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- 2021-06-01 发布
高新部高三开学考试数学试题（文）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2. 复数是实数，则实数等于（ ）
A. 2 B. 1 C. 0 D. -1
3. 执行如图所示的程序框图，若输出的，则输入的（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 1或4
4. 已知满足对任意的，，且时，（为常数），则的值为（ ）
A. 4 B. -4 C. 6 D. -6
5. 将正方体(如图(1)所示)截去两个三棱锥，得到如图(2)所示的几何体，则该几何体的侧视图为（ ）
A. B. C. D.
6. 在平面直角坐标系中，为不等式组所表示的区域上一动点，则直线斜率的最小值为（ ）
A. 2 B. 1 C. D.
7. 若抛物线上一点到其焦点的距离为10，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知图①中的图象对应的函数为，则图②中的图象对应的函数为（ ）
A. B. C. D.
9.已知点在双曲线上，轴（其中为双曲线的焦点），点 到该双曲线的两条渐近线的距离之比为，则该双曲线的离心率为
A. B. C. D.
10.已知底面半径为1，高为的圆锥的顶点和底面圆周都在球O的球面上，则此球的表面积为
A. B. C. D.
11.过抛物线：的焦点的直线与抛物线C交于，两点，与其准线交于点，且，则
A． B． C． D．1
12.已知函数在区间上有两个不同的零点，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.抛物线的焦点坐标为
14.已知向量，，其中，，且，则
15.已知数列的前项和为，，，且，记，则
16.在中，角的对边依次为，若为锐角三角形，且满足则的取值范围是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知数列为等差数列，且，，数列的前项和为.(12分)
(1)求数列和的通项公式；
18.如图，正方形中，，与交于点，现将沿折起得到三棱锥，，分别是，的中点.(12分)
(1)求证：；
(2)若三棱锥的最大体积为，当三棱锥的体积为，且为锐角时，求三棱锥的体积.
19.某中学为研究学生的身体素质与与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间进行调查，如下表：(平均每天锻炼的时间单位：分钟)
将学生日均课外体育运动时间在上的学生评价为“课外体育达标”.(12分)
平均每天锻炼的时间(分钟)
总人数
20
36
44
50
40
10
(1) 请根据上述表格中的统计数据填写下面列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？
课外体育不达标
课外体育达标
合计
男
女
20
110
合计
(2) 从上述200名学生中，按“课外体育达标”、“课外体育不达标”分层抽样，抽取4人得到一个样本，再从这个样本中抽取2人，求恰好抽到一名“课外体育不达标”学生的概率.
参考公式：，其中.
参考数据：
（20）（本小题满分12分）
已知函数，．
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）若函数有两个零点，求实数的取值范围．
（21）（本小题满分12分）
已知椭圆： 的左顶点为，右焦点为，过点且斜率为1的直线交椭圆于另一点，交轴于点， ．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作直线与椭圆交于两点，连接（为坐标原点）并延长交椭圆于点，求面积的最大值及取最大值时直线的方程．
(二)选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
22.[选修4—4：坐标系与参数方程](10分)
在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是(α为参数)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为
(Ⅰ)求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程；
(Ⅱ)已知直线l与曲线C交于A，B两点，与x轴交于点P，求|PA|·|PB|.
23.[选修4—5：不等式选讲](10分)
已知函数f(x)＝|2x－1|＋2|x＋2|.
(Ⅰ)求函数f(x)的最小值；
(Ⅱ)解不等式f(x)<8.
答案
1.D 2.D 3.D 4.B 5.B 6.C 7.C 8.B 9.A 10.C 11.B 12.A
13. 14. 15. 16.
(2)设，求数列的前项和.
17.解：(1)数列为等差数列，∴，
又∵，∴，∴，
当时，，∴，
当时，，∴，
即数列是首项为1，公比为的等比数列，∴.
(2)，
∴，
则，
两式相减，
，
∴.
18.解：(1)依题意易知，，，∴平面，
又∵平面，∴.
(2)当体积最大时三棱锥的高为，当体积为时，高为，
中，，作于，∴，∴，
∴为等边三角形，∴与重合，即平面，
易知.
∵平面，∴，∴，
∴.
19.(1)由题意可得如下列联表：
课外体育不达标
课外体育达标
合计
男
60
30
90
女
90
20
110
合计
150
50
200
.
所以在犯错误的概率不超过的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关.
(2)由题意，样本中“课外体育不达标”的学生有3人，记为：；“课外体育达标”的学生有1人，记为：.
从这4人中抽取2人共有，，，，，6种情况，
其中“恰好抽到一名‘课外体育不达标’学生”有，，3种情况，
设“恰好抽到一名‘课外体育不达标’学生”为事件，则.
21. 解：（Ⅰ） ……………1分
当上单调递减；
当.………… 3分
.…………4分
…………5分
综上：当上单调递减；
当a>0时， …………6分
（Ⅱ）当由（Ⅰ）得上单调递减，函数不可能有两个零点；………7分
当a>0时，由（Ⅰ）得，且当x趋近于0和正无穷大时，都趋近于正无穷大，………8分
故若要使函数有两个零点，则的极小值，………………10分
即，解得,
综上所述，的取值范围是 …………………12分
（21）
解：（Ⅰ）由题知，故，……………1分
代入椭圆的方程得，……………2分 又，……………3分
故，……………4分 椭圆；……………5分
（Ⅱ）由题知，直线不与轴重合，故可设，
由得，……………8分
设，则，由与关于原点对称知，
，……………10分
，，即，当且仅当时等号成立，面积的最大值为3，此时直线的方程为……………12分
22.解：(Ⅰ)由曲线C的参数方程(α为参数)，得(α为参数)，
两式平方相加，得曲线C的普通方程为(x－1)2＋y2＝4；(3分)
由直线l的极坐标方程可得ρcosθcos－ρsinθsin＝(4分)
即直线l的直角坐标方程为x－y－2＝0.(5分)
(Ⅱ)由题意可知P(2，0)，则直线l的参数方程为(t为参数)．(6分)
设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则|PA|·|PB|＝|t1|·|t2|，
将(t为参数)代入(x－1)2＋y2＝4，得t2＋t－3＝0，(8分)
则Δ>0，由韦达定理可得t1·t2＝－3，(9分)
所以|PA|·|PB|＝|－3|＝3.(10分)
23.解：(Ⅰ)因为|2x－1|＋2|x＋2|≥|(2x－1)－2(x＋2)|＝5，(4分)
所以f(x)的最小值是5.(5分)
(Ⅱ)解法一：f(x)＝(6分)
当x<－2时，由－4x－3<8，解得x>－，即－时，由4x＋3<8，解得x<，即