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- 2021-06-02 发布
课时分层训练(四)
A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
1．设随机变量X的概率分布为P＝ak(k＝1,2,3,4,5)．
(1)求a；
(2)求P；
(3)求P. 【导学号：62172328】
[解] (1)由概率分布的性质，
得P＋P＋P＋P＋P(X＝1)＝a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，所以a＝.
(2)P＝P＋P＋P(X＝1)＝3×＋4×＋5×＝.
(3)P＝P＋P＋P＝＋＋＝＝.
2．一袋中装有10个大小相同的黑球和白球，已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是.
(1)求白球的个数；
(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的概率分布．
[解] (1)记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A，设袋中白球的个数为x，
则P(A)＝1－＝，得到x＝5.故白球有5个．
(2)X服从超几何分布，
P(X＝k)＝，k＝0,1,2,3.
于是可得其概率分布为
X
0
1
2
3
P
3.(2017·南京模拟)若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”(如137,359,567等)．
在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分．
(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”；
(2)若甲参加活动，求甲得分X的概率分布．
[解] (1)个位数是5的“三位递增数”有125,135,145,235,245,345.
(2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为C＝84，随机变量X的取值为：0，－1,1，因此
P(X＝0)＝＝，
P(X＝－1)＝＝，
P(X＝1)＝1－－＝.
所以X的概率分布为
X
0
－1
1
P
4.盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球．规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得－1分．现从盒内任取3个球．
(1)求取出的3个球中至少有一个红球的概率；
(2)求取出的3个球得分之和恰好为1分的概率；
(3)设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ的概率分布.
【导学号：62172329】
[解] (1)P＝1－＝.
(2)记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件C，则P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝＋＝.
(3)ξ可能的取值为0,1,2,3，ξ服从超几何分布，
P(ξ＝k)＝，k＝0,1,2,3.
故P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝3)＝＝，
ξ的概率分布为：
ξ
0
1
2
3
P
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1，求随机变量ξ的概率分布．
[解] 若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有8C对相交棱，因此P(ξ＝0)＝＝＝.
若两条棱平行，则它们的距离为1或，其中距离为的共有6对，
故P(ξ＝)＝＝，
于是P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝)＝1－－＝，
所以随机变量ξ的概率分布是
ξ
0
1
P
2.某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：
奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止．规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励．
(1)求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；
(2)记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X的概率分布．
[解] (1)设“1名顾客摸球3次停止摸奖”为事件A，则P(A)＝＝，
故1名顾客摸球3次停止摸球的概率为.
(2)随机变量X的所有取值为0,5,10,15,20.
P(X＝0)＝，P(X＝5)＝＝，
P(X＝10)＝＋＝，
P(X＝15)＝＝，
P(X＝20)＝＝.
所以，随机变量X的概率分布为
X
0
5
10
15
20
P
3．已知甲箱中只放有x个红球与y个白球(x，y≥0，且x＋y＝6)，乙箱中只放有2个红球、1个白球与1个黑球(球除颜色外，无其他区别)．若从甲箱中任取2个球，从乙箱中任取1个球．
(1)记取出的3个球的颜色全不相同的概率为P，求当P取得最大值时x，y的值；
(2)当x＝2时，求取出的3个球中红球个数ξ的概率分布．
[解] (1)由题意知P＝＝≤2＝，
当且仅当x＝y时等号成立，
所以，当P取得最大值时x＝y＝3.
(2)当x＝2时，即甲箱中有2个红球与4个白球，
所以ξ的所有可能取值为0,1,2,3.
则P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝3)＝＝.
所以红球个数ξ的概率分布为
ξ
0
1
2
3
P
4.PM2.5是指悬浮在空气中的直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．根据现行国家标准GB3 095—2 012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．
从某自然保护区2013年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：
PM2.5日均值
(微克/立方米)
[25,35]
(35,45]
(45,55]
(55,65]
(65,75]
(75,85]
频数
3
1
1
1
1
3
(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；
(2)从这10天的数据中任取3天数据，记ξ
表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的概率分布．
[解] (1)记“从10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A，则
P(A)＝＝.
(2)依据条件，ξ服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝3，且随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3.
P(ξ＝k)＝(k＝0,1,2,3)．
∴P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝.
因此ξ的概率分布为
ξ
0
1
2
3
P