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- 2021-06-02 发布
章末检测卷(四)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．下列说法不正确的是( )
A．定积分的值可以大于零
B．定积分的值可以等于零
C．定积分的值可以小于零
D．定积分的值就是相应曲边梯形的面积
答案 D
解析 根据定积分的意义，定积分的值可以大于零、等于零、小于零．所以定积分的值不一定是相应曲边梯形的面积．
2．已知ʃf(x)dx＝m，则ʃnf(x)dx等于( )
A．m＋n B．m－n
C．mn D．mn
答案 C
解析 根据定积分的性质，ʃnf(x)dx＝nʃf(x)dx＝mn.
3．下列积分等于2的是( )
A．ʃ2xdx B．ʃdx
C．ʃ1dx D．ʃdx
答案 C
解析 根据微积分基本定理，得
ʃ2xdx＝x2|＝4；
ʃdx＝|＝3；
ʃ1dx＝x|＝2；
ʃ＝ln x|＝ln 2.
4．设f(x)＝则ʃf(x)dx等于( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 ʃf(x)dx＝ʃx2dx＋ʃdx＝x3|＋ln x|＝.
5．ʃ|x|dx等于( )
A．ʃxdx
B．ʃ(－x)dx
C．ʃ(－x)dx＋ʃxdx
D．ʃxdx＋ʃ(－x)dx
答案 C
解析 需要去掉函数中的绝对值符号，因为|x|＝，所以选C.
6．由y＝ex，x＝2，y＝e围成的曲边梯形的面积是( )
A．e2－2e B．e2－e
C．e2 D．e
答案 A
解析 所求面积为S＝ʃ(ex－e)dx
＝(ex－ex)|
＝e2－2e.
7．由y＝－x2与直线y＝2x－3围成的图形的面积是( )
A. B.
C. D．9
答案 B
解析 解得交点A(－3，－9)，B(1，－1)．
则y＝－x2与直线y＝2x－3围成的图形的面积
S＝ʃ(－x2)dx－ʃ(2x－3)dx
＝－x3|－(x2－3x)|＝.
8．由曲线y＝，x＝4和x轴所围成的平面图形绕x轴旋转生成的旋转体的体积为( )
A．16π B．32π
C．8π D．4π
答案 C
解析 由图知旋转体的体积为πʃ()2dx＝x2|＝8π.
9．已知自由落体运动的速率v＝gt，则落体运动从t＝0到t＝t0所走的路程为( )
A．gt B.
C. D.
答案 C
解析
10．给出下列命题：
①ʃdx＝ʃdt＝b－a(a，b为常数且a0，
∴x＝0时，f(x)取极小值f(0)＝0.
又f(－1)＝4，f(1)＝2，∴M＝4，m＝0.
∴ʃf(x)dx＝ʃ(－x3＋3x2)dx
＝|＝0.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知，求下列定积分：
(1)ʃsin xdx； (2)
解 (1)ʃsin xdx
(2)
18．(12分)用定积分的意义求下列各式的值：
(1)ʃ(2x＋1)dx；(2)
解
(1)在平面上，f(x)＝2x＋1为一条直线，ʃ(2x＋1)dx表示直线f(x)＝2x＋1，x＝0，x＝3与x轴围成的直角梯形OABC的面积，如图(1)所示，其面积为S＝(1＋7)×3＝12.根据定积分的几何意义知ʃ(2x＋1)dx＝12.
(2)由y＝可知，x2＋y2＝1(y≥0)图像如图(2)，由定积分的几何意义知等于圆心角为120°的弓形CED的面积与矩形ABCD的面积之和．
S弓形＝×π×12－×1×1×sin π＝－，
S矩形＝|AB|·|BC|
＝2××＝，
∴＝－＋＝＋.
19．(12分)如图所示，求由曲线y＝x2，x∈[0,3]，x＝0及y＝2所围成的平面图形绕y轴旋转一周所形成几何体的体积．
解 根据题意和图形，所求体积V＝ʃ0π(2)2dy＝4πʃ0ydy＝4π×y2|0＝2π×＝.
20．(12分)如图，求曲线y＝x2和直线y＝t2 (00，
∴t＝时，S(t)最小，最小值为S＝.
21．(12分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx，f′(x)是函数f(x)的导数．在区间[－1,1]内任取实数a，b，求方程f′(x)＝0有实数根的概率．
解 f′(x)＝x2＋ax＋b.
若方程f′(x)＝0，即x2＋ax＋b＝0有实数根，
则Δ≥0，即a2≥4b，
因此方程f′(x)＝0有实数根的条件是
满足此不等式组的点P(a，b)形成的图形为图中阴影部分，其面积为
S1＝ʃda
＝ʃda
＝|＋2＝.
而坐标满足条件－1≤a≤1，－1≤b≤1的点形成的图形的面积S＝4，根据几何概型的概率公式可知，方程f′(x)＝0有实数根的概率为P＝＝.
22．(12分)在区间[0,1]上给定曲线y＝x2，试在此区间内确定点t的值，使图中阴影部分的面积：
(1)S1＝S2；
(2)S＝S1＋S2最小．
解 (1)∵S1＝t·t2－ʃx2dx＝t3，
S2＝ʃx2dx－(1－t)·t2＝t3－t2＋，
∵S1＝S2，∴t3＝t3－t2＋，
∴t＝.
(2)∵S＝S1＋S2＝t3－t2＋(0≤t≤1)，
S′＝4t2－2t＝4t(t－)，
令S′＝0，得t＝0，t＝.
易知t＝是极小值点，
又S()＝，S(0)＝，S(1)＝，
故t＝时，S＝S1＋S2最小．