圆的另一焦点为,因为,所以,由题意可知：为D的中位线,所以.‎ ‎ 8.解：‎ 当且仅当时取等号，选C.‎ ‎9.解：若A,B,C成等差数列，则2B=A+C,又A+B+C=所以，‎ 若a,b,c成等比数列，则由余弦定理 得所以为等边三角形，选B.‎ ‎10.解：选B.由约束条件可画可行域如图,解得A(2,0),B(1,1).若过点A(2,0)时取最大值4,则a=2,验证符合条件;若过点B(1,1)时取最大值4,则a=3,而若a=3,则z=3x+y最大值为6(此时A(2,0)是最大值点),不符合题意.‎ ‎11.【答案】D解：由题意可设双曲线方程为,F(3,0)‎ 是双曲线的焦点,所以设,(1)-(2)得：, 的中点为(－12,－15),,又的斜率是 ‎,即,将代入可得 所以双曲线的标准方程为,答案为D ‎12． 解：设 ， 在椭圆中 ‎， ，即 在双曲线中 ‎ ‎， 即，则 所以，由题知，则椭圆离心率，选A.‎ ‎13．解：‎ ‎14.解：由， 消去y并化简得 设直线与椭圆的交点为M(x1,y1),N(x2,y2),则 所以弦长===. ‎ ‎15. 解：由，依题意有.‎ ‎16、解：依题意,设,则 ‎,故.‎ ‎17．解：（Ⅰ）设等差数列的公差，‎ 因为 所以 ………………2分 ‎ 解得 ………………4 分 所以 ………………5分 ‎（Ⅱ）设等比数列的公比为 因为所以 即=3 ………………8分 所以的前项和公式为………10分 ‎18. 解：（Ⅰ）根据正弦定理，可化为…………3分 联立方程组解得 …………5分 所以，边长…………6分 ‎（Ⅱ）由又由（Ⅰ）得得 …………8分 ‎ = …………10分 因此，所求角的余弦值是 …………12分 ‎19.解：（Ⅰ）由米，知米， …………2分 ‎ …………6分 ‎（Ⅱ） …………9分 当且仅当即时取等号 …………11分 所以要使所占面积最小，休闲区的长为100米，宽为40米。………12分 ‎20.解：(I)由错误！未指定书签。得q:20时,p:a0，‎ ‎∴，公差 ‎∴………………2分 又当=1时，有 ‎ 当 ‎∴数列{}是首项，公比等比数列，∴………6分 ‎（2），设数列的前项和为，‎ ‎ (1)‎ ‎ (2)………9分 得： ‎ 化简得： …………………12分 ‎22、解：（I）设动点P坐标为，当时，由条件得：‎ ‎，化简得，‎ 故曲线E的方程为. 4分（说明：不写的扣1分）‎ ‎（II）斜率不为0，所以可设方程为，与椭圆联立得：设， 所以，. 6分 ‎=‎ 所以 8分 ‎=,这里10分 当的面积最大为. 12分