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- 2021-06-01 发布
1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质
一、选择题
1、(2－)8展开式中不含x4项的系数的和为( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
2、满足C＋C＋C＋…＋C＋C>1 000的最小偶数n为( )
A．8 B．10 C．12 D．14
3、5310被8除的余数是( )
A．1 B．2 C．3 D．7
4、若(1－2x)2 009＝a0＋a1x＋…＋a2 009x2 009(x∈R)，则＋＋…＋的值为( )
A．2 B．0 C．－1 D．－2
5、(x－)10的展开式中，系数最大的项是( )
A．第3项 B．第6项
C．第3、6项 D．第5、7项
6、在(1＋x)2n(n∈N*)的展开式中，系数最大的项是( )
A．第＋1项 B．第n项
C．第n＋1项 D．第n项与第n＋1项
二、填空题
7、已知(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝29－n，则n＝________.
8、如图，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，第______行中从左到右第14个数与第15个数的比为2∶3.
9、在(x＋y)n的展开式中，第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是第________项．
三、解答题
10、已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.
求：(1)a1＋a2＋…＋a7；
(2)a1＋a3＋a5＋a7；
(3)a0＋a2＋a4＋a6；
(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.
11、求0.9986的近似值，使误差小于0.001.
12、在(x－y)11的展开式中，求：
(1)通项Tk＋1；(2)二项式系数最大的项；(3)项的系数绝对值最大的项；(4)项的系数最大的项；(5)项的系数最小的项；(6)二项式系数的和；(7)各项系数的和．
以下是答案
一、选择题
1、B [展开式的通项公式Tr＋1＝C·28－r·(－)r，则含x4的项的系数为1，令x＝1，得展开式所有项系数和为(2－)8＝1，因此展开式中不含x4项的系数的和为1－1＝0，故选B.]
2、C [∵2n－1>1 000，∴n≥11(n∈N*)．]
3、A [5310＝(56－3)10＝5610＋C569×(－3)＋C568×(－3)2＋…＋C56×(－3)9＋(－3)10.
∴5310被8除的余数等于310被8除的余数．
又310＝95＝(8＋1)5＝85＋C84＋…＋C×8＋1.
∴所求余数为1.]
4、C [本题主要考查赋值法在二项展开式中的应用，令x＝0，得a0＝1.
令x＝，得a0＋＋＋…＋＝0，所以＋＋…＋＝－1.]
5、D [根据二项展开式中系数的关系，注意到第6项的系数为－C，实际上最小，所以系数最大的项为第5、7项．]
6、C [因为2n为偶数，且x的系数为1，
∴系数最大的项即为二项式系数最大的项且为中间一项，即第(n＋1)项．]
二、填空题
7、4
解析 令x＝1，解a0＋a1＋a2＋…＋an＝2＋22＋23＋…＋2n＝2n＋1－2；令x＝0，
得a0＝n，又an＝1，所以a1＋a2＋…＋an－1＝2n＋1－2－n－1＝29－n，所以2n＋1＝32，
所以n＝4.
8、34
解析 假设满足条件的是第n行，则从左至右第14个数和第15个数分别是C，C，由题意可知＝，解之得n＝34.
9、6
解析 由题意，第4项与第8项的系数相等，则其二项式系数也相等，
∴C＝C，由组合数的性质，得n＝10.
∴展开式中二项式系数最大的项为第6项，它也是系数最大的项．
三、解答题
10、解 令x＝1，
则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1. ①
令x＝－1，
则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37. ②
(1)∵a0＝C＝1，
∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2.
(2)(①－②)÷2，
得a1＋a3＋a5＋a7＝＝－1 094.
(3)(①＋②)÷2，
得a0＋a2＋a4＋a6＝＝1 093.
(4)∵(1－2x)7展开式中，a0、a2、a4、a6都大于零，
而a1、a3、a5、a7都小于零，
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|
＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)，
∴由(2)、(3)即可得其值为2 187.
11、解 0.9986＝(1－0.002)6＝1＋6×(－0.002)＋15×(－0.002)2＋…＋(－0.002)6，
∵T3＝15×(－0.002)2＝0.00 006<0.001.
即第3项以后的项的绝对值都小于0.001，
∴从第3项起，以后的项可以忽略不计，
即0.9986＝(1－0.002)6≈1＋6×(－0.002)＝0.988.
12、解 (1)Tk＋1＝(－1)kCx11－kyk.
(2)二项式系数最大的项为中间两项：
T6＝－Cx6y5，T7＝Cx5y6.
(3)项的系数绝对值最大的项也是中间两项：
T6＝－Cx6y5，T7＝Cx5y6.
(4)因为中间两项系数的绝对值相等，一正一负，第7项为正，故T7＝Cx5y6.
(5)项的系数最小的项为T6＝－Cx6y5.
(6)二项式系数的和为C＋C＋C＋…＋C＝211.
(7)各项系数的和为(1－1)11＝0.