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- 2021-06-01 发布
2016 年望城一中高二年级第二次调研考试
数学卷
考试时间：120 分钟；总分：150 分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、选择题（每小题 5 分，共 12 小题，总 60 分）
1．设 是定义在 上的函数，则“函数 为偶函数”是“函数 为奇函数”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．若 ，则 等于（ ）
A． B． C．1 D．
3．以椭圆 的焦点为顶点、顶点为焦点的的双曲线方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知函数 y＝xf′(x)的图象如右图所示(其中 f′(x)是函数 f (x)的导函数)，下面四个
图象中 y＝f(x)的图象大致是( )
5． 若
变量 x，y 满足约束条件{y ≤ x，
x＋y ≤ 1，
y ≥ －1，
且 z＝2x
＋y 的最大值和最小值分别为 m 和 n，则 m－n＝( )
A．5 B．6 C．7 D．8
6．若 ，则 ＝（ ）
A．－1 B．－ C． D．1
( )f x R ( )f x ( )xf x
0( ) 2f x′ = 0 0
0
( ) ( )lim 2k
f x k f x
k→
− −
1− 2− 1
2
14924
22
=+ yx
12425
22
=− yx 12524
22
=− yx 12425
22
=− xy 12524
22
=− xy
12
0
( ) 2 ( )f x x f x dx= + ∫ 1
0
( )f x dx∫
1
3
1
3
7．已知 A（2，－5，1），B（2，－2，4），C（1，－4，1），则 与 的夹角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
8.直三棱柱 ABCA1B1C1 中，∠BCA＝90°，M，N 分别是 A1B1，A1C1 的中点，BC＝CA＝CC1，则
BM 与 AN 所成角的余弦值为( )
A.
1
10 B.
2
5 C.
30
10 D.
2
2
9．在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c.若 c2＝(a－b)2＋6，C＝
π
3 ，则△ABC
的面积是( )
A．3 B.
9 3
2 C.
3 3
2 D．3 3
10．设等差数列{an}的公差为 d.若数列{2a1an}为递减数列，则( )
A．d<0 B．d>0 C．a1d<0 D．a1d>0
11．设 是椭圆 的左右焦点，过点 作 x 轴的垂线交椭圆
四点构成一个正方形，则椭圆的离心率 e 为（ ）
A． B． C． D．
12.若存在实常数 和 ，使得函数 和 对其公共定义域上的任意实数 都满足：
和 恒成立，则称此直线 为 和 的“隔离直
线”，已知函数 ，有下列命题：
① 在 内单调递增；
② 和 之间存在“隔离直线”，且 的最小值为 ；
③ 和 之间存在“隔离直线”，且 的取值范围是 ；
④ 和 之间存在唯一的“隔离直线” ．
其中真命题的个数有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D．
二、填空题（每题 5 分，共 4 题，总 20 分）
k b ( )F x ( )G x x
( )F x kx b≥ + ( )G x kx b≤ + y kx b= + ( )F x ( )G x
2 1( ) ( ), ( ) ( 0), ( ) 2 lnf x x x R g x x h x e xx
= ∈ = < =
( ) ( ) ( )F x f x g x= −
3
1( ,0)
2
x∈ −
( )f x ( )g x b 4−
( )f x ( )g x k ( 4,0]−
( )f x ( )h x 2y ex e= −
1 2 3 4
1 2,F F
2 2
2 2 1x y
a b
+ = ( 0)a b> >
1 2,F F
5 1
2
− 3 1
2
− 2
2
3
2
F
E
D C
BA
P
13．数列{an}是等差数列，若 a1＋1， a3＋3， a5＋5 构成公比为 q 的等比数列，则 q＝
________.
14．设 P，Q 分别为圆 x2＋(y－6)2＝2 和椭圆
x2
10＋y2＝1 上的点，则 P，Q 两点间的最大距离
是 ．
15． =________.
16．设函数 f(x)＝ 3sin
πx
m ，若存在 f(x)的极值点 x0 满足 x20＋2＜m2，则 m 的取值范围
是 .
三、解答题（共 6 题，共 70 分）
17．(本题 10 分)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 3acos C＝2ccos A，tan
A＝
1
3，求 B.
18．(本题 12 分)已知 p：“直线x＋y－m＝0 与圆(x－1)2＋y2＝1 相交”；q：“mx2－x＋m－
4＝0 有一正根和一负根”．若p∨q 为真，¬ p 为真，求 m 的取值范围．
19．（本题 12 分）如图，四棱锥 的底面为矩形， 是四棱锥的高，
与 所成角为 ， 是 的中点， 是 上的动点.
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）若 ，求直线 与平面 所成角的大小.
20．（本小题 12 分）
等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 a1＝10，a2 为整数，且 Sn≤S4.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设 bn＝
1
anan＋1，求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
1 2
1
sinx xdx−∫
ABCDP − PA
PB DC 45 F PB E BC
PE AF⊥
ABBEBC 322 == AP PDE
21．（本小题满分 12 分）
已知点 A (0，－2)，椭圆 E：
x2
a2＋
y2
b2＝1(a>b>0)的离心率为
3
2 ，F 是椭圆 E 的右焦点，直
线 AF 的斜率为
2 3
3 ，O 为坐标原点．
(1)求 E 的方程；
(2)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求 l 的方
程．
22．（本题 12 分）已知函数 ，（ 为自然对数的底数）
（1）求函数 的最小值；
（2）若 对任意的 恒成立，求实数 的值；
（3）在（2）的条件下，证明：
)0(1)( >−−= aaxexf x e
)(xf
0)( ≥xf Rx ∈ a
))(1ln(1...3
1
2
11 ∗∈+>++++ Nnnn
参考答案
1．C 2．A 3．C 4．C 5．B 6．B 7．C 8．C 9．C 10．C 11．A
12．C
试题分析：(1) = ， ，则 解得
，所以 在 内单调递增;故①正确．
(2) 和 之间存在“隔离直线”,设“隔离直线”为 ，当“隔离直线”与
同时相切时，截距最小，令切点坐标为 ，则
切线方程为 所以 ，故 ，所
以 ，此时截距最小，故②正确；此时斜率为 ，k 的取值范围是
．故③错误．
④令 F（x）=h（x）-m（x）=x2-2elnx（x＞0），再令 F′（x）═ =0，x＞0，得 x=
，
从而函数 h（x）和 m（x）的图象在 x= 处有公共点．
因此存在 h（x）和 m（x）的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为 k，
则
隔离直线方程为 y-e=k（x- ），即 y=kx-k +e．
由 h（x）≥kx-k +e 可得 x2-kx+k -e≥0 当 x∈R 恒成立，
则△=k2-4k +4e= ≤0，只有 k=2 时，等号成立，此时直线方程为：y=2
x-e．
同理证明，由φ（x ）≤kx-k +e，可得只有 k=2 时，等号成立，此时直线方程为：y=2
x-e．
综上可得，函数 f（x）和 g（x）存在唯一的隔离直线 y=2 x-e，故④正确．
13．1 14．6 2 15．0
16．(－∞，－2)∪(2，＋∞)函数 f(x)的极值点满足
πx
m ＝
π
2 ＋kπ，即 x＝m(k＋
1
2 )，k∈
Z，且极值为± 3，问题等价于存在 k0 使之满足不等式 m2(k0＋
1
2) 2
＋34，解得 m>2 或 m<－2，故 m 的取值范围
是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．
17．解：由题设和正弦定理得
3sin Acos C＝2sin Ccos A，
故 3tan Acos C＝2sin C.
因为 tan A＝
1
3，所以 cos C＝2sin C，
所以 tan C＝
1
2.
所以 tan B＝tan
＝－tan(A＋C)
＝
tan A＋tan C
tan Atan C－1
＝－1，
所以 B＝135°.
18.解 对 p：∵直线与圆相交，
∴d＝
|1－m|
2 ＜1.
∴－ 2＋1＜m＜ 2＋1.
对 q：方程 mx2－x＋m－4＝0 有一正根和一负根，
∴令 f(x)＝mx2－x＋m－4，
∴Error!或Error!解得 0＜m＜4.
又∵¬ p 为真，∴p 假．
又∵p∨q 为真，∴q 为真．
由数轴可得 2＋1≤m＜4.
故 m 的取值范围是 2＋1≤m＜4.
19．（Ⅰ） 建立如图所示空间直角坐标系．
设 ，
则 ， ，
于是， ， ，
则 ，
所以 ．………………6 分
（Ⅱ）若 ，则 ， ，
设平面 的法向量为 ，
由 ，得： ，令 ，则 ，
于是 ，而
设 与平面 所成角为 ，所以 ，
所以 与平面 所成角 为 ．
20.解：(1)由 a1＝10，a2 为整数知，等差数列{an}的公差 d 为整数．
又 Sn≤S4，故 a4≥0，a5≤0，
于是 10＋3d≥0，10＋4d≤0，
解得－
10
3 ≤d≤－
5
2，
因此 d＝－3.
故数列{an}的通项公式为 an＝13－3n.
(2)bn＝
1
（13－3n）（10－3n）＝
1
3( 1
10－3n－
1
13－3n).于是 Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝
1
3(1
7－
1
10)
＋(1
4－
1
7 )＋…＋( 1
10－3n－
1
13－3n)＝
1
3( 1
10－3n－
1
10)＝
n
10（10－3n）.
2== ABAP aBE =
），，（ 000A ），，（），，，（），，，（ 110200020 FPB ），，（ 02aE
)2,2,( −= aPE )1,1,0(=AF
0=⋅ AFPE
AF PE⊥
ABBEBC 322 == )0,0,34(D ),2,0,34( −=PD )2,2,32( −=PE
PDE ),,( zyxn =
=⋅
=⋅
0
0
PEn
PDn
=−+
=−
02232
0234
zyx
zx 1=x 3,32 == yz
)32,3,1(=n )2,0,0(=AP
AP PDE θ
2
3
||||
||sin =⋅=
APn
APnθ
AP PDE θ 60
21．解：(1)设 F(c，0)，由条件知，
2
c＝
2 3
3 ，得 c＝ 3.
又
c
a＝
3
2 ，所以 a＝2，b2＝a2－c2＝1.
故 E 的方程为
x2
4 ＋y2＝1.
(2)当 l⊥x 轴时不合题意，
故可设 l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．
将 y＝kx－2 代入
x2
4 ＋y2＝1 得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0，
当 Δ＝16(4k2－3)>0，即 k2>
3
4时，
x1，2＝
8k ± 2 4k2－3
4k2＋1 ，
从而|PQ|＝ k2＋1|x1－x2|
＝
4 k2＋1· 4k2－3
4k2＋1 .
又点 O 到直线 l 的距离 d＝
2
k2＋1.
所以△OPQ 的面积
S△OPQ＝
1
2d·|PQ|＝
4 4k2－3
4k2＋1 .
设 4k2－3＝t，则 t>0，S△OPQ＝
4t
t2＋4＝
4
t＋
4
t
.
因为 t＋
4
t≥4，当且仅当 t＝2，即 k＝±
7
2 时等号成立，满足 Δ>0，
所以，当△OPQ 的面积最大时，k＝±
7
2 ，l 的方程为 y＝
7
2 x－2 或 y＝－
7
2 x－2.
22 ． （ 1 ） ； （ 2 ） ； （ 3 ） 见 解 析min( ) ln 1f x a a a= − − 1=a