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- 2021-06-01 发布
全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年河北省保定市徐水一中高二（上）期中数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，其数量之比依次是3：4：7，现在用分层抽样的方法抽出样本容量为n的样本，样本中A型号产品有15件，那么n等于（ ）
A．50 B．60 C．70 D．80
2．同时掷2枚硬币，那么互为对立事件的是（ ）
A．恰好有1枚正面和恰有2枚正面
B．至少有1每正面和恰好有1枚正面
C．至少有2枚正面和恰有1枚正面
D．最多有1枚正面和恰有2枚正面
3．如果命题“p且q”是假命题，“非p”是真命题，那么（ ）
A．命题p一定是真命题
B．命题q一定是真命题
C．命题q可以是真命题也可以是假命题
D．命题q一定是假命题
4．已知命题P：∃x0∈R，x02+2x0+2≤0，则￢p是（ ）
A．∃x0∈R，x02+2x0+2＞0 B．∀x∈R，x2+2x+2≤0
C．∀x∈R，x2+2x+2＞0 D．∀x∈R，x2+2x+2≥0
5．椭圆3x2+ky2=1的一个焦点的坐标为（0，1），则其离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
6．已知实数x，y满足x2+y2﹣4x+6y+4=0，则的最小值是（ ）
A．2+3 B．﹣3 C． +3 D．﹣3
7．“1＜m＜3”是“方程+=1表示椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．两圆x2+y2﹣6x+16y﹣48=0与x2+y2+4x﹣8y﹣44=0的公切线条数为（ ）
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
9．已知双曲线的一个焦点与抛物线x2=20y的焦点重合，且其渐近线的方程为3x±4y=0，则该双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
10．执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（ ）
A． B． C． D．
11．设P是圆（x﹣3）2+（y+1）2=4上的动点，Q是直线x=﹣3上的动点，则|PQ|的最小值为（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
12．已知双曲线E： =1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（3，0），过点F的直线交双曲线于A，B两点，若AB的中点坐标为N（﹣12，﹣15），则E的方程为（ ）
A． B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1
二、填空题样本中共有五个个体，其值分别为a，0，1，2，3．若该样本的平均值为1，则样本方差为 ．
14．已知圆O：x2+y2=5，直线l：xcosθ+ysinθ=1（0）．设圆O上到直线l的距离等于1的点的个数为k，则 k= ．
15．已知点，点P（x0，y0）为抛物线y=上的动点，则y0+|PQ|的最小值为 ．
16．方程=kx+2有两个不同的实数根，则实数k的取值范围为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（10分）已知命题p：方程表示焦点在x轴上的椭圆，命题q：方程（k﹣1）x2+（k﹣3）y2=1表示双曲线．若p∨q为真，p∧q为假，求实数k的取值范围．
18．（12分）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：．
（1）求图中a的值；
（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；
（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如表所示，求数学成绩在=×10=2
故答案为：2
【点评】本题考查了样本数据平均数、方差、标准差的计算．属于简单题．
14．已知圆O：x2+y2=5，直线l：xcosθ+ysinθ=1（0）．设圆O上到直线l的距离等于1的点的个数为k，则 k= 4 ．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】找出圆O的圆心坐标与半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心O到直线l的距离d，根据d与r的大小关系及r﹣d的值，即可作出判断．
【解答】解：由圆的方程得到圆心O（0，0），半径r=，
∵圆心O到直线l的距离d==1＜，且r﹣d=﹣1＞1=d，
∴圆O上到直线l的距离等于1的点的个数为4，即k=4．
故答案为：4
【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，弄清题意是解本题的关键．
15．已知点，点P（x0，y0）为抛物线y=上的动点，则y0+|PQ|的最小值为 2 ．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】根据抛物线的定义得到y0+|PQ|=d﹣1+|PQ|=|PF|+|PQ|﹣1≥|FQ|﹣1=2，从而得到答案．
【解答】解：用抛物线的定义：
焦点F（0，1），准线 y=﹣1，设P到准线的距离为d
y0+|PQ|=d﹣1+|PQ|=|PF|+|PQ|﹣1≥|FQ|﹣1=2
（当且仅当F、Q、P共线时取等号）
故y0+|PQ|的最小值是2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了抛物线的定义，抛物线的性质，是一道中档题．
16．方程=kx+2有两个不同的实数根，则实数k的取值范围为 ． ．
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【分析】将问题转化为两个函数的交点问题，画出函数图象，结合图象，从而求出k的范围．
【解答】解：解：设y=f（x）=，（y≥0，﹣1≤x≤1）；即x2+y2=1 （半圆），
y=h（x）=kx+2 （x∈R） 即y﹣2=kx，直线恒过点M（0，2），
∵方程f（x）=h（x）有两个不同的实数根，（k＞0）即y=f（x）和y=h（x）有两个不同的交点，
画出f（x），h（x）的图象，如图示：
，
当直线与圆相切时，k=±，
当直线过（0，2），（﹣1，0）时，k=±2，
∴﹣2≤k＜﹣或＜k≤2，
故答案为：．
【点评】本题考查了函数的零点问题，考查了转化思想，是一道中档题．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（10分）（2016秋•徐水县校级期中）已知命题p：方程表示焦点在x轴上的椭圆，命题q：方程（k﹣1）x2+（k﹣3）y2=1表示双曲线．若p∨q为真，p∧q为假，求实数k的取值范围．
【考点】复合命题的真假．
【分析】根据椭圆和双曲线的方程求出命题p，q的等价条件，结合复合命题之间的关系进行求解即可．
【解答】解：当p为真时，k＞4﹣k＞0，即 2＜k＜4； …（2分）
当q为真时，（k﹣1）（k﹣3）＜0，即 1＜k＜3；…
若p∨q为真，p∧q为假，
则p和q有且只有一个为真命题，则
（1）若p为真q为假，
则，
即3≤k＜4；…（7分）
（2）q为真p为假，
则，
即1＜k≤2；…（9分）
∴综上所述，若p∨q为真，p∧q为假，则k的取值范围是1＜k≤2或3≤k＜4．…（10分）
【点评】本题主要考查复合命题真假之间的关系，求出命题的等价条件是解决本题的关键．
18．（12分）（2012•广东）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：．
（1）求图中a的值；
（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；
（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数．
分数段
[50，60）
[60，70）
[70，80）
[80，90）
x：y
1：1
2：1
3：4
4：5
【考点】用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图；众数、中位数、平均数．
【分析】（1）由频率分布直方图的性质可10（2a+0.02+0.03+0.04）=1，解方程即可得到a的值；
（2）由平均数加权公式可得平均数为55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05，计算出结果即得；
（3）按表中所给的数据分别计算出数学成绩在分数段的人数，从总人数中减去这些段内的人数即可得出数学成绩在[50，90）之外的人数．
【解答】解：（1）依题意得，10（2a+0.02+0.03+0.04）=1，解得a=0.005；
（2）这100名学生语文成绩的平均分为：55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05=73（分）；
（3）数学成绩在[50，60）的人数为：100×0.05=5，
数学成绩在[60，70）的人数为：，
数学成绩在[70，80）的人数为：，
数学成绩在[80，90）的人数为：，
所以数学成绩在[50，90）之外的人数为：100﹣5﹣20﹣40﹣25=10．
【点评】本题考查频率分布估计总体分布，解题的关键是理解频率分布直方图，熟练掌握频率分布直方图的性质，且能根据所给的数据建立恰当的方程求解．
19．（12分）（2010春•海淀区期末）已知圆c关于y轴对称，经过抛物线y2=4x的焦点，且被直线y=x分成两段弧长之比为1：2，求圆c的方程．
【考点】圆的标准方程．
【分析】根据题意设出圆的标准方程，圆c关于y轴对称，经过抛物线y2=4x的焦点，被直线y=x分成两段弧长之比为1：2，写出a，r的方程组，解方程组得到圆心和半径．
【解答】解：设圆C的方程为x2+（y﹣a）2=r2
∵抛物线y2=4x的焦点F（1，0）
∴1+a2=r2 ①
又直线y=x分圆的两段弧长之比为1：2，
可知圆心到直线y=x的距离等于半径的；
∴②
解①、②得a=±1，r2=2
∴所求圆的方程为x2+（y±1）2=2
【点评】本题考查求圆的标准方程，在题目中有一个条件一定要注意，即圆c关于y轴对称，这说明圆心在y轴上，设方程的时候，要引起注意．
20．（12分）（2015秋•咸阳期末）在平面直角坐标系中，已知一个椭圆的中心在原点，左焦点为，且过D（2，0）．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）若P是椭圆上的动点，点A（1，0），求线段PA中点M的轨迹方程．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）由已知得椭圆的半长轴a=2，半焦距，则半短轴b=．即可得出．
（2）设线段PA的中点为M（x，y），点P的坐标是（x0，y0），利用中点坐标公式可得，即由于点P在椭圆上，代入椭圆方程即可．
【解答】解：（1）由已知得椭圆的半长轴a=2，半焦距，则半短轴b==1．
又椭圆的焦点在x轴上，
∴椭圆的标准方程为．
（2）设线段PA的中点为M（x，y），点P的坐标是（x0，y0），
由，得
∵点P在椭圆上，得，
∴线段PA中点M的轨迹方程是．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、中点坐标公式、“代点法”等基础知识与基本技能方法，属于中档题．
21．（12分）（2015秋•高安市校级期末）如图，已知圆C的方程为：x2+y2+x﹣6y+m=0，直线l的方程为：x+2y﹣3=0．
（1）求m的取值范围；
（2）若圆与直线l交于P、Q两点，且以PQ为直径的圆恰过坐标原点，求实数m的值．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】（1）将圆的方程化为标准方程：，若为圆，须有，解出即可；
（2）设点P（x1，y1），Q（x2，y2），由题意得OP、OQ所在直线互相垂直，即kOP•kOQ=﹣1，亦即x1x2+y1y2=0，根据P、Q在直线l上可变为关于y1、y2的表达式，联立直线方程、圆的方程，消掉x后得关于y的二次方程，将韦达定理代入上述表达式可得m的方程，解出即可；
【解答】解：（1）将圆的方程化为标准方程为：，
依题意得：，即m＜，
故m的取值范围为（﹣∞，）；
（2）设点P（x1，y1），Q（x2，y2），
由题意得：OP、OQ所在直线互相垂直，则kOP•kOQ=﹣1，即，
所以x1x2+y1y2=0，
又因为x1=3﹣2y1，x2=3﹣2y2，
所以（3﹣2y1）（3﹣2y2）+y1y2=0，即5y1y2﹣6（y1+y2）+9=0①，
将直线l的方程：x=3﹣2y代入圆的方程得：5y2﹣20y+12+m=0，
所以y1+y2=4，，
代入①式得：，解得m=3，
故实数m的值为3．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查圆的方程，属中档题，解决本题（2）问的关键是正确理解“以PQ为直径的圆恰过坐标原点”的含义并准确转化．
22．（12分）（2014•河西区三模）已知抛物线E：x2=2py（p＞0），直线y=kx+2与E交于A、B两点，且•=2，其中O为原点．
（1）求抛物线E的方程；
（2）点C坐标为（0，﹣2），记直线CA、CB的斜率分别为k1，k2，证明：k12+k22﹣2k2为定值．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．
【分析】（1）将直线与抛物线联立，消去y，得到关于x的方程，得到两根之和、两根之积，设出A、B的坐标，代入到•=2中，化简表达式，再将上述两根之和两根之积代入得到p，从而求出抛物线标准方程．
（2）先利用点A，B，C的坐标求出直线CA、CB的斜率，再根据抛物线方程轮化参数y1，y2，得到k和x的关系式，将上一问中的两根之和两根之积代入，化简表达式得到常数即可．
【解答】（1）解：将y=kx+2代入x2=2py，得x2﹣2pkx﹣4p=0，
其中△=4p2k2+16p＞0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2pk，x1x2=﹣4p，
∴===﹣4p+4，
由已知，﹣4p+4=2，解得p=，
∴抛物线E的方程为x2=y．
（2）证明：由（1）知x1+x2=k，x1x2=﹣2，
===x1﹣x2，
同理k2=x2﹣x1，
∴=2（x1﹣x2）2﹣2（x1+x2）2=﹣8x1x2=16．
【点评】本题考查抛物线的标准方程和几何性质、直线的方程、向量的数量积等基础知识，考查代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力、综合分析和解决问题的能力．