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- 2021-06-02 发布
南康中学2019－2020学年度第一学期高二第二次大考
数学（文）试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
1、某中学高一年级560人，高二年级540人，高三年级520人，用分层抽样的方法抽取部分样本，若从高一年级抽取28人，则从高二、高三年级分别抽取的人数是（ ）
A．27 26 B．26 27 C．26 28 D．27 28
2、某雷达测速区规定：凡车速大于或等于的汽车视为“超速”，并将受到处罚，如图是某路段的一个检测点对200辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图，则从图中可以看得出将被处罚的汽车大约有 ( )
A．80辆
B．60辆
C．40辆
D．20辆
3、甲、乙两名运动员分别进行了5次射击训练，成绩如下：
甲：7，7，8，8，10；乙：8，9，9，9，10.
若甲、乙两名运动员的平均成绩分别用，表示，方差分别用，表示，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4、若实数的取值如表，从散点图分析，与线性相关，且回归方程为，
则（ ）
A. B. C. D.
5、已知点P是函数的图像C的一个对称中心，若点P到图像C的对称轴距离的最小值为，则的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
6、过点且在两坐标轴上截距相等的直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
7、设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列四个结论：
①如果，，那么；
② 如果，，，那么；
③如果，，那么；
④如果，，，那么.
其中正确的是( )
A．① ② B．② ③ C．② ④ D．③④
8、如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB和A1D1的中点分别为E，F，AB＝6，AD＝8，AA1＝7，则异面直线EF与AA1所成角的正切值为（ ）
A．
B．
C．
D．
9、三棱锥， ， ，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
10、如图，在空间四边形中，两条对角线互相垂直，且长度分别为4和6，平行于这两条对角线的平面与边分别相交于点，记四边形的面积为y，设，则（ ）
（A）函数的值域为
（B）函数的最大值为8
（C）函数在上单调递减
（D）函数满足
11、两圆和恰有一条公切线，若， ，且，则的最小值为（ ）
A． 4 B． 3 C．2 D．1
12、 矩形中，，，沿将三角形折起，得到四面体，当四面体的体积取最大值时，四面体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.
13、已知一组数据，，，的方差为，则这组数据，，，的方差为______．
14、已知直线与圆交于两点，若，则____.
15、表面积为的正四面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为_____．
16、在正三棱柱中，为棱的中点，若是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为__________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17、已知向量．
（1）若，求的值；
（2）当时，求与角的余弦值．
18、已知函数f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若x∈[0，]，求函数f（x）的最值
19、某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到下表数据：
单价（元）
销量（件）
且，，
，.
（1）已知与具有线性相关关系，求出关于回归直线方程；
（2）预测当单价为元时其销量为多少？
20、某快递公司近60天每天揽件数量的频率分布直方图如下图所示（同一组数据用该区间的中点值作代表）.
（1）求这60天每天包裹数量的平均值和中位数；
（2）在这60天中包裹件数在[100，200）.[200，300）的两组中，用分层抽样的方法抽取件，求落在这两组中分别抽取多少件？
21、如图,在四棱锥中,四边形是直角梯形,，,，为等边三角形.
（1）证明：；
（2）求点到平面的距离.
22、已知圆，点．
（1）设点是圆上的一个动点，求的中点的轨迹方程；
（2）直线与圆交于，求的值．
南康中学2019－2020学年度第一学期高二第二次大考
数学（文）参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
1－12 ACDDB BBACD AC
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.
13、45 14、 15、 16、
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17、解：（1）∵，∴，∴
（2）∵，∵，，
∴，
又∵，
∴．
18、（1）f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=sin2x+2cos2x+1=sin2x+cos2x+2=sin（2x+）+2，
令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，
则kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，
则有函数的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．
（2）当x∈[0，]时，2x+∈[，]，
则有sin（2x+）∈[，1]，
则当x=时，f（x）取得最小值，且为1，
当x=时，f（x）取得最大值，且为+2
19、（1）由题意得：，
，
，，
关于回归直线方程为；
（2）当时，，
即当单价为元时预测其销量为件.
20、（1）每天包裹数量的平均数为
；
或：由图可知每天揽50、150、250、350、450件的天数分别为6、6、30、12、6，
所以每天包裹数量的平均数为
设中位数为x，易知，则，解得x=260.
所以公司每天包裹的平均数和中位数都为260件.
（2）件数在[100，200）.[200，300）的频率分别为0.1，0.5
频率之比为1:5，所抽取的件中，在[100，200）的件数为，
在的件数为.
21、（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，
DC＝2AD＝2AB＝2，∠DAB＝∠ADC＝90°，PB，△PDC为等边三角形．
∴BC＝BD，∴BD2+BC2＝CD2，PB2+BC2＝PC2，
∴BD⊥BC，PB⊥BC，∵BD∩PB＝B，∴BC⊥平面PBD，∵PD？平面PBD，∴PD⊥BC．
（2）由（1）知，，
故
故得点B到面PCD的距离为
22、（1）由题意，设，
由点是圆上的一个动点，则，
又由Q是AP的中点，根据中点公式得，
解得．
代入圆的方程可得：，
整理得．
∴的中点的轨迹方程为：．
（2）由直线与圆交于，
把直线的方程代入圆的方程可得：，
整理得．
则，
∴
=.