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- 2021-06-01 发布
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数学试题
（考试时间：120分钟 总分：150分）
注意事项：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.其中选择题部分用2B铅笔在答题卡相应位置填涂；非选择题部分用0.5mm黑色签字笔在答题卡相应位置书写，在试题卷上作答的一律无效.
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
1.设全集 ，集合 ， ，
则 =（ ）
A. {1,3,7,8} B. {0,2,4,5,6,9,10} C. {0,5,6,10} D．{2,4,5,9,10}
2.下列函数中，既是偶函数又在 上单调递减的函数是（ ）
A． B． C． D．
3．德国数学家狄利克雷在数学上做出了名垂史册的重大贡献，函数
是以他名字命名的函数，则 （ ）
A．1 B．0 C． D．-1
4.如图，设全集， ， ，其Venn图如下，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
N
M
A. B.
C. D.
5．函数 的定义域是（ ）
A． B． C． D．
6.下列四组函数中,两个函数是同一函数的是( )
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
7.若对于任意非零实数 都有，则 =（ ）
A.3 B.4 C. D.
8.已知函数 是定义在R上的偶函数，当 时， 为减函数，若 ， ， ，则 的大小关系是( )
A. B. C. D.
9．函数 的图象如右图所示，则函数
的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
10.中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”,如太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案.给出定义：若一函数的图像能将圆的周长和面积同时平分，则称这个函数为该圆的“优美函数”.下列函数可以为图1--1圆O的“优美函数”的是（ ）
A. B.
C. D.
图1-1
11.已知函数 的值域为 ，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
12．如果函数对任意满足，且，
则 （ ）
A．505 B．1010 C．2020 D．4040
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。请将答案填在答题卡上的指定位置。
13.已知集合 ，集合 ．若 ，则实数 =_____.
14.函数 的图像恒过定点 ，且点 在幂函数 的图像上，则 _______.
15.已知 ,若 且 ，则 =____； =_____.
16.关于函数 ，有下列命题：①当 时， 是增函数；当 时， 是减函数；②其图象关于 轴对称；③ 无最大值，也无最小值；④
在区间 ， 上是增函数；⑤ 的最小值是.其中所有正确命题的序号是_________．
三、解答题：本题共6小题，17小题10分，18—22小题每小题12分，共70分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分10分）（1）计算 ；
（2）已知 , 求 的值.
18.（本小题满分12分）已知集合A={ |2≤≤8}，B={ | }．
...
（1）求 ；
（2）已知集合C={ |1＜ ＜ }，若 ，求实数 的取值范围．
19.（本小题满分12分）已知 是定义在R上的偶函数，且当 时图象是如图所示的抛物线的一部分．
（1）写出函数 的表达式；
（2）若函数 ，求 的最小值.
20.（本小题满分12分）已知 对任意实数都有
且当 时，有 .
（1）求证： 在R上为增函数；
（2）若 ，求满足不等式 的实数 的取值范围.
21.（本小题满分12分）设函数 ，且 ， .
（1）求 ， 的值；（2）若函数 的图象与 的图象恒有两个交点，求 的取值范围．
22.（本小题满分12分）已知函数 （ 且 ）是定义在 上的奇函数．
（1）求 的值；
（2）求函数 的值域；
（3）当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
答案
一、 选择题
BCAC DDAB ABBC
二、 填空题
13. 14.49 15.m=4,n=2 16.①③
三． 解答题
17. 每小题5分
（1）
（2）
18.解：（1）A={x|2≤2x≤8}={x|1≤x≤3}…..1分
..…2分
（CRB）∪A={x|x≤2}∪{x|1≤x≤3}={x|x≤3}…..6
（2）当a≤1时，C=∅，此时C⊆A…8分
当a＞1时，C⊆A，则1＜a≤3…10分
综上所述，a的取值范围是（﹣∞，3]…..12分
19.当时，设解析式是，代入得，…..2分
即
因为f(x)为偶函数
当x<0时，-x>0
…..5分
所以解析式是…..6分
(2)
对称轴为
（i） 当
…..8分
（ii） 当
…..10分
（iii） 当
…..12分
20.(1)证明:任取 且
则.
,
，
在R上为增函数. …..6分
(3) ,即, `
.…..8分
,
…..10分
又在R上为增函数,
,即
故实数的取值范围为. …..12分
21.解：（1）∵f（1）=lg6，f（2）=lg72，f（x）=lg（ax﹣bx）
∴，….3分
解得∴a=9，b=3；….5分
（2）若函数g（x）=ax的图象与h（x）=bx﹣c的图象恒有两个交点．则方程9x﹣3x +c=0有两个解，…..8分
令t=3x，则t＞0，则方程有两个正解；…..10分
故，解得．
所以当时，函数g（x）=ax的图象与h（x）=bx﹣c的图象恒有两个交点．…..12分
22． 解（1）∵是上的奇函数，
∴整理可得a=3．…..2分
（2）由（1）可得，
∴函数在上单调递增，…..4分
又，
∴，
∴．
∴函数的值域为．….7分
（3）当时，．
由题意在恒成立
得
∴在时恒成立．
令，则有，…..9分
∵当时函数为增函数，
∴.
∴.
故实数的取值范围为．…..12分