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- 2021-06-02 发布
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2017 年重庆一中高 2017 级高三下期高考模拟考试
数 学 试 题 卷（文科）2017.5
注意事项：
1．本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必先将
自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。
2．回答第 I 卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第 II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第 I 卷（选择题，共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
2.已知 （ , 是虚数单位），则 ( )
A. 1 B. C. D.
3.已知等差数列 中，其前 项和为 ，若 ，则 ( )
A. 98 B. 49 C. 14 D. 147
4.设向量 ，且 ，则 的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
5.过抛物线 焦点 的直线交抛物线于 两点，交其准线于点 ，
且 位于 轴同侧，若 ，则直线 的斜率为( )
A． B． C． D．
6.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，
竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.右图是源于其思想的一
个程序框图，若输入的 分别为 3，2，则输出的 （ ）
A． 2 B． 3 C. 4 D．5
{ } { }2| 6 5 0 , 1,2,3,4,5M x x x N= − + < = M N =
{ }1,2,3,4 { }2,3,4,5 { }2,3,4 { }1,2,4,5
1
i a bii
= ++ ,a b R∈ i a bi− =
1
2 2 2
2
{ }na n nS 3 4 5 42a a a+ + = 7S =
( ) ( ),2 , 1, 1a x b= = − ( )a b b− ⊥ x
2 4y x= F ,A B C
,A C x 2AC AF= AB
1± 3± 2± 5±
,a b n =
7．如右图是一个简单几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．1
8.已知集合 ，给出下列四个命题：
其中真命题的是( )
A. B. C. D.
9 ． 已 知 , 在 区 间 内 任 取 实 数 ， 则 不 等 式
成立的概率为（ ）
A． B． C． D．
10.已知 ,若在斜率为 的直线 上存在不同的两点 ，满足：
且线段 的中点为 ，则 的值为( )
A． B． C． D．
11.已知函数 ，则不等式 的解集是( )
A. B. C. D.
12. 若 所 在 平 面 与 矩 形 所 在 的 平 面 相 互 垂 直 ，
，若点 都在同一个球面上，则此球的表面积为( )
A. B. C. D.
第 II 卷（非选择题，共 90 分）
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题 ~ 第 21 题为必考题，每个试题
考生都必须作答。第 22 题 ~ 第 24 题为选考题，考生根据要求作答。
6
1
3
1
2
1
( )
≥+−
≤+−
≤−+
=
063
02
02
,
yx
yx
yx
yxD
( ) ;0,,:1 ≥+∈∀ yxDyxP ( ) ;012,,2 ≤+−∈∀ yxDyxP：
( ) ;41
1,,:3 −≤−
+∈∃
x
yDyxP ( ) ;2,, 22
4 ≤+∈∃ yxDyxP：
21, PP 32 , PP 43, PP 42 , PP
≥
<<−=
11
102)( x
xxf ( )8,0 x
2
1)1(logloglog 2
342 ≤+⋅− xfxx
4
1
3
1
12
5
2
1
( 2,0), (2,0)A B− k l NM ,
2 3,MA MB− = 2 3NA NB− = MN (6,1) k
2− 1
2
− 1
2 2
( ) 2 (2 2 )x xf x x −= − (2 1) (1) 0f x f+ + <
1, 2
−∞ −
( )1,−∞− 1
2
− + ∞
( )1,− +∞
PAD∆ ABCD ,2=== ABPDPA
60APD∠ = , , , ,P A B C D
25
3
π 28
3
π 28 21
27
π 25 21
27
π
B C
A
D
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。
13.若直线 与圆 相切，则 的值为_________
14.如右图，根据图中数构成的规律， 所表示的数是 ．
15.已知 是定义在 R 上的偶函数，且 对 恒成立，
当 时， ，则 __________
16.已知数列 满足 ,则数列 的前 7
项和 ______
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分 12 分）,
在 中，内角 所对的边分别为 且 ．
（Ⅰ）求角 的大小；
（Ⅱ）若 ，角 的平分线 ，求 和 ．
18．（本小题满分 12 分）
经国务院批复同意，重庆成功入围国家中心城市，某校学生社团针对“重庆的发展环境”
对 20 名学生进行问卷调查打分（满分 100 分），得到如图所示茎叶图：
（Ⅰ）计算女生打分的平均分，并用茎叶图的数字特征评价男生、女生打分谁更分散；
（Ⅱ）如图按照打分区间 、 、 、 、 绘制的直方图
中，求最高矩形的高 ；
（Ⅲ）从打分在 70 分以下（不含 70 分）的同学中抽取 3 人，求有女生被抽中的概率．
19.（本小题满分 12 分）
( )f x
0x y+ = 2 2( ) 1x y a+ − = a
a
( ) ( )+2f x f x= x R∈
[ ]0,1x∈ ( ) 2xf x = ( )2log 24f − =
{ }nb ( )1 2
2 3 ,2 2 2 2
n n
n
b bb b n n N ∗+ + + + = ∈
12 −= na
nb
n
n
b
a
=7S
ABC∆ CBA ,, cba ,, 2 cosC 2ba c− =
A
2=c B 3=BD ADB∠ BC
[0,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100]
h
如图，四棱锥 中，底面 为直角梯形， ,平面
平面 ， 分别为 的中点， 为
的中点，过 作平面 分别与交 于点 .
（Ⅰ）当 为 中点时，求证：平面 平面 ；
（Ⅱ）当 时，求三棱锥 的体积.
20. 已知椭圆 ， 是坐标原点， 分别为
其左右焦点， , 是椭圆上一点， 的最大值为 .
（Ⅰ）求椭圆 的方程;
（Ⅱ）若直线 与椭圆 交于 两点，且 ,
（i）求证： 为定值;（ii）求 面积的最小值.
21.已知函数 ， .
（Ⅰ）若 ,求 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）讨论函数 的单调性；
（Ⅲ）若 存在两个极值点 ，求 的最小值.
请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。
作答时请写清题号
22. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程选讲.
在平面直角坐标系 中，以 为极点， 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系. 已知曲线
的极坐标方程为 ，直线 的方程为 （ 为参数）.
（Ⅰ）求曲线 的直角坐标方程及直线 的普通方程；
S ABCD− ABCD // ,AB CD BC CD⊥ SCD ⊥
ABCD 2 2, ,SC CD SD AD AB M N= = = = = ,SA SB E CD
,M N MNPQ ,BC AD ,P Q
Q AD SAE ⊥ MNPQ
QDAQ 3= Q BCN−
:C )0(12
2
2
2
>>=+ bab
y
a
x O 21, FF
3221 =FF M 21MFF∠ π
3
2
C
l C QP, OQOP ⊥
22
11
OQOP
+ OPQ∆
2( ) 2 lnf x x x m x= − + ( )m R∈ 3( ) ( )4
xg x x e= −
1=m )(xfy = ))1(,1( f
( )f x
( )f x 1 2 1 2, ( )x x x x< 1 2( )g x x−
xOy O x 1C
4cosρ θ= l
2 51 5
51 5
x t
y t
= −
= +
t
1C l
（Ⅱ）若曲线 的参数方程为 （ 为参数），曲线 上点 的极坐标为
， 为曲线 上的动点，求 的中点 到直线 距离的最大值.
23．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
已知不等式 与不等式 的解集相同.
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）若 ， ， ，且 ，求 的最小值．
命题人：杨春权 审题人：周波涛
2017 年重庆一中高 2017 级高三下期高考模拟考试
数 学 试 题 答 案（文科）2017.5
1-12 CDADB ABDAD BB
13. 14.144 15.
16.
17 解:（Ⅰ） ……………………2 分
而 …6 分
（Ⅱ）在 中,由正弦定理得,
…………………………………8 分
由余弦定理， …………………12 分
18．解：（Ⅰ）女生打分平均数 ，…2
分
男 生 打 分 数 据 比 较 分 散 （ 通 过 观 察 茎 叶 图 或 者 众 数 中 位 数 说 明 ， 不 必 说 明 理
由） …………………………4 分
（Ⅱ） …………………………6 分
（Ⅲ）设“有女生被抽中”为事件 ，打分在 70 分以下（不含 70 分）的同学中女
2C 2cos
sin
x
y
α
α
=
=
α 1C P
( , )4
πρ Q 2C PQ M l
| 2 3|x x− < 2 0x mx n− + < ( . )m n R∈
m n−
a b (0,1)c∈ ab bc ac m n+ + = − a b c+ +
2±
2
3
64
187
BCCAbcCa sin2sincossin22cos2 =−⇒=−
⇒+=+=− CACACACCA sincos2cossin2)sin(2sincossin2
2
1cos,0sinsincos2sin −=∴≠=− ACCAC 3
2),,0(
ππ =∴∈ AA
ABD∆
2
2sinsinsinsin
=⋅=∠⇒=∠ BD
AABADBA
BD
ADB
AB
2,6,6,4
===∠=∠∴=∠∴ ABACACBABCADB
πππ
6cos222 =⋅⋅−+== AACABACABBCa
1 68+69+76+75+70 78+79+82+87+96 =10
+（ ）78
9 10 0.045.20h = ÷ =
A
生有 2 人设为 ，男生 4 人设为
基本事件有
共 20 种，其中有女生的有 16 种， …………………………10 分
所以 …………………………12 分
19.解:(Ⅰ） 为 中点，所以四边形 为矩形，所以 当
时， 为 中点， 所以 …………………
2 分
因为平面 ⊥平面 ， ，所以
………………4 分
因为 在面 上，所以 所以 ⊥面
所以面 ⊥面 …………6 分
（Ⅱ）
∵ , 为 中点 ∴
又∵平面 ⊥平面 ,
平面 ∩平面 , 在平面 内
∴ ∴ 即为 到平面 的距离,即 ………………8 分
在 中, ∴
在直角梯形 中,易求得:
∵ 为中点 ∴ ∴
又∵平面 ∩平面 ∴ ,
又
∴
………………10 分
如图,在梯形 中, ,
∴ ,
,a b , , , .c d e f
, , , , , , , , , , , , , , ,abc abd abe abf acd ace acf ade adf aef bcd bce bcf bde bdf bef，
, , , ,cde cdf cef def
16 4( ) .20 5P A = =
E CD ABCE CDAE ⊥
2
1=λ Q AD CDPQ // AEPQ ⊥
SCD ABCD CDSE ⊥
ABCD面⊥SE
PQ ABCD SEPQ ⊥ PQ SAE
MNPQ SAE
hSVVV BCQBCQSBCQNBCNQ ⋅⋅⋅=== ∆−−− 3
1
2
1
2
1
SDSC = E CD CDSE ⊥
SCD ABCD SCD CDABCD = S SCD
ABCD面⊥SE SE S BCQ hSE =
SCD∆ ,2=== CDSDSC 3=SE
ABCD 3=BC
NM , ABMN // MNPQAB 面//
MNPQ ABCD PQ= PQAB //
PQPQBCSBCPQBCAB BCQ 2
3
2
1,, =⋅⋅=∴⊥∴⊥ ∆
PQhSVVV BCQBCQSBCQNBCNQ 4
1
3
1
2
1
2
1 =⋅⋅⋅=== ∆−−−
ABCD 1=GD ,4
314
7
4
3 =−=−=⇒== ABPQFQAD
AQ
GD
FQ
4
7
4
31 =+=+= FQPFPQ ∴
16
7
4
1 ==− PQV BCNQ
所以三棱锥 的体积 . ………………12 分
20.解：（Ⅰ）由题意得 ，得椭圆方程为： ……………3 分
（Ⅱ）i)当 斜率都存在且不为 0 时，设 ，
由 消 得 ，
同理得 ， 故
当 斜率一个为 0，一个不存在时，得
综上得 ，得证（未讨论斜率这扣 1 分) …………………8 分
ii) 当 斜率都存在且不为 0 时:
由上面所求可知:
…10 分
当且仅当 时取等号 ……………11 分
当 斜率一个为 0，一个不存在时,
综上 的最小值为 （未讨论斜率这扣 1 分 ) …………12 分
另解:由
当且仅当 时取等号 综上 的最小值为
…………12 分
21．解:（Ⅰ） 时,
所以
,
BCNQ −
16
7
2, 1a b= = 2
2 14
x y+ =
,OP OQ :OPl y kx= 1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y
2
2 14
y kx
x y
= + =
y 2
1 2
4
1 4x k
= +
2
2 2 2
1 1 2
4
1 4
ky k x k
= = +
2
2
2 2
4
4
kx k
= +
2 2
2 22 2
1 4
4y xk k
= = + 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2
1 1 1 1 5
4x y x yOP OQ
+ = + =+ +
,OP OQ 2 2
1 1 1 1 5
4 1 4OP OQ
+ = + =
2 2
1 1 5
4OP OQ
+ =
,OP OQ
2
2
2
1
2
1 41
44
k
kyxOP +
+=+= 2
2
2
2
2
2 4
44
k
kyxOQ +
+=+=
2 2 2 2
2 22 2
2
1 1 4 4 4 4 (1 ) 42 1 4 42 2 1 4 4 5( )2
OPQ
k k kS OP OQ k kk k∆
+ + += × × = × ≥ ≥+ + ++ +
11441 222 ±=⇒=⇒+=+ kkkk
,OP OQ 1OPQS∆ =
OPQS∆ 5
4
2 2
1 1 5 5 1 1 8 424 4 5 5OPQOP OQ SOP OQOP OQ ∆+ = ⇒ ≥ ⋅ ⋅ ⇒ ≥ ⇒ ≥
OQOP = OPQS∆ 5
4
1=m xxxxf ln2)( 2 +−=
1,1)1()0(122122)( /
2
/ ==⇒>+−=+−= kfxx
xx
xxxf 0)1( =f
所以在点 处的切线方程为 …………3 分
（Ⅱ）
的 的对称轴为
……………5 分
（1）当 即 时,方程 无解,
在 恒成立,所以 在 单增
当 即 时,方程 有相等的实数解, ……………6 分
在 恒成立,所以 在 单增
(2)当 即 时,方程 有解,
解得
当 时, ,解不等式
所以 在 单增,在 单减
当 时, ,解不等式
所以 在 单增,在 单减 ,在 和 单增,……………8 分
综上所得: ， 单调递减， 单调递增； ，
单调递增， 单调递减， 单
调递增； ， 单调递增 ……………9 分
(Ⅲ)´由(Ⅰ)可知当 时函数 有两个极值点 , 且 为方程
))1(,1( f 021)1(1 =−−⇒−=−=+ yxxxky
)0(2222)(
2
/ >+−=+−= xx
mxx
x
mxxf
022 2 =+− mxx m84 −=∆
2
1=x
0<∆
2
1>m 022 2 =+− mxx
02222)(
2
/ ≥+−=+−=
x
mxx
x
mxxf ( )+∞,0 )(xf ( )+∞,0
0=∆
2
1=m 022 2 =+− mxx
02222)(
2
/ ≥+−=+−=
x
mxx
x
mxxf ( )+∞,0 )(xf ( )+∞,0
0>∆
2
1⇒>+−=+−=
)(xf ( )+∞,2x ( )2,0 x
2
10 << m 210 xx << 12
2
0022 xxxxx
mxx <<>⇒>+− 或
)(xf ( )+∞,2x ( )21, xx ( )+∞,2x ( )1,0 x
)2
1,0(∈m )(xf 2,1 xx )( 21 xx < 2,1 xx
的两个根,
,
令 ,则问题转化为 在 的最值.
又∵ 且
, ……………11 分
所以 在 ,所以当 时 最小
∴ ……………12 分
22.解: (1) 由 . ……………………………… 5 分
（2） 直角坐标为 ， ，
，从而最大值为 ………10 分
23.解：(1)
………………………………
5 分
(2)由（1）得 ，
……7 分
（当且仅当 时取等）
………………………………10
分
022 2 =+− mxx 2
211,2
211
21
mxmx
−+=−−= mxx 2121 −−=−
)0,1()),2
1,0((21 −∈∈−−= tmmt tettg )4
3()( −= )2
1,0(∈t
,)4
1()4
3()(/ ttt eteettg +=+−=
0)(0,4
1,0)()4
1,1( // ≥
−∈≤−−∈ tgttgt 时时
)(tg 单增时单减时 )(0,4
1,)()4
1,1( tgttgt
−∈−−∈
4
1−=t )(tg
4
1
min )4
1()(
−−=−= egtg
2 2
1 : 4 0,C x y x+ − = : 2 3 0l x y+ − =
(2 2, ),4P
π
(2,2) 1(2cos ,sin ), (1 cos ,1 sin )2Q Mα α α α+ +
|1 cos 2 sin 3| 10 | sin( ) |5 45M ld
α α πα→
+ + + −= = + 10
5
| 2 3| 2 3 1 3x x x x x x− < ⇒ − < − < ⇒ < < 21,3 =0 .x mx n∴ − +是 的两根
1 0, 4, 1.9 3 0, 3.
m n m m nm n n
− + = = ∴ ∴ ∴ − = − + = =
1ab bc ac+ + =
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2( ) 2 2 2 2.2 2 2
a b b c a ca b c a b c ab bc ac
+ + ++ + = + + + + + = + + +
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
, , 1.2 2 2 2 2 2
a b b c a c a b b c a cab bc ac ab bc ac
+ + + + + +≥ ≥ ≥ ∴ + + ≥ + + =
2 2 2 2 2 2
2( ) 2 3.2 2 2
a b b c a ca b c
+ + +∴ + + = + + + ≥ 3
3a b c= = =
3.a b c∴ + + 的最小值是