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- 2021-06-02 发布
数学试卷
一、选择题（每题5分）
1.若,则z等于( )
A.B. C. D.
2.若复数,其中i为虚数单位,则 ( )
A.B.C. D.
3.已知，其中i为虚数单位，则等于（）
A.-1 B.1 C.2 D.3
4.在复平面内,O为原点,向量对应的复数为,若点A关于直线的对称点为B,则向量对应的复数为()
A. B. C. D.
5.已知变量与正相关,且由观测数据算得样本平均数,,则由该观测数据算得的线性回归方程可能为( )
A. B. C. D.
6.设某大学的女生体重y (单位:)与身高x (单位:)具有线性相关关系,根据一组样本数据,用最小二乘法建立的回归方程为,则下列结论中不正确的是( )
A.y与x具有正的线性相关关系
B.回归直线过样本点的中心
C.若该大学某女生身高增加,则其体重约增加
D.若该大学某女生身高为,则可断定其体重必为
7.通过随机询问名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表:
男
女
合计
爱好
不爱好
总计
由算得，
附表：
参照附表，得到的正确结论是( )
A.在犯错误的概率不超过的前提下,认为"爱好该项运动与性别有关"
B.在犯错误的概率不超过的前提下,认为"爱好该项运动与性别无关"
C.有以上的把握认为"爱好该项运动与性别有关"
D.有以上的把握认为"爱好该项运动与性别无关"
8.已知变量x和y满足关系,变量y与z正相关。下列结论中正确的是( )
A.x与y负相关,x与z负相关 B.x与y正相关,x与z正相关
C.x与y正相关,x与z负相关 D.x与y负相关,x与z正相关
9.下列说法:
①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后,方差恒不变;
②设有一个回归方程,变量x增加一个单位时,y平均增加5个单位;
③线性回归方程必过;
④在一个列联表中,由计算得是,则有的把握确认这两个变量间有关系.
其中错误的个数是()
本题可以参考独立性检验临界值表:
0.05
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
A.0 B.1 C.2 D.3
10.对两个变量的四组数据进行统计，获得以下散点图，关于两个变量相关系数的比较，正确的是()
A. B.
C. D.
二、填空题（每题5分）
11.已知是虚数单位,若,则的值为__________.
12.设，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则_________.
13.给出下列命题:
①纯虚数z的共轭复数是;②若,则;
③若,则与互为共轭复数;
④若,则与互为共轭复数.
其中正确命题的序号是_________.
14.给出下列命题：
①若都是实数,则是虚数;
②若b为实数,则是纯虚数;
③若a为实数,则一定不是虚数.
其中错误命题的序号是__________.
三、解答题（每题10分）
15.已知复数,(其中i为虚数单位).
(1)求复数;
(2)若复数所对应的点在第四象限,求实数m的取值范围.
16.为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老人，结果如下：
男
女
需要
40
30
不需要
160
270
参考公式和数据：．
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
（1）估计该地区老年人中需要志愿者提供帮助的老年人的比例；
（2）能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
（注意：17,18题目选做一个）
17.某媒体为调查喜欢娱乐节目A是否与观众性别有关，随机抽取了30名男性观众和30名女性观众，抽查结果用等高条形图表示如图：
(1)根据该等高条形图，完成下列列联表，并用独立性检验的方法分析，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜欢娱乐节目A与观众性别有关？
喜欢节目A
不喜欢节目A
总计
男性观众
女性观众
总计
60
(2)从男性观众中按喜欢节目A与否，用分层抽样的方法抽取5名男性做进一步调查.从这5名男性中任选2名，求恰有1名喜欢节目A、1名不喜欢节目A的概率.
附：
0.100
0.050
0.010
0.001
k
2.706
3.841
6.635
10.828
.
18.某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯,在全校一年级学生中进行了抽样调查,调查结果如下表所示:
喜欢甜品
不喜欢甜品
合计
南方学生
60
20
80
北方学生
10
10
20
合计
70
30
100
(1)根据表中数据,问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”;
(2)已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生,其中2名喜欢甜品.现在从这5名学生中随机抽取3人,求至多有1人喜欢甜品的概率.
参考答案
1.答案：B
解析：.
2.答案：B
解析：,,选B.
3.答案：B
解析：由题意得，，即，所以，所以，故选B.
4.答案：B
解析：∵关于直线的对称点为,∴向量对应的复数为.
5.答案：A
解析：变量与正相关,可以排除C,D;样本平均数代入可求这组样本数据的回归直线方程.
∵变量与
正相关,
∴可以排除C,D;
样本平均数,,代入A符合,B不符合,
故选:A.
6.答案：D
解析：由线性回归方程知,所以y与x具有正的线性相关关系的,故选项A正确;由回归直线方程恒过样本点的中心知,选项B正确;若该大学某女生身高增加,则由知其体重约增加,因此C选项正确;若该大学某女生身高为,则可预测或估计其体重为,并不一定为,因此选项D不正确.故答案为D.
7.答案：C
解析：由及可知,在犯错误的概率不超过的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”,也就是有以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”,故选
8.答案：A
解析：由回归直线方程定义知,x与y负相关。由y与z正相关,可设其回归直线为,且,所以,x与z负相关。
9.答案：B
解析：将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后,每个数与平均数的差值不变,因而方差恒不变,故①正确;根据回归方程可知当x增加一个单位时,y平均减少5个单位,故②错误;线性回归方程必过样本点中心,故③正确;由于,所以判断“两个变量间有关系”的犯错的概率不超过,所以有的把握确认这两个变量有关系,故④正确.因而错误的只有②.
10.答案：D
解析：由相关系数的定义以及散点图的含义，可知.
11.答案：2
解析：因为.又,所以且,得,所以.
12.答案：-1
解析：,由已知得,解得.
13.答案：①④
解析：命题①显然正确;对于②,若,只能得到,不一定有,所以命题②不正确;对于③,若,则可能均为实数,但不一定相等,或与的虚部互为相反数
,但实部不一定相等,所以命题③错误;由②的分析,知命题④正确.
14.答案：①②
解析：在的条件下,当时,才是虚数,才是纯虚数,显然命题①②错误,命题③正确.故错误命题的序号是①②.
15.答案：(1)∵,
∴.
(2)
,
∵所对应的点在第四象限,
∴解得.
∴实数m的取值范围是.
16.答案：（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助,因此在该地区老年人中,需要帮助的老年人的比例的估计值为.
（2）由列联表中数据,得观测值为.
由于,所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地区的老年人需要志愿者提供帮助与性别有关.
17.答案：(1)由题意得列联表如表：
喜欢节目A
不喜欢节目A
总计
男性观众
24
6
30
女性观众
15
15
30
总计
39
21
60
则的观测值，
所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜欢娱乐节目A与观众性别有关.
(2)利用分层抽样在30名男性观众中抽取5名，其中喜欢娱乐节目A的人数为，不喜欢节目A的人数为.
被抽取的喜欢娱乐节目A的4名男性分别记为；不喜欢节目A的1名男性记为B.
则从5名男性中任选2人的所有可能的结果为共有10种.
其中恰有1名喜欢节目A、1名不喜欢节目A的有，共4种，
所以所抽取的男性观众中恰有1名喜欢节目A和1名不喜欢节目A的概率.
18.答案：(1)将列联表中的数据代入公式计算,得.
由于,所以有的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”.
(2)从5名数学系学生中任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间
.
其中表示喜欢甜品的学生,.表示不喜欢甜品的学生,.
Ω由10个基本事件组成,且这些基本事件的出现是等可能的.用A表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这一事件,则
事件A是由7个基本事件组成,因而.