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- 2021-06-01 发布
2016-2017学年天津市红桥区高二（上）期末数学试卷（文科）
一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）
1．圆心为O（﹣1，3），半径为2的圆的方程为（ ）
A．（x﹣1）2+（y+3）2=2 B．（x+1）2+（y﹣3）2=4 C．（x﹣1）2+（y+3）2=4 D．（x+1）2+（y﹣3）2=2
2．若抛物线y2=2mx的准线方程为x=﹣3，则实数m的值为（ ）
A．﹣6 B．﹣ C． D．6
3．已知圆的一般方程为x2+y2﹣2x+4y=0，则该圆的半径长为（ ）
A． B． C．3 D．5
4．双曲线﹣=1的渐近线方程为（ ）
A．y=±x B．y=±2x C．y=±x D．y=±x
5．已知z轴上一点N到点A（1，0，3）与点B（﹣1，1，﹣2）的距离相等，则点N的坐标为（ ）
A．（0，0，﹣） B．（0，0，﹣） C．（0，0，） D．（0，0，）
6．观察下列一组数据
a1=1，
a2=3+5，
a3=7+9+11，
a4=13+15+17+19，
…
则a10从左到右第一个数是（ ）
A．91 B．89 C．55 D．45
7．已知抛物线C：y2=﹣2x的焦点为F，点A（x0，y0）是C上一点，若|AF|=，则x0=（ ）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
8．已知双曲线一焦点坐标为（5，0），一渐近线方程为3x﹣4y=0，则双曲线离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）
9．若圆C1：（x﹣a）2+y2=4（a＞0）与圆C2：x2+（y﹣）2=9相外切，则实数a的值为 ．
10．在椭圆中，我们有如下结论：椭圆上斜率为1的弦的中点在直线上，类比上述结论，得到正确的结论为：双曲线上斜率为1的弦的中点在直线 上．
11．以点M（0，2）为圆心，并且与x轴相切的圆的方程为 ．
12．如图，棱长为1的正方体OABC﹣D′A′B′C′中，G为侧面正方形BCC′B′的中心，以顶点O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则点G的坐标为 ．
13．已知双曲线﹣=1的左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与左支相交于A，B两点，如果|AF2|+|BF2|=2|AB|，则|AB|= ．
三、解答题（共4小题，满分48分）
14．（Ⅰ）△
ABC的三个顶点分别为A（﹣1，5），B（﹣2，﹣2），C（5，﹣5），求其外接圆的方程．
（Ⅱ）求经过点（﹣5，2），焦点为（，0）的双曲线方程．
15．已知两点A（﹣1，5），B（3，7），圆C以线段AB为直径．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l：x+y﹣4=0与圆C相交于M，N两点，求弦MN的长．
16．已知抛物线C：y2=﹣4x．
（Ⅰ）写出抛物线C的焦点坐标、准线方程、焦点到准线的距离；
（Ⅱ）直线l过定点P（1，2），斜率为k，当k为何值时，直线l与抛物线：只有一个公共点；两个公共点；没有公共点．
17．已知椭圆C： +y2=1，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点．
（Ⅰ）求椭圆C的长轴和短轴的长，离心率e，左焦点F1；
（Ⅱ）已知P是椭圆上一点，且PF1⊥PF2，求△F1PF2的面积．
2016-2017学年天津市红桥区高二（上）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）
1．圆心为O（﹣1，3），半径为2的圆的方程为（ ）
A．（x﹣1）2+（y+3）2=2 B．（x+1）2+（y﹣3）2=4 C．（x﹣1）2+（y+3）2=4 D．（x+1）2+（y﹣3）2=2
【考点】圆的标准方程．
【分析】以（a，b）为圆心，r为半径的圆是：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，结合题意，将圆心坐标，半径值代入即可得答案．
【解答】解：∵圆的圆心坐标为（﹣1，3），半径为2，
∴圆的标准方程为：（x+1）2+（y﹣3）2=4．
故选：B．
2．若抛物线y2=2mx的准线方程为x=﹣3，则实数m的值为（ ）
A．﹣6 B．﹣ C． D．6
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】由抛物线的y2=2px的准线方程为x=﹣，结合题意即可求得m的值．
【解答】解：∵y2=2px的准线方程为x=﹣，
∴由y2=2mx的准线方程为x=﹣3得：2m=﹣4×（﹣3）=12，
∴m=6．
故选D．
3．已知圆的一般方程为x2+y2﹣2x+4y=0，则该圆的半径长为（ ）
A． B． C．3 D．5
【考点】圆的一般方程．
【分析】利用配方法化圆的一般方程为标准方程，从而求得圆的圆心坐标和半径．
【解答】解：由x2+y2﹣2x+4y=0，配方得（x﹣1）2+（y+2）2=5．
∴y圆的圆心坐标为C（1，﹣2），半径为，
故选B．
4．双曲线﹣=1的渐近线方程为（ ）
A．y=±x B．y=±2x C．y=±x D．y=±x
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】渐近线方程是﹣=0，整理后就得到双曲线的渐近线方程．
【解答】解：∵双曲线标准方程为﹣=1，
其渐近线方程是﹣=0，
整理得y=±x．
故选：C．
5．已知z轴上一点N到点A（1，0，3）与点B（﹣1，1，﹣2）的距离相等，则点N的坐标为（ ）
A．（0，0，﹣） B．（0，0，﹣） C．（0，0，） D．（0，0，）
【考点】空间两点间的距离公式．
【分析】根据点N在z轴上，设出点N的坐标，再根据N到A与到B的距离相等，由空间中两点间的距离公式求得AN，BN，解方程即可求得N的坐标．
【解答】解：设N（0，0，z）
由点N到点A（1，0，3）与点B（﹣1，1，﹣2）的距离相等，得：
12+02+（z﹣3）2=（﹣1﹣0）2+（1﹣0）2+（﹣2﹣z）2
解得z=，故N（0，0，）
故选D．
6．观察下列一组数据
a1=1，
a2=3+5，
a3=7+9+11，
a4=13+15+17+19，
…
则a10从左到右第一个数是（ ）
A．91 B．89 C．55 D．45
【考点】归纳推理．
【分析】观察数列{an} 中，各组和式的第一个数：1，3，7，13，…找出其规律，从而得出a10的第一个加数为91．
【解答】解：观察数列{an} 中，a1=1，a2=3+5，a3=7+9+11，a4=13+15+17+19，…，
各组和式的第一个数为：1，3，7，13，…
即1，1+2，1+2+2×2，1+2+2×2+2×3，…，
其第n项为：1+2+2×2+2×3+…+2×（n﹣1）．
∴第10项为：1+2+2×2+2×3+…+2×9=1+2×=91．
从而a10的第一个加数为91．
故选A．
7．已知抛物线C：y2=﹣2x的焦点为F，点A（x0，y0）是C上一点，若|AF|=，则x0=（ ）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】
根据抛物线的定义可知该点到准线的距离与其到焦点的距离相等，进而利用点到直线的距离求得x0的值．
【解答】解：根据抛物线定义可知﹣x0=，解得x0=﹣1，
故选：C．
8．已知双曲线一焦点坐标为（5，0），一渐近线方程为3x﹣4y=0，则双曲线离心率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】双曲线一焦点坐标为（5，0），一渐近线方程为3x﹣4y=0，可得c=5， =，结合c2=a2+b2，即可求出双曲线离心率．
【解答】解：∵双曲线一焦点坐标为（5，0），一渐近线方程为3x﹣4y=0，
∴c=5， =，c2=a2+b2
解得：a=4，b=3，e=
故选：D
二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）
9．若圆C1：（x﹣a）2+y2=4（a＞0）与圆C2：x2+（y﹣）2=9相外切，则实数a的值为 ．
【考点】圆与圆的位置关系及其判定．
【分析】利用两圆外切，圆心距等于半径之和，建立方程，即可求得实数a的值．
【解答】解：∵圆C1：（x﹣a）2+y2=4（a＞0）与圆C2：x2+（y﹣）2=9相外切，
∴（0+a）2+（﹣﹣0）2=（2+3）2，
∴a=．
故答案为．
10．在椭圆中，我们有如下结论：椭圆上斜率为1的弦的中点在直线上，类比上述结论，得到正确的结论为：双曲线上斜率为1的弦的中点在直线 上．
【考点】类比推理．
【分析】观察所得的直线方程与椭圆的方程之间的关系，直线的方程有两个变化，即x，y的平方变化成x，y，等号右边的1变成0，根据这两个变化写出双曲线的斜率为1的中点所在的直线的方程．
【解答】解：∵椭圆上斜率为1的弦的中点在直线上，
观察所得的直线方程与椭圆的方程之间的关系，直线的方程有两个变化，
即x，y的平方变化成x，y，等号右边的1变成0，
∴双曲线上斜率为1的弦的中点在直线上，
故答案为：
11．以点M（0，2）为圆心，并且与x轴相切的圆的方程为 x2+（y﹣2）2=4 ．
【考点】圆的标准方程．
【分析】根据题意，分析可得该圆的圆心到x轴的距离就是圆的半径，即该圆的半径r=2，由圆的圆坐标以及半径结合圆的标准方程形式即可得答案．
【解答】解：根据题意，以点M（0，2）为圆心，并且与x轴相切的圆，
其圆心到x轴的距离就是圆的半径，即该圆的半径r=2，
则要求圆的方程为：x2+（y﹣2）2=4；
故答案为：x2+（y﹣2）2=4．
12．如图，棱长为1的正方体OABC﹣D′A′B′C′中，G为侧面正方形BCC′B′的中心，以顶点O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则点G的坐标为 （，1，） ．
【考点】空间中的点的坐标．
【分析】G是BC′的中点，由B（1，1，0），C′（0，1，1），利用中点坐标公式能求出点G的坐标．
【解答】解：如图，棱长为1的正方体OABC﹣D′A′B′C′中，G为侧面正方形BCC′B′的中心，
以顶点O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则G是BC′的中点，
∵B（1，1，0），C′（0，1，1），
∴点G的坐标为：．
故答案为：．
13．已知双曲线﹣=1的左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与左支相交于A，B两点，如果|AF2|+|BF2|=2|AB|，则|AB|= ．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】由题意及双曲线的方程知a的值，再利用|AF2|+|BF2|=2|AB|，双曲线的定义得到|AB|．
【解答】解：由题意可知a=，
∵2|AB|=|AF2|+|BF2|，
∴|AB|+|AF1|+|BF1|=|AF2|+|BF2|，
得|AB|=|AF2|﹣|AF1|+|BF2|﹣|BF1|=4a=．
故答案为．
三、解答题（共4小题，满分48分）
14．（Ⅰ）△ABC的三个顶点分别为A（﹣1，5），B（﹣2，﹣2），C（5，﹣5），求其外接圆的方程．
（Ⅱ）求经过点（﹣5，2），焦点为（，0）的双曲线方程．
【考点】双曲线的简单性质；圆的标准方程．
【分析】（Ⅰ）法一：利用待定系数法；法二：求出圆心与半径，即可求其外接圆的方程．
（Ⅱ）设双曲线方程为﹣=1（a＞0，b＞0），利用经过点（﹣5，2），焦点为（，0），求出a，b，即可求出双曲线方程．
【解答】解：（Ⅰ）法一：设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则由题意有
解得
故所求圆的方程为x2+y2﹣4x﹣2y﹣20=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
法二：由题意可求得线段AC的中垂线方程为x=2，线段BC的中垂线方程为x+y﹣3=0，∴圆心是两中垂线的交点（2，1），半径r==5．
故所求圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=25．
（Ⅱ）∵焦点坐标为（，0），焦点在x轴上，
∴可设双曲线方程为﹣=1（a＞0，b＞0）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∵双曲线过点（﹣5，2），∴﹣=1，得a2=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
联立解得a2=5，b2=1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（解对一个2分）
故所求双曲线方程为﹣y2
=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
15．已知两点A（﹣1，5），B（3，7），圆C以线段AB为直径．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l：x+y﹣4=0与圆C相交于M，N两点，求弦MN的长．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】（Ⅰ）求出圆心坐标、半径，即可求圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l：x+y﹣4=0与圆C相交于M，N两点，求出圆心到直线的距离，利用勾股定理求弦MN的长．
【解答】解：（Ⅰ）由题意，得圆心C的坐标为（1，6），﹣﹣﹣﹣﹣
直径．半径﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
所以，圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣6）2=5．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（Ⅱ）设圆心C到直线l：x+y﹣4=0的距离为d，
则有．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
由垂径定理和勾股定理，有．﹣﹣﹣
所以，即．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
16．已知抛物线C：y2=﹣4x．
（Ⅰ）写出抛物线C的焦点坐标、准线方程、焦点到准线的距离；
（Ⅱ）直线l过定点P（1，2），斜率为k，当k为何值时，直线l与抛物线：只有一个公共点；两个公共点；没有公共点．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】（Ⅰ）根据抛物线的方程，即可写出抛物线C的焦点坐标、准线方程、焦点到准线的距离；
（Ⅱ）分类讨论，直线与抛物线方程联立，利用判别式，即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）抛物线C焦点F（﹣1，0），准线方程x=1，焦点到准线距离为2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（Ⅱ）由题意设直线l的方程：y=kx﹣k+2
由方程组可得：ky2+4y+4k﹣8=0﹣﹣﹣（1）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（1）当k=0时，由（1）得y=2带入y2=﹣4x（4），x=﹣1，
此时直线与抛物线只有一个公共点．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（2）当k≠0时，（1）的判别式△=16﹣4k（4k﹣8）=﹣16（k2﹣2k﹣1）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
当△=0时，或，此时直线与抛物线只有一个公共点；﹣﹣﹣﹣﹣﹣
当△＞0时，，此时直线与抛物线有两个公共点；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
当△＜0时，或，此时直线与抛物线没有公共点．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
17．已知椭圆C： +y2=1，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点．
（Ⅰ）求椭圆C的长轴和短轴的长，离心率e，左焦点F1；
（Ⅱ）已知P是椭圆上一点，且PF1⊥PF2，求△F1PF2的面积．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（Ⅰ）由椭圆的方程及性质直接求解．
（Ⅱ）由椭圆的定义知①，勾股定理，得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2②，①2﹣②，得|PF1|•|PF2|即可．
【解答】解：（Ⅰ）由椭圆知a2=2，b2=1，则
，故c=1﹣﹣﹣
所以椭圆C的长轴，短轴2b=2，离心率，左焦点F1（﹣1，0）．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得，b=1，c=1．
由椭圆的定义知①，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
在Rt△PF1F2中，由勾股定理，得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2②，①2﹣②，
得2|PF1|•|PF2|=8﹣4=4，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∴|PF1|•|PF2|=2，∴S=|PF1|•|PF2|=×2=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣