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- 2021-06-01 发布
永春一中高二年（文）期中考试数学科试卷 （2018.04）
命题：张隆亿 审核：郭文伟
考试时间：120分钟 试卷总分：150分
第I卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．复数的等于
A． B． C． D．
2．下列三句话按三段论的模式排列顺序正确的是
① 2012能被2整除；②一切偶数都能被2整除；③ 2012是偶数；
A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③②①
3．用反证法证明命题“三角形的内角中最多只有一个内角是钝角”时，应先假设
A．没有一个内角是钝角 B．有两个内角是钝角
C．有三个内角是钝角 D．至少有两个内角是钝角
4．利用独立性检验的方法调查大学生的性别与爱好某项运动是否有关，通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，利用列联表，由计算可得
0．10
0．05
0．025
0．010
0．005
0．001
2．706
3．841
5．024
6．635
7．879
10．828
参照附表，得到的正确结论是
A．有99．5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
B．有99．5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
C．在犯错误的概率不超过0．05%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
D．在犯错误的概率不超过0．05%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
5．有下列说法：①球的体积与该球的半径具有相关关系；
②在残差图中,残差点比较均匀地落在水平的带状区域内,说明选用的模型比较合适；
③相关指数R2来刻画回归的效果,R2值越小,说明模型的拟合效果越好；
④比较两个模型的拟合效果,可以比较残差平方和的大小,残差平方和越小的模型,拟合效果越好.其中真命题的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
6．“”是“对成立”的
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既非充分也非必要条件
7．函数的单调递减区间为
A． B． C． D．
8．某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内填
A． B． C． D．
9．已知命题：。命题：，，
则下列命题中为真命题的是
A． B． C． D．
10．给出下面四个类比结论：
①实数，若，则或；类比向量，若，
则或
②实数，有；类比向量，有
③向量，有；类比复数有
④实数，有，则；类比复数，有，则
其中类比结论正确的命题个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
11．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和（，，，），则是的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道…，若令，则第一次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值，即，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得的近似分数为
A． B． C． D．
12．设函数的导函数为，对任意都有成立，则
A． B．
C． D．与的大小不确定
二、填空题（本大题共4小题，每小题 5分，共20分。请把正确答案填在答题卡中横线上）
13．若复数（为实数，为虚数单位）是纯虚数，则 ．
14．某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近年的广告支出与销售额 (单位：百万元)进行了初步统计，得到下列表格中的数据：
经测算，年广告支出与年销售额满足线性回归方程，则的值为 ．
15．如图，第n个图形是由正n + 2 边形“ 扩展 ” 而来，，则在第n个图形中共有_ _个顶点.(用n表示)
16．某同学在研究函数的性质时，受到两点间距离公式的启发，将变形为，则表示（如图），下列关于函数的描述正确的是 ．（填上所有正确结论的序号）
①的图象是中心对称图形； ②的图象是轴对称图形；
③函数的值域为；④方程有两个解．
三、解答题：（本大题共6题，满分74分）
17．（本小题满分10分）
以平面直角坐标系的坐标原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴，以平面直角坐标系的长度为长度单位建立极坐标系．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）设直线l与曲线C相交于A、B两点，求．
18．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若不等式的解集包含，求的取值范围．
19．（本小题满分12分）
进入12月以来，某地区为了防止出现重污染天气，坚持保民生、保蓝天，严格落实机动车限行等一系列“管控令”.该地区交通管理部门为了了解市民对“单双号限行”的赞同情况，随机采访了220名市民，将他们的意见和是否拥有私家车情况进行了统计，得到如下的2×2列联表：
赞同限行
不赞同限行
合计
没有私家车
90
20
110
有私家车
70
40
110
合计
160
60
220
（1）根据上面的列联表判断，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“是否赞同限行与是否拥有私家车”有关；
（2）为了了解限行之后是否对交通拥堵、环境污染起到改善作用，从上述调查的不赞同限行的人员中按分层抽样抽取6人，再从这6人中随机抽出3名进行电话回访，求3人中至少抽到1名“没有私家车”人员的概率．
附：
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
20．（本小题满分12分）
已知鸡的产蛋量与鸡舍的温度有关，为了确定下一个时段鸡舍的控制温度，某企业需要了解鸡舍的温度（单位），对某种鸡的时段产蛋量（单位：）和时段投入成本（单位：万元）的影响，为此，该企业收集了7个鸡舍的时段控制温度和产蛋量的数据，对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中的统计量的值．
17.40
82.30
3.6
140
9.7
2935.1
35.0
其中， .
（1）根据散点图判断， 与哪一个更适宜作为该种鸡的时段产蛋量关于鸡舍时段控制温度的回归方程类型？（给判断即可，不必说明理由）
（2）若用作为回归方程模型，根据表中数据，建立关于的回归方程；
（3）已知时段投入成本与的关系为，当时段控制温度为时，鸡的时段产蛋量及时段投入成本的预报值分别是多少？
附：①对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，
e－2.5
e－0.75
e
e3
e7
0.08
0.47
2.72
20.09
1096.63
②
21．（本小题满分12分）
（1）已知椭圆， 是椭圆上不同的两个点，线段 的垂直平分线与轴相交于点．证明： ；
（2）对于双曲线写出类似的结论．
22．（本小题满分12分）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若有两个极值点，证明： ．
永春一中高二年（文）期中考试数学科参考答案 （2018.04）
一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．
1-12. ACDBB BDACB DB
二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分．
13.2 14.60 15. 16. ②③
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
解：(1) 由，既 曲线的直角坐标方程为.……4分
(2) 的参数方程为代入，整理的，.…….…….…….…….…….…….…….6分
所以， .…….……. .…….…….…….…….…….…….…….…….…….…….8分
所以..…….………..10分
18．（本小题满分12分）
解： 当时， ，.…….…….…….……. .…….…….…….……….…….…….1分
当时，由，解得；.…….…….3分
当时， ，解得；.…….…….….….…….…….…….4分
当时， ，由，解得；.….………6分
综上所述， 的解集为；.…….…….…….…….…….…….…….….…………7分
依题意得： 在恒成立，即在恒成立，.…….….…….9分
则只需.……. …….………….………….….………….…….…….…….…….……11分
解得，
故的取值范围是．.…….…….…….……. .……….………….…….…….…….……….…….…….12分
19．（本小题满分12分）
试题解析：（1）的观测值．…….…….…….4分
所以不能在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为“是否赞同限行与是否拥有私家车”有关. …….6分
（2）设从“没有私家车”中抽取x人，从“有私家车”中抽取y人，由分层抽样的定义可知，解得x＝2，y＝4． ….………….………….………….……….……7分
在抽取的6人中，“没有私家车”的2名人员记为，，“有私家车”的4名人员记为，，，，则所有的抽样情况如下：
，，，，
，，，，
，，，，
，，，，
，，，.
共20种．….………….………….………….……….……10分
其中至少有1名“没有私家车”人员的情况有16种．….………….………….………….…………11分
记事件A为至少抽到1名“没有私家车”人员，则．….………….………….…12分
20．（本小题满分12分）
解：（1）适宜.…….…….……….………….……….……. .…….…….…….……….…….…….2分
（2）由得
令， ，
由图表中的数据可知， .…….…….…….……. .…….…….…….……….…….…….7分
∴.…….…….…….……. .…….…….…….………….………….………….………….…….……8分
∴关于的回归方程为.…….…….…….……….…….………….……….……….……9分
（3）时，由回归方程得， .…….….…….……. …….………….…….10分
.…….…….…….…. .…….…….…….……….………….…….…….11分
即鸡舍的温度为时，鸡的时段产量的预报值为515.4，投入成本的预报值为48.432．.…….…….12分
21．（本小题满分12分）
解：（1） 设，，由在线段的垂直平分线上，
得．.…….….…….………….…………….……….…………….…….…2分
由两点在椭圆上，得，，.…….….…….………….………….…4分
即．.…….….…………….…………….…………….…….…6分
∵，∴． .…….….…….………………….…….……8分
∵， 又，∴，
∴ ．.…….…….…….……. .…….…….…….………….………….…….…….10分
（2）是双曲线上不同的两个点，线段的垂直平分线与轴相交于点 ，则.（或）．.…….….…….………….………….…………….…………….………12分
22．（本小题满分12分）
解：（1），.…….….…….………….…….…2分
令，
①即时， ，故恒成立，所以在上单调递增；.…….3分
②当即时， 恒成立，所以在上单调递增；.…4分
③当时，由于的两根为，
所以在为增函数，
在为减函数，.………….…………….……….…………….………6分
综上： 时，函数在为增函数；
时，函数在为增函数，
在为减函数；.…….….…….……………….…….……….…….…7分
（2）由（1）知，且，.…….….…….……………….…….……….…….…8分
∴，
而，
∴，.…. ……….…………….10分
设，则，……….…………….….11分
所以在上为减函数，又，所以，
所以
．.…….….…….………….…………….………….………….…….…12分