- 709.50 KB
- 2021-06-02 发布
哈师大青冈实验中学2017---2018学年度6月份考试（学科竞赛）
高二学年数学理科试题
一．选择题：（共12道小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）
1、设集合,,则 ( )
A. B. C. D.
2.复数 ， 则 （ ）
A． B. C. D.
3．已知函数，则函数的图象在处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
4.在区间上任取两个数，方程的两根均为实数的概率为( )
A． B． C． D．
5.如右图是一个四棱锥的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A．8 B．9 C．12 D．16
6. 二项式的展开式中含项的系数是（ ）
A．80 B．48 C． D．
7.在侦破某一起案件时，警方要从甲、乙、丙、丁四名可疑人员中查出真正的嫌疑人，现有四条明确信息：（1）此案是两人共同作案；（2）若甲参与此案，则丙一定没参与；（3）若乙参与此案，则丁一定参与；（4）若丙没参与此案，则丁也一定没参与．据此可以判断参与此案的两名嫌疑人是（ ）
A．甲、乙 B．乙、丙 C．甲、丁 D．丙、丁
8. 在极坐标系中，圆 的圆心的极坐标是（ ）
A. B. C. D.
9. 某程序框图如图所示，判断框内为“k≥n？”，n为正整数，若输出的S＝26，
则判断框内的n＝( )
A．6 B．3 C．4 D．5
10. 命题 命题 在上有零点 ，则是的（ ）
A. 必要不充分条件 B.充分不必要条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
11.若异面直线所成的角是，则以下三个命题:
①存在直线，满足与的夹角都是；
②存在平面，满足，与所成角为；
③存在平面，满足，与所成锐二面角为.
其中正确命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C. 2 D．3
12. 已知函数是函数的导函数，（其中为自然对数的底数），对任意实数，都有，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
二.填空题：（本题共4道小题，每小题5分，共20分）
13. 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为2，这个球的表面积为，则这个正四棱柱的体积为
14. 在直角坐标平面内，由曲线，，和轴所围成的封闭图形的面积为
15. 在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.则圆的普通方程为
16. 直线分别与直线，曲线交于A、B两点，则|AB|最小值为
三.解答题：共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤
17.（10分）为了调查胃病是否与生活规律有关，在某地对540名40
岁以上的人进行了调查，结果是：患胃病者生活不规律的共60人，患胃病者生活规律的共20人，未患胃病者生活不规律的共260人，未患胃病者生活规律的共200人．
(1)根据以上数据列出2×2列联表；
(2)在犯错误的概率不超过0．01的前提下认为40岁以上的人患胃病与否和生活规律有关系吗？
为什么？
P(K2≥k0)
0．15
0．10
0．05
0．025
0．010
0．005
0．001
k0
2．072
2．706
3．841
5．024
6．635
7．879
10．828
18.（12分）生蚝即牡蛎（oyster），是所有食物中含锌最丰富的，在亚热带、热带沿海都适宜蚝的养殖，我国分布很广，北起鸭绿江，南至海南岛，沿海皆可产蚝.蚝乃软体有壳，依附寄生的动物，咸淡水交界所产尤为肥美，因此生蚝成为了一年四季不可或缺的一类美食.某饭店从某水产养殖厂购进一批生蚝，并随机抽取了40只统计质量，得到的结果如下表所示.
质量（）
数量
6
10
12
8
4
（Ⅰ）若购进这批生蚝，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批生蚝的数量（所得结果保留整数）；
（Ⅱ）以频率估计概率，若在本次购买的生蚝中随机挑选4个，记质量在间的生蚝的个数为，求的分布列及数学期望.
19．(12分)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价x(元)
8
8．2
8．4
8．6
8．8
9
销量y(件)
90
84
83
80
75
68
(1)求回归直线方程＝x＋，其中＝－20，＝－；
(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/
件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)
20. （12分）如图，在中，，是的中点，是线段上的一点，且，，将沿折起使得二面角是直二面角.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正切值.
21.（12分） 在直角坐标系中，曲线：经过伸缩变换后得到曲线.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（Ⅰ）求出曲线、的参数方程；
（Ⅱ）若、分别是曲线、上的动点，求的最大值.
22. （ 12分）已知函数，
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数在定义域内恒有，求实数的取值范围．
参考答案．
一. 选择题：
1-5 ：AACBD 6-10: DDBCA： 11-12:DA
二. 填空题：
13. 2 14. 15. 16.4
三.17. (1)由已知可列2×2列联表：
患胃病
未患胃病
总计[]
生活规律
20
200
220
生活不规律
60
260
320
总计
80
460
540
(2)根据列联表中的数据，由计算公式得K2的观测值
k＝≈9．638．∵9．638＞6．635，
因此，在犯错误的概率不超过0．01的前提下认为40岁以上的人患胃病与否和生活规律有关．
18.（Ⅰ）由表中数据可以估计每只生蚝的质量为
，
∴购进，生蚝的数量约有（只）.
（Ⅱ）由表中数据知，任意挑选一个，质量在间的概率，
的可能取值为0，1，2，3，4，则，
，，
，，∴的分布列为
0
1
2
3
4
∴或.
19．(1)＝(8＋8．2＋8．4＋8．6＋8．8＋9)＝8．5，＝(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80，
从而＝＋20＝80＋20×8．5＝250, 故＝－20x＋250．
(2)由题意知， 工厂获得利润
z＝(x－4)y＝－20x2＋330x－1 000＝－202＋361．25，所以当x＝＝8．25时，zmax＝361．25(元)．
即当该产品的单价定为8．25元时，工厂获得最大利润．
20解：解：(Ⅰ)因为，所以
又， ，
所以
又因为
所以是的斜边上的中线，所以是的中线，
所以是的中点，
又因为是的中位线，
所以
又因为平面，平面，所以平面.
（Ⅱ）据题设分析知，两两互相垂直，以为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系：
因为，且分别是的中点，
所以，
所以有点，
所以，
设平面的一个法向量为，则
即，所以
令，则
设直线与平面所成角的大小为，则.
又，所以，
所以.
故直线与平面所成角的正切值为
21.解：（Ⅰ）曲线：经过伸缩变换，可得曲线的方程为，
∴其参数方程为（为参数）；
曲线的极坐标方程为，即，
∴曲线的直角坐标方程为，即，
∴其参数方程为（为参数）.
（Ⅱ）设，则到曲线的圆心的距离
，
∵，∴当时，.
∴.
22. （1），
当时，，则在上递减；
当时，令，得（负根舍去）；
当得，；令，得，
∴上递增，在上递减．·······5分
（2）当时，，符合题意；
当时，，
，，∴，，
当时，在上递减，
且与的图象在上只有一个交点，设此交点为，
则当时，，故当时，不满足，
综上，的取值范围．······12分