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- 2021-06-01 发布
2016-2017学年安徽省六安一中高二（下）第一次段考数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设f（x）是可导函数，且=（ ）
A． B．﹣1 C．0 D．﹣2
2．某医疗研究所为了检验新开发的流感疫苗对甲型H1N1流感的预防作用，把1000名注射了疫苗的人与另外1000名未注射疫苗的人的半年的感冒记录作比较，提出假设H0：“这种疫苗不能起到预防甲型H1N1流感的作用”，并计算出P（Χ2≥6.635）≈0.01，则下列说法正确的是（ ）
A．这种疫苗能起到预防甲型H1N1流感的有效率为1%
B．若某人未使用该疫苗，则他在半年中有99%的可能性得甲型H1N1
C．有1%的把握认为“这种疫苗能起到预防甲型H1N1流感的作用”
D．有99%的把握认为“这种疫苗能起到预防甲型H1N1流感的作用”
3．已知a为函数f（x）=x3﹣12x的极小值点，则a=（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．4 D．2
4．设函数f（x）=﹣lnx的导函数为f'（x），则f'（x）最大值为（ ）
A． B． C． D．
5．若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T性质．下列函数中具有T性质的是（ ）
A．y=sinx B．y=lnx C．y=ex D．y=x3
6．给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导函数，f″（x）是函数f′（x）的导函数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．已知函数f（x）=3x+4sinx﹣cosx的拐点是M（x0，f（x0）），则点M（ ）
A．在直线y=﹣3x上 B．在直线y=3x上
C．在直线y=﹣4x上 D．在直线y=4x上
7．设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数f（x）在x=﹣2处取得极大值，则函数y=xf′（x）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．现有一段长为18m的铁丝，要把它围成一个底面一边长为另一边长2倍的长方体形状的框架，当长方体体积最大时，底面的较短边长是（ ）
A．1m B．1.5m C．0.75m D．0.5m
9．若函数f（x）=x﹣sin2x+asinx在（﹣∞，+∞）单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．[﹣1，1] B．[﹣1，] C．[﹣，] D．[﹣1，﹣]
10．已知函数f（x）=x+，g（x）=2x+a，若∀x1∈[，1]，∃x2∈[2，3]，使得f（x1）≥g（x2），则实数a的取值范围是（ ）
A．a≤1 B．a≥1 C．a≤2 D．a≥2
11．已知函数f（x）在R上的导函数为f′（x），若f（x）＜f′（x）恒成立，且f（0）=2，则不等式f（x）＞2ex的解集是（ ）
A．（2，+∞） B．（0，+∞） C．（﹣∞，0） D．（﹣∞，2）
12．已知实数a，b满足ln（b+1）+a﹣3b=0，实数c，d满足2d﹣c+=0，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题设函数f（x）的导数为f′（x），且f（x）=x2+2xf′（1），则f′（2）= ．
14．2012年1月1日，某地物价部门对该地的5家商场的某商品一天的销售量及其价格进行调查，5家商场该商品的售价x元和销售量y件之间的一组数据如表所示，由散点图可知，销售量y与价格x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是=﹣3.2x+，则a= ．
价格x（元）
9
9.5
10
10.5
11
销售量y（件）
11
10
8
6
5
15．若函数f（x）=x2﹣lnx+1在其定义域内的一个子区间（a﹣2，a+2）内不是单调函数，则实数a的取值范围 ．
16．已知f（x）=﹣lnx，f（x）在x=x0处取最大值．以下各式正确的序号为
①f（x0）＜x0
②f（x0）=x0
③f（x0）＞x0
④f（x0）＜
⑤f（x0）＞．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（10分）已知函数f（x）=x2﹣2elnx．（e为自然对数的底数）
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）的图象在（1，f（1））处的切线方程．
18．（12分）为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎放开”政策的热度，现在某市进行调查，随机调查了50人，他们年龄的频数分布及支持“生育二胎”人数如表：
年龄
[5，15）
[15，25）
[25，35）
[35，45）
[45，55）
[55，65）
频数
5
10
15
10
5
5
支持“生育二胎”
4
5
12
8
2
1
（1）由以上统计数据填下面2乘2列联表，并问是否有的99%把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异：
（2）若对年龄在[5，15）的被调查人中各随机选取两人进行调查，恰好两人都支持“生育二胎放开”的概率是多少？
年龄不低于45岁的人数
年龄低于45岁的人数
合计
支持
a=
c=
不支持
b=
d=
合计
参考数据：
P（K2≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
K2=．
19．（12分）一个圆柱形圆木的底面半径为1m，长为10m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分，现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形ABCD（如图所示，其中O为圆心，C，D在半圆上），设∠BOC=θ，直四棱柱木梁的体积为V（单位：m3），侧面积为S（单位：m2）．
（Ⅰ）分别求V与S关于θ的函数表达式；
（Ⅱ）求侧面积S的最大值；
（Ⅲ）求θ的值，使体积V最大．
20．（12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi（i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
（xi﹣）2
（wi﹣）2
（xi﹣）（yi﹣）
（wi﹣）（yi﹣）
46.6
563
6.8
289.8
1.6
1469
108.8
表中，．
（1）根据散点图判断，y=a+bx与哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（3）已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z=0.2y﹣x．根据（2）的结果要求：年宣传费x为何值时，年利润最大？
附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn）其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为， =﹣．
21．（12分）已知函数f（x）=﹣x3+x2+b，g（x）=alnx
（1）若f（x）在x∈[﹣，1）上的最大值为，求实数b的值；
（2）若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥﹣x2+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围．
22．（12分）已知函数f（x）=x﹣1+（a∈R，e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值；
（Ⅲ）当a=1的值时，若直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点，求k的最大值．
2016-2017学年安徽省六安一中高二（下）第一次段考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设f（x）是可导函数，且=（ ）
A． B．﹣1 C．0 D．﹣2
【考点】极限及其运算．
【分析】由题意可得=﹣2=﹣2f′（x0），结合已知可求
【解答】解：∵ =﹣2=﹣2f′（x0）=2
∴f′（x0）=﹣1
故选B
【点评】本题主要考查了函数的导数的求解，解题的关键是导数定义的灵活应用
2．某医疗研究所为了检验新开发的流感疫苗对甲型H1N1流感的预防作用，把1000名注射了疫苗的人与另外1000名未注射疫苗的人的半年的感冒记录作比较，提出假设H0：“这种疫苗不能起到预防甲型H1N1流感的作用”，并计算出P（Χ2≥6.635）≈0.01，则下列说法正确的是（ ）
A．这种疫苗能起到预防甲型H1N1流感的有效率为1%
B．若某人未使用该疫苗，则他在半年中有99%的可能性得甲型H1N1
C．有1%的把握认为“这种疫苗能起到预防甲型H1N1流感的作用”
D．有99%的把握认为“这种疫苗能起到预防甲型H1N1流感的作用”
【考点】独立性检验．
【分析】根据计算出的临界值，同临界值表进行比较，得到假设不合理的程度约为99%，即这种疫苗不能起到预防甲型H1N1流感的作用不合理的程度约为99%，得到正确答案．
【解答】解：∵并计算出P（Χ2≥6.635）≈0.01，
这说明假设不合理的程度约为99%，
即这种疫苗不能起到预防甲型H1N1流感的作用不合理的程度约为99%，
∴有99%的把握认为“这种疫苗能起到预防甲型H1N1流感的作用”
故选D．
【点评】本题是一个独立性检验，我们可以利用临界值的大小来决定是否拒绝原来的统计假设，若值较大就拒绝假设，即拒绝两个事件无关．
3．已知a为函数f（x）=x3﹣12x的极小值点，则a=（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．4 D．2
【考点】利用导数研究函数的极值．
【分析】可求导数得到f′（x）=3x2﹣12，可通过判断导数符号从而得出f（x）的极小值点，从而得出a的值．
【解答】解：f′（x）=3x2﹣12；
∴x＜﹣2时，f′（x）＞0，﹣2＜x＜2时，f′（x）＜0，x＞2时，f′（x）＞0；
∴x=2是f（x）的极小值点；
又a为f（x）的极小值点；
∴a=2．
故选D．
【点评】考查函数极小值点的定义，以及根据导数符号判断函数极值点的方法及过程，要熟悉二次函数的图象．
4．设函数f（x）=﹣lnx的导函数为f'（x），则f'（x）最大值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】导数的运算．
【分析】两次求导，根据导数的和函数的最值的关系即可求出．
【解答】解：函数f（x）=﹣lnx的导函数为f'（x）=﹣，
∴f″（x）=﹣+=，
令f″（x）=0，解得x=16，
当0＜x＜16时，f″（x）＞0，函数f′（x）单调递增
当x＞16时，f″（x）＜0，函数f′（x）单调递减，
故f'（x）max=f′（16）=，
故选：A
【点评】本题考查了导数和函数的最值的关系，关键是求导，属于基础题．
5．若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T性质．下列函数中具有T性质的是（ ）
A．y=sinx B．y=lnx C．y=ex D．y=x3
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y=f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，进而可得答案．
【解答】解：函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，
则函数y=f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，
当y=sinx时，y′=cosx，满足条件；
当y=lnx时，y′=＞0恒成立，不满足条件；
当y=ex时，y′=ex＞0恒成立，不满足条件；
当y=x3时，y′=3x2＞0恒成立，不满足条件；
故选：A
【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，转化思想，难度中档．
6．给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导函数，f″（x）是函数f′（x）的导函数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．已知函数f（x）=3x+4sinx﹣cosx的拐点是M（x0，f（x0）），则点M（ ）
A．在直线y=﹣3x上 B．在直线y=3x上
C．在直线y=﹣4x上 D．在直线y=4x上
【考点】导数的运算．
【分析】求出原函数的导函数，再求出导函数的导函数，由导函数的导函数等于0，即可得到拐点，问题得以解决．
【解答】解：f'（x）=3+4cosx+sinx，f''（x）=﹣4sinx+cosx=0，4sinx0﹣cosx0=0，
所以f（x0）=3x0，
故M（x0，f（x0））在直线y=3x上．
故选：B．
【点评】本题是新定义题，考查了函数导函数零点的求法；解答的关键是函数值满足的规律，是中档题．
7．设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数f（x）在x=﹣2处取得极大值，则函数y=xf′（x）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】函数的图象．
【分析】由题设条件知：当x＞﹣2时，xf′（x）＞0；当x=﹣2时，xf′（x）=0；当x＜﹣2时，xf′（x）＜0．由此观察四个选项能够得到正确结果．
【解答】解：∵函数f（x）在R上可导，其导函数f′（x），
且函数f（x）在x=﹣2处取得极大值，
∴当x＞﹣2时，f′（x）＜0；
当x=﹣2时，f′（x）=0；
当x＜﹣2时，f′（x）＞0．
∴当x＞﹣2时，xf′（x）＞0；
当x=﹣2时，xf′（x）=0；
当x＜﹣2时，xf′（x）＜0．
故选D．
【点评】本题考查利用导数研究函数的极值的应用，解题时要认真审题，注意导数性质和函数极值的性质的合理运用．
8．现有一段长为18m的铁丝，要把它围成一个底面一边长为另一边长2倍的长方体形状的框架，当长方体体积最大时，底面的较短边长是（ ）
A．1m B．1.5m C．0.75m D．0.5m
【考点】基本不等式在最值问题中的应用．
【分析】根据题意知，长方体的所有棱长和是18m，故可设出宽，用宽表示出长和高，将体积表示成宽的函数，用导数来求其取最大值时的宽即为所求．
【解答】解：设该长方体的宽是x米，由题意知，其长是2x米，高是
=米，（0＜x＜）
则该长方体的体积V（x）=x•2x•（），
由V′（x）=0，得到x=1，
且当0＜x＜1时，V′（x）＞0；
当1＜x＜时，V′（x）＜0，
即体积函数V（x）在x=1处取得极大值V（1）=3，也是函数V（x）在定义域上的最大值．
所以该长方体体积最大值时，x=1即长方体体积最大时，底面的较短边长是1m．
故选A．
【点评】本小题主要考查长方体的体积及用导数求函数最值等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力．属于中档题．
9．若函数f（x）=x﹣sin2x+asinx在（﹣∞，+∞）单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．[﹣1，1] B．[﹣1，] C．[﹣，] D．[﹣1，﹣]
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】求出f（x）的导数，由题意可得f′（x）≥0恒成立，设t=cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，对t讨论，分t=0，0＜t≤1，﹣1≤t＜0，分离参数，运用函数的单调性可得最值，解不等式即可得到所求范围．
【解答】解：函数f（x）=x﹣sin2x+asinx的导数为f′（x）=1﹣cos2x+acosx，
由题意可得f′（x）≥0恒成立，
即为1﹣cos2x+acosx≥0，
即有﹣cos2x+acosx≥0，
设t=cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，
当t=0时，不等式显然成立；
当0＜t≤1时，3a≥4t﹣，
由4t﹣在（0，1]递增，可得t=1时，取得最大值﹣1，
可得3a≥﹣1，即a≥﹣；
当﹣1≤t＜0时，3a≤4t﹣，
由4t﹣在[﹣1，0）递增，可得t=﹣1时，取得最小值1，
可得3a≤1，即a≤．
综上可得a的范围是[﹣，]．
故选：C．
【点评】本题考查导数的运用：求单调性，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和换元法，考查函数的单调性的运用，属于中档题．
10．已知函数f（x）=x+，g（x）=2x+a，若∀x1∈[，1]，∃x2∈[2，3]，使得f（x1）≥g（x2），则实数a的取值范围是（ ）
A．a≤1 B．a≥1 C．a≤2 D．a≥2
【考点】全称命题．
【分析】由∀x1∈[﹣1，2]，都∃x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2），可得f（x）=x2+1在x1∈[﹣1，2]的最小值不小于g（x）=ax+2在x2∈[1，2]的最小值，构造关于a的不等式组，可得结论．
【解答】解：当x1∈[，1]时，由f（x）=x+得，f′（x）=，
令f′（x）＞0，解得：x＞2，令f′（x）＜0，解得：x＜2，
∴f（x）在[，1]单调递减，
∴f（1）=5是函数的最小值，
当x2∈[2，3]时，g（x）=2x+a为增函数，
∴g（2）=a+4是函数的最小值，
又∵∀x1∈[，1]，都∃x2∈[2，3]，使得f（x1）≥g（x2），
可得f（x）在x1∈[，1]的最小值不小于g（x）在x2∈[2，3]的最小值，
即5≥a+4，解得：a≤1，
故选：A．
【点评】本题考查的知识是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．
11．已知函数f（x）在R上的导函数为f′（x），若f（x）＜f′（x）恒成立，且f（0）=2，则不等式f（x）＞2ex的解集是（ ）
A．（2，+∞） B．（0，+∞） C．（﹣∞，0） D．（﹣∞，2）
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】造函数g（x）=，利用导数可判断g（x）的单调性，再根据f（0）=2，求得g（0）=2，继而求出答案．
【解答】解：∵∀x∈R，都有f′（x）＞f（x）成立，
∴f′（x）﹣f（x）＞0，于是有（）′＞0，
令g（x）=，则有g（x）在R上单调递增，
∵f（0）=2，∴g（0）=2，
∵不等式f（x）＞2ex，
∴g（x）＞2=g（0），
∴x＞0，
故选：B．
【点评】本题考查导数的运算及利用导数研究函数的单调性，属中档题，解决本题的关键是根据选项及已知条件合理构造函数，利用导数判断函数的单调性．
12．已知实数a，b满足ln（b+1）+a﹣3b=0，实数c，d满足2d﹣c+=0，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（a﹣c）2+（b﹣d）2
的几何意义是点（b，a）到点（d，c）的距离的平方，而点（b，a）在曲线y=3x﹣ln（x+1）上，点（d，c）在直线y=2x+上．故（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值就是曲线上与直线y=2x+平行的切线到该直线的距离的平方．利用导数求出曲线上斜率为2的切线方程，再利用两平行直线的距离公式即可求出最小值．
【解答】解：由ln（b+1）+a﹣3b=0，得a=3b﹣ln（b+1），则点（b，a）是曲线y=3x﹣ln（x+1）上的任意一点，
由2d﹣c+=0，得c=2d+，则点（d，c）是直线y=2x+上的任意一点，
因为（a﹣c）2+（b﹣d）2表示点（b，a）到点（d，c）的距离的平方，即曲线上的一点与直线上一点的距离的平方，
所以（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值就是曲线上的点到直线距离的最小值的平方，即曲线上与直线y=2x+平行的切线到该直线的距离的平方．
y'=3﹣=，令y'=2，得x=0，此时y=0，即过原点的切线方程为y=2x，
则曲线上的点到直线距离的最小值的平方．
故选：A
【点评】本题考查了导数的几何意义和两平行线之间的距离公式，关键是弄清所要求表达式的几何意义以及构造曲线和直线，属于中档题．
二、填空题（2016春•西宁校级期末）设函数f（x）的导数为f′（x），且f（x）=x2+2xf′（1），则f′（2）= 0 ．
【考点】导数的运算；函数的值．
【分析】先对f（x）=x2+2xf′（1）两边求导，然后代入x=1得f′（1），从而得到f′（x），进而求得答案．
【解答】解：∵f（x）=x2+2xf′（1），
∴f′（x）=2x+2f′（1），
令x=1，得f′（1）=2+2f′（1），
解得f′（1）=﹣2，
则f′（x）=2x﹣4，
所以f′（2）=2×2﹣4=0，
故答案为：0
【点评】本题考查导数的运算，考查学生灵活运用知识解决问题的能力，属基础题．
14．2012年1月1日，某地物价部门对该地的5家商场的某商品一天的销售量及其价格进行调查，5家商场该商品的售价x元和销售量y件之间的一组数据如表所示，由散点图可知，销售量y与价格x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是=﹣3.2x+，则a= 40 ．
价格x（元）
9
9.5
10
10.5
11
销售量y（件）
11
10
8
6
5
【考点】线性回归方程．
【分析】先计算平均数，再利用线性回归直线方程恒过样本中心点，即可得到结论．
【解答】解：由题意， =10， =8
∵线性回归直线方程是，
∴8=﹣3.2×10+a
∴a=40
故答案为：40
【点评】本题考查线性回归方程，利用线性回归直线方程恒过样本中心点是解题的关键．
15．若函数f（x）=x2﹣lnx+1在其定义域内的一个子区间（a﹣2，a+
2）内不是单调函数，则实数a的取值范围 [2，） ．
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=2x﹣，根据题意可得到，0＜a﹣2＜＜a+2从而可得答案．
【解答】解：∵f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=2x﹣，
f′（x）＞0得，x＞，f′（x）＜0得，0＜x＜，
∵函数f（x）定义域内的一个子区间[a﹣2，a+2]内不是单调函数，
∴0≤a﹣2＜＜a+2，
∴2≤a＜，
故答案为：[2，）．
【点评】点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，依题意得到0≤a﹣2＜是关键，也是难点所在，属于中档题．
16．已知f（x）=﹣lnx，f（x）在x=x0处取最大值．以下各式正确的序号为 ②⑤
①f（x0）＜x0
②f（x0）=x0
③f（x0）＞x0
④f（x0）＜
⑤f（x0）＞．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】由已知得，令g（x）=x+1+lnx，则函数有唯一零点，即x0，且函数的这个零点是y=lnx与y=﹣x﹣1的交点，由此能求出结果．
【解答】解：∵f（x）=﹣lnx，
∴，
令g（x）=x+1+lnx，则函数有唯一零点，即x0，
且函数的这个零点是y=lnx与y=﹣x﹣1的交点，
∴x0＞1，
∴﹣x0﹣1=lnx0
∴f（x0）=（﹣x0﹣1）•=x0，
故②⑤正确．
故答案为：②⑤．
【点评】本题主要考查了利用函数的导数求出函数的单调性以及函数的极值问题，考查学生分析解决问题的能力，利用导数研究函数的单调性的能力，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．是中档题．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（10分）（2017春•金安区校级月考）已知函数f（x）=x2﹣2elnx．（e为自然对数的底数）
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）的图象在（1，f（1））处的切线方程．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）求出f（x）的导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；
（2）求出函数的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到切线的方程．
【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
f（x）的导数为=，
由0＜x＜可得f′（x）＜0；由x＞可得f′（x）＞0．
∴f（x）的单调递减区间是，单调递增区间是．
（2）∵f（1）=1，f′（1）=2﹣2e．
∴切线为y﹣1=（2﹣2e）（x﹣1）
即切线方程为（2e﹣2）x+y+1﹣2e=0．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间，考查导数的几何意义，考查方程思想的运用，以及运算求解能力，属于基础题．
18．（12分）（2016•郑州二模）为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎放开”政策的热度，现在某市进行调查，随机调查了50人，他们年龄的频数分布及支持“生育二胎”人数如表：
年龄
[5，15）
[15，25）
[25，35）
[35，45）
[45，55）
[55，65）
频数
5
10
15
10
5
5
支持“生育二胎”
4
5
12
8
2
1
（1）由以上统计数据填下面2乘2列联表，并问是否有的99%把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异：
（2）若对年龄在[5，15）的被调查人中各随机选取两人进行调查，恰好两人都支持“生育二胎放开”的概率是多少？
年龄不低于45岁的人数
年龄低于45岁的人数
合计
支持
a=
c=
不支持
b=
d=
合计
参考数据：
P（K2≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
K2=．
【考点】独立性检验的应用；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】（1）根据统计数据，可得2×2列联表，根据列联表中的数据，计算K2
的值，即可得到结论；
（2）利用列举法确定基本事件的个数，即可得出恰好两人都支持“生育二胎放开”的概率．
【解答】解：（1）2×2列联表
年龄不低于45岁的人数
年龄低于45岁的人数
合计
支持
a=3
c=29
32
不支持
b=7
d=11
18
合 计
10
40
50
…（2分）
＜6.635…（4分）
所以没有99%的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异．…
（2）设年龄在[5，15）中支持“生育二胎”的4人分别为a，b，c，d，不支持“生育二胎”的人记为M，…（6分）
则从年龄在[5，15）的被调查人中随机选取两人所有可能的结果有：（a，b），（a，c），（a，d），（a，M），（b，c），（b，d），（b，M），（c，d），（c，M），（d，M）．…（8分）
设“恰好这两人都支持“生育二胎””为事件A，…（9分）
则事件A所有可能的结果有：（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d），
∴．…（11分）
所以对年龄在[5，15）的被调查人中随机选取两人进行调查时，恰好这两人都支持“生育二胎”的概率为．…（12分）
【点评】本题考查独立性检验，考查概率的计算，考查学生的阅读与计算能力，属于中档题．
19．（12分）（2016秋•芗城区校级期中）一个圆柱形圆木的底面半径为1m，长为10m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分，现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形ABCD（如图所示，其中O为圆心，C，D在半圆上），设∠BOC=θ，直四棱柱木梁的体积为V（单位：m3），侧面积为S（单位：m2）．
（Ⅰ）分别求V与S关于θ的函数表达式；
（Ⅱ）求侧面积S的最大值；
（Ⅲ）求θ的值，使体积V最大．
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；三角函数中的恒等变换应用．
【分析】（I）列出梯形ABCD的面积 SABCD=﹣sinθ=sinθcosθ+sinθ，θ∈（0，），
求解体积V（θ）=10（sinθcosθ+sinθ），θ∈（0，）．
（II）得出g（θ）=﹣2sin2+2sin+2，利用二次函数求解即可．
（III）V（θ）=10（sinθcosθ+sinθ），θ∈（0，），求解导数得出V′（θ）=10（2cos2θ+cosθ﹣1）=10（2cosθ﹣1）（cosθ+1），根据导数与单调性的关系求解．
【解答】解：（Ⅰ）木梁的侧面积S=10（AB+2BC+CD）
=10（2+4sin+2cosθ）=20（cosθ+2sin+1），θ∈（0，），
梯形ABCD的面积SABCD=﹣sinθ=sinθcosθ+sinθ，θ∈（0，），
体积V（θ）=10（sinθcosθ+sinθ），θ∈（0，）；
（Ⅱ）木梁的侧面积S=10（AB+2BC+CD）=10（2+4sin+2cosθ）
=20（cos+1），θ∈（0，），
设g（θ）=cos+1，g（θ）=﹣2sin2+2sin+2，
∴当sin=，θ∈（0，），
即θ=时，木梁的侧面积s最大．
所以θ=时，木梁的侧面积s最大为40m2．
（Ⅲ）V′（θ）=10（2cos2θ+cosθ﹣1）=10（2cosθ﹣1）（cosθ+1）
令V′（θ）=0，得cosθ=，或cosθ=﹣1（舍）∵θ∈（0，），∴θ=．
当θ∈（0，）时，＜cosθ＜1，V′（θ）＞0，V（θ）为增函数；
当θ∈（，）时，0＜cosθ＜，V′（θ）＞0，V（θ）为减函数．
∴当θ=时，体积V最大．
【点评】本题考查了三角函数在解决实际问题中的运用，导数在解决复杂函数最值中的运用，关键准确求解导数．
20．（12分）（2017春•金安区校级月考）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi（i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
（xi﹣）2
（wi﹣）2
（xi﹣）（yi﹣）
（wi﹣）（yi﹣）
46.6
563
6.8
289.8
1.6
1469
108.8
表中，．
（1）根据散点图判断，y=a+bx与哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（3）已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z=0.2y﹣x．根据（2）的结果要求：年宣传费x为何值时，年利润最大？
附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn）其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为， =﹣．
【考点】线性回归方程．
【分析】（1）根据散点图的意义，即可判断出结论；
（2）先建立中间量w=，建立y关于w的线性回归方程，
根据公式求出w，问题得以解决；
（3）求出预报值得方程，根据函数的性质，
即可求出年利润最大值对应的x值．
【解答】解：（1）根据散点图判断，
更适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型；
（2）令，y=c+dw，
由表可知：，
；
所以y关于x的回归方程为：
；
（3）由（2）可知：
年利润z=0.2y﹣x
=
=；
所以当，
即x=46.24时，年利润z最大．
故年宣传费为46.24千元时，年利润最大．
【点评】本题主要考查了线性回归方程和散点图的应用问题，也考查了计算能力，是基础题．
21．（12分）（2017春•金安区校级月考）已知函数f（x）=﹣x3+x2+b，g（x）=alnx
（1）若f（x）在x∈[﹣，1）上的最大值为，求实数b的值；
（2）若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥﹣x2+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）由f（x）=﹣x3+x2+b，得f′（x）=﹣3x2+2x=﹣x（3x﹣2），令f′（x）=0，得x=0或x=．由此列表讨论能求出b=0．
（2）由g（x）≥﹣x2+（a+2）x，得（x﹣lnx）a≤x2﹣2x．由已知得a≤（
）min．由此利用构造法和导数性质能求出a≤﹣1．
【解答】解：（1）由f（x）=﹣x3+x2+b，得f′（x）=﹣3x2+2x=﹣x（3x﹣2），
令f′（x）=0，得x=0或x=．
列表如下：
x
﹣
（﹣，0）
0
（0，）
（，1）
f′（x）
﹣
0
+
0
﹣
f（x）
f（﹣）
↓
极小值
↑
极大值
↓
∵f（）=+b，f（）=+b，
∴f（﹣）＞f（），
即最大值为f（﹣）=+b=，∴b=0．…（4分）
（2）由g（x）≥﹣x2+（a+2）x，得（x﹣lnx）a≤x2﹣2x．
∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x，且等号不能同时取，
∴lnx＜x，即x﹣lnx＞0，
∴a≤恒成立，即a≤（）min．
令t（x）=，（x∈[1，e]），求导得，t′（x）=，
当x∈[1，e]时，x﹣1≥0，lnx≤1，x+2﹣2lnx＞0，
从而t′（x）≥0，
∴t（x）在[1，e]上为增函数，
∴tmin（x）=t（1）=﹣1，∴a≤﹣1．
【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法、导数性质、分类讨论思想的合理运用．
22．（12分）（2013•福建）已知函数f（x）=x﹣1+（a∈
R，e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值；
（Ⅲ）当a=1的值时，若直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点，求k的最大值．
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（Ⅰ）依题意，f′（1）=0，从而可求得a的值；
（Ⅱ）f′（x）=1﹣，分①a≤0时②a＞0讨论，可知f（x）在∈（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，从而可求其极值；
（Ⅲ）令g（x）=f（x）﹣（kx﹣1）=（1﹣k）x+，则直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点⇔方程g（x）=0在R上没有实数解，分k＞1与k≤1讨论即可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=x﹣1+，得f′（x）=1﹣，
又曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，
∴f′（1）=0，即1﹣=0，解得a=e．
（Ⅱ）f′（x）=1﹣，
①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）为（﹣∞，+∞）上的增函数，所以f（x）无极值；
②当a＞0时，令f′（x）=0，得ex=a，x=lna，
x∈（﹣∞，lna），f′（x）＜0；x∈（lna，+∞），f′（x）＞0；
∴f（x）在∈（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，
故f（x）在x=lna处取到极小值，且极小值为f（lna）=lna，无极大值．
综上，当a≤0时，f（x）无极值；当a＞0时，f（x）在x=lna处取到极小值lna，无极大值．
（Ⅲ）当a=1时，f（x）=x﹣1+，令g（x）=f（x）﹣（kx﹣1）=（1﹣k）x+，
则直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点，
等价于方程g（x）=0在R上没有实数解．
假设k＞1，此时g（0）=1＞0，g（）=﹣1+＜0，
又函数g（x）的图象连续不断，由零点存在定理可知g（x）=0在R上至少有一解，
与“方程g（x）=0在R上没有实数解”矛盾，故k≤1．
又k=1时，g（x）=＞0，知方程g（x）=0在R上没有实数解，
所以k的最大值为1．
【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，考查利用导数研究曲线上某点切线方程，突出分类讨论思想与等价转化思想的综合运用，属于中档题．