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- 2021-06-01 发布
天津市静海区第一中学2020届
高三3月学生学业能力调研考试试题
知 识 与 技 能
学习能力（学法）
内容
函数与导数
三角函数与解三角形
数列
集合与简易逻辑
易混易错
方法归类
一题多变
分数
10
20
30
40
10
10
5
第Ⅰ卷 基础题（共130分）
一、选择题: （每小题6分，共42分,每小题只有一个正确选项）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数.设，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．在平面直角坐标系中，经过点，渐近线方程为的双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
5．函数的部分图像大致为（ ）
A．B．C．D．
6．将函数的图像向右平移个单位长度，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数的图像，若为奇函数，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．若函数，有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题6分共42分）
8．若复数（i为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为______
9．在一次医疗救助活动中，需要从A医院某科室的6名男医生、4名女医生中分别抽调3名男医生、2名女医生，且男医生中唯一的主任医师必须参加，则不同的选派案共有________种.(用数字作答)
10．过点作直线，与圆交于两点, 若，则直线的方程为______________.
11．若实数满足，且，则的最大值为______.
12．三棱锥中，分别为的中点，记三棱锥的体积为，的体积为，则____________
13．已知四边形中，，，为中点且，则______
14．已知函数，其中为自然对数的底数，若，则实数的取值范围为___________.
三、解答题（46分）
15．（13分）在中，内角所对的边分别为.已知，.（1）求的值；（2）求的值.
16．（16分）如图，在三棱锥中，顶点在底面上的射影在棱上，，，，为的中点。（1）求证： （2）求二面角的余弦值；（3）已知是平面内一点，点为中点，且平面，求线段的长
17．（17分）已知数列满足.（1）设，求数列的通项公式；（2）求数列的前项和；（3）记，求数列的前项和.
第Ⅱ卷 提高题（共20分）
18.已知函数.
（1）若曲线存在斜率为-1的切线，求实数a的取值范围；
（2）求的单调区间；
（3）设函数，求证：当时， 在上存在极小值.
参考答案
1．B2．A3．A4．B5．B6．C7．C
8．09．10．
11．12．
13.已知四边形中，，，为中点且，则
14．
15．（Ⅰ）（Ⅱ）
解析：（Ⅰ）解：由，及，得........................................................................................2分
由，及余弦定理，得................................................................................5分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得，代入，得.............................................................................7分
由（Ⅰ）知，A为钝角，................................................................................8分
所以.于是，................................................................................10分
，................................................................................11分
.................................................13分
16．（Ⅰ）见解析；
（Ⅱ）；
（Ⅲ）.
【详解】
（Ⅰ）∵顶点在底面上的射影在棱上，
∴平面平面，
∵，∴，................................................................................2分
∵平面平面，∴平面，面，∴，
由，，得，∴，
∵，∴平面．.............................................................................2分
（Ⅱ）连结，分别以、、为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，................................................................................5分
，，，，，，
，，，................................................................................6分
设为平面的一个法向量，则，
取，得，................................................................................9分
，，
设平面的法向量，则，
取，则，................................................................................11分
设二面角的平面角为，则．...............................................................................12分
∴二面角的余弦值为．
（Ⅲ）设，，
因为平面，所以.............................................................14分
所以，，所以．..........................................................................16分
17．（1）（2）（3）
解析：（1）由得，得；................................................................................3分
（2）易得，................................................................................4分
..........................5分
错位相减得.................................7分
所以其前项和；..................................................9分
（3）
，........ 11分
或写成.........................................17分
18(1) .(2)答案见解析；(3)证明见解析.
解析：
（1）由得.................................2分
由已知曲线存在斜率为-1的切线，所以存在大于零的实数根，.................................................4分
即存在大于零的实数根，因为在时单调递增，
所以实数a的取值范围.................................................................................6分
（2）由可得
当时， ，所以函数的增区间为；........................8分
当时，若， ，若， ，
所以此时函数的增区间为，减区间为..........................10分
（3）由及题设得，................................................................................12分
由可得，由（2）可知函数在上递增，
所以，取，显然，.................................................................14分
，................................................................................16分
所以存在满足，即存在满足，................................................................................17分
所以， 在区间（1，+∞）上的情况如下：
－ 0 +
↘ 极小 ↗
所以当-1