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- 2021-06-01 发布
2018-2019学年度第二学期期中自主练习
高二数学试题
注意事项：
1.本试题满分150分，考试时间为120分钟.
2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题卡上.
3.使用答题纸时，必须使用0.5亳米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰.超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.
一、选择题：本大题共13小题，每小题4分，共52分.在每小题给出的四个选项中，第1~10题只有一项符合题目要求，第11~13题有多项符合题目要求.全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.
1.若复数（i为虚数单位），则（ ）
A. 2 B. C. 5 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知可得，求出，再由模长公式，即可求解.
【详解】.
故选:D.
【点睛】本题考查复数乘除法间的关系、乘法运算以及模长，属于基础题.
2.已知i为虚数单位，则复数的共轭复数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由复数的乘除法运算法则，化简，即可求出结论.
【详解】.
故选:C.
【点睛】本题考查复数的代数运算及共轭复数，属于基础题.
3.某社团小组有2名男生和4名女生，现从中任选2名学生参加活动，且至少有1名男生入选，则不同的选法种数有（ ）
A. 8 B. 9 C. 14 D. 15
【答案】B
【解析】
【分析】
用间接法求解，求出名学生任选人的不同选法，扣除人都是女生的不同选法，即可求解
【详解】名学生任选人的不同选法有，
人都是女生的不同选法有，
人中至少有1名男生入选不同选法有种.
故选:B.
【点睛】本题考查组合应用问题，“至多”“至少”考虑用间接法处理，也可用直接法求解，属于基础题.
4.某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜.为了了解该地区近几年蔬菜的产量，收集了近5年的统计数据，如表所示：
年份
2014
2015
2016
2017
2018
年份代码x
1
2
3
4
5
年产量y（万吨）
4.9
5.1
5.5
5.7
5.8
根据上表可得回归方程，预测该地区2019年蔬菜的产量为（ ）
A. 5.5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】
求出样本中心点坐标，代入回归方程，求出，即可求解.
【详解】，在回归直线上，代入回归直线方程得
，
依题意年份代码为，当.
故选:B.
【点睛】本题考查样本中心点与线性回归方程关系，以及线性回归方程的应用，属于基础题.
5.从0，2，4，6，8中任取2个数字，从1，3，5，7中任取1个数字，共可以组成没有重复数字的三位奇数的个数为（ ）
A. 64 B. 80 C. 96 D. 240
【答案】A
【解析】
【分析】
分类讨论从0，2，4，6，8中任取2个数字是否含有，根据题意所取的奇数在个位，即可求解.
【详解】若从0，2，4，6，8中取2个数字不含0，
满足条件的三位奇数有，
若从0，2，4，6，8中取2个数字含0，
满足条件的三位奇数有，
所以可组成的三位奇数有.
故选:A.
【点睛】本题考查排列组合应用问题，要注意特殊元素的处理，属于基础题.
6.展开式中的系数为（ ）
A. 11 B. C. 9 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
为展开式中的项与“1”相乘和项与“”相乘得到，根据二项展开式定理求出的项，即可求解.
【详解】通项公式为，
展开式中含项分别为，
展开式中的系数为.
故选:D.
【点睛】本题考查二项展开式指定项的系数，掌握二项展开式通项是解题的关键，属于基础题.
7.甲、乙、丙3位大学毕业生去4个工厂实习，每位毕业生只能选择一个工厂实习，设“3位大学毕业生去的工厂各不相同”为事件A，“甲独自去一个工厂实习”为事件B，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
求出甲独自去一个工厂实习有，3为大学毕业生去的工厂各不相同有，根据条件概率公式，即可求解.
【详解】“甲独自去一个工厂实习”为事件B，
事件包含的基本事件有，
“3位大学毕业生去的工厂各不相同”为事件A，
事件包含的基本事件有，
.
故选:A.
【点睛】本题考查条件概率，确定基本事件个数是解题关键，属于基础题.
8.已知随机变量服从正态分布，，且，则（ ）
A. 0.4 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.1
【答案】C
【解析】
【分析】
根据正态分布曲线的对称性可得，有，再由对立事件概率关系即可求解.
【详解】，
，
.
故选:C.
【点睛】本题考查正态分布曲线的对称性、对立事件概率关系，属于基础题.
9.随着互联网的发展，网络购物用户规模也不断壮大，网上购物越来越成为人们热衷的一种现代消费方式.假设某群体的20位成员中每位成员网购的概率都为p，各成员的网购相互独立.设X为该群体中使用网购的人数，，，则（ ）
A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知可得随机变量满足二项分布，根据二项分布方差公式求出，再由求出的取值范围，即可求出结论.
【详解】依题意随机变量满足二项分布，
，
，解得，
，整理得，
解得或（舍去）.
故选:C.
【点睛】本题考查二项分布方差、独立重复试验概率，熟记公式是解题关键，属于基础题.
10.甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“5局3胜”，即先赢3局者为胜.
根据经验，甲在每局比赛中获胜的概率为，已知第一局甲胜，则本次比赛中甲获胜的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
对甲获胜比赛局数分类讨论，打3局甲获胜，甲连赢2,3局；打4局获胜则2,3局甲一胜一负，第4局胜；打5局获胜，则2,3,4局甲胜一局负两局，第5局胜，求出各种情况的概率，按照互斥事件概率关系，即可求解.
【详解】甲在每局比赛中获胜的概率为，第一局甲胜，
打3局甲获胜概率为；
打4局甲获胜概率为；
打5局获胜的概率为，
所以甲获胜的概率为.
故选:D.
【点睛】本题考查相互独立同时发生的概率、互斥事件的概率，考查计算求解能力，属于基础题.
11.有关独立性检验的四个命题，其中正确的是（ ）
A. 两个变量的2×2列联表中，对角线上数据的乘积相差越大，说明两个变量有关系成立的可能性就越大
B. 对分类变量X与Y的随机变量的观测值k来说，k越小，“X与Y有关系”的可信程度越小
C. 从独立性检验可知：有95%的把握认为秃顶与患心脏病有关，我们说某人秃顶，那么他有95%的可能患有心脏病
D. 从独立性检验可知：有99%的把握认为吸烟与患肺癌有关，是指在犯错误的概率不超过1%的前提下认为吸烟与患肺癌有关
【答案】ABD
【解析】
【分析】
观测值越大，两个变量有关系的可能性越大，选项正确；根据独立性检验，观测值越小，两个有关系的可信度越低，选项正确；独立性检验的结论适合于群体的可能性，不能认为是必然情况，选项不正确；根据独立性的解释，选项正确.
【详解】选项，两个变量的2×2列联表中，对角线上数据的乘积相差越大，
则观测值越大，两个变量有关系的可能性越大，所以选项正确；
选项，根据的观测值越小，原假设“X与Y没关系”成立的可能性越大，
则“X与Y有关系”的可信度越小，所以选项正确；
选项，从独立性检验可知：有95%的把握认为秃顶与患心脏病有关，
不表示某人秃顶他有95%的可能患有心脏病，所以选项不正确；
选项，从独立性检验可知：有99%的把握认为吸烟与患肺癌有关，
是指在犯错误的概率不超过1%的前提下认为吸烟与患肺癌有关，
是独立性检验的解释，所以选项正确.
故选:ABD.
【点睛】本题考查独立性检验概念辨析、观测值与独立性检验的关系，意在考查概念的理解，属于基础题.
12.某人参加一次测试，在备选的10道题中，他能答对其中的5道.现从备选的10题中随机抽出3题进行测试，规定至少答对2题才算合格.则下列选项正确的是（ ）
A. 答对0题和答对3题的概率相同，都为
B. 答对1题的概率为
C. 答对2题的概率为
D. 合格的概率为
【答案】CD
【解析】
【分析】
根据古典概型的概率公式，结合组合数公式，逐项求出各事件的概率.
【详解】选项，答对0题和3题的概率为，
所以选项错误；
选项，答对1题的概率为
所以选项错误；
选项，答对2题的概率为，
所以选项正确；
选项，至少答对2题的概率为，
所以选项正确.
故选:CD.
【点睛】本题考查古典概型概率、互斥事件的概率，要明确各事件的关系，利用组合数求出基本事件的解题的关键，属于基础题.
13.某学校共有6个学生餐厅，甲、乙、丙、丁四位同学每人随机地选择一家餐厅就餐（选择到每个餐厅概率相同），则下列结论正确的是（ ）
A. 四人去了四个不同餐厅就餐的概率为
B. 四人去了同一餐厅就餐的概率为
C. 四人中恰有2人去了第一餐厅就餐的概率为
D. 四人中去第一餐厅就餐的人数的期望为
【答案】ACD
【解析】
【分析】
根据互斥事件的概率，分别求出选项对应事件的概率，逐项验证；对于选项，根据每个学生随机选择一家餐厅，则选择去第一餐厅的概率为，所以去第一餐厅就餐的人数服从二项分布，即可求出期望，判断选项正确.
【详解】四位同学随机选择一家餐厅就餐有选择方法，
选项，四人去了四个不同餐厅就餐的概率为，
所以选项正确；
选项，四人去了同一餐厅就餐的概率为，
所以选项不正确；
选项，四人中恰有2人去了第一餐厅就餐的概率为
，所以选项正确；
选项，每个同学选择去第一餐厅的概率为，
所以去第一餐厅就餐的人数服从二项分布，
，所以选项正确.
故选:ACD.
【点睛】本题考查互斥事件概率、二项分布期望，应用排列组合、分步乘法原理求出基本事件个数是解题的关键，注意特殊分布的运用，属于中档题.
二、填空题：本大题共有4个小题，每小题4分，共16分.
14.若，则_________.
【答案】
【解析】
【分析】
展开式中，令，得到所有系数和，令得到常数项，相减即可求出结论.
【详解】，
令，令，
.
故答案为:.
【点睛】本题考查展开式系数和，应用赋值法是解题的关键，属于基础题.
15.用红、黄、蓝三种颜色涂四边形ABCD的四个顶点，要求相邻顶点的颜色不同，则不同的涂色方法共有_________种.
【答案】18
【解析】
分析】
先对顶点涂色有3种颜色可供选择，接着顶点有2种颜色可供选择，对顶点颜色可供选择2种颜色分类讨论，分为与同色和不同色情况，即可得到顶点涂色情况，即可求解.
【详解】如果同色涂色方法有，
如果不同色涂色方法有，
所以不同的涂色方法有种.
故答案为:18.
【点睛】本题考查染色问题、分步乘法原理和分类加法原理，注意限制条件，属于基础题.
16.为了解高三复习备考情况，某校组织了一次阶段考试.若高三全体考生的数学成绩近似服从正态分布.已知成绩在117.5分以上（含117.5分）的学生有80人，则此次参加考试的学生成绩不超过82.5分的概率为_________；如果成绩大于135分的为特别优秀，那么本次考试数学成绩特别优秀的大约有________人.
（若，则，
【答案】 (1). ； (2). 人.
【解析】
【分析】
根据已知，结合已知数据，可求出学生成绩不超过82.5分的概率，求出，进而求出学生总人数，再由，即可求解.
【详解】，
，
成绩在117.5分以上（含117.5分）的学生有80人，
高三考生总人数有人，
，
本次考试数学成绩特别优秀的大约有人.
故答案为:；人.
【点睛】本题考查正态分布曲线的性质及应用，运用概率估计实际问题，属于中档题.
17.近两年来，以《中国诗词大会》为代表的中国文化类电视节目带动了一股中国文化热潮.某台举办闯关答题比赛，共分两轮，每轮共有4类题型，选手从前往后逐类回答，若中途回答错误，立马淘汰，若全部回答正确，就能获得一枚复活币并进行下一轮答题，两轮都通过就可以获得最终奖金.选手在第一轮闯关获得的复活币，系统会在下一轮答题中自动使用，即下一轮重新进行闯关答题时，在某一类题型中回答错误，自动复活一次，视为答对该类题型.若某选手每轮的4类题型的通过率均分别为、、、，则该选手进入第二轮答题的概率为_________；该选手最终获得奖金的概率为_________.
【答案】 (1). ； (2). .
【解析】
分析】
选手要进入第二轮答题，则第一轮要全部回答正确，根据相互独立同时发生的概率，即可求出其概率；该选手要获得奖金，须两轮都要过关，获得奖金的概率为两轮过关的概率乘积，第二轮通过，答题中可能全部答对四道题，或答错其中一道题，分别求出概率相加，即可得出结论.
【详解】选手进入第二轮答题，则第一轮中答题全部正确，
概率为，
第二轮通过的概率为
，
该选手最终获得奖金的概率为.
故答案为:；.
【点睛】
本题考查相互独立同时发生的概率以及互斥事件的概率，考查计算求解能力，属于中档题.
三、解答题：本大题共6个小题，共82分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.已知复平面内的点A，B对应的复数分别为，（），设对应的复数为z.
（1）当实数m取何值时，复数z是纯虚数；
（2）若复数z在复平面上对应的点位于第四象限，求实数m的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）求出，z是纯虚数，虚部不为0，实部为0，即可求解；
（2）根据的值，求出对应点到坐标，根据已知列出不等式，即可求出结论.
【详解】点A，B对应的复数分别为，
对应的复数为z，，
（1）复数z是纯虚数，，
解得，
；
（2）复数z在复平面上对应的点坐标为，
位于第四象限，，即，
.
【点睛】本题考查复数的代数表示法、几何意义、复数的分类，属于基础题.
19.
受传统观念的影响，中国家庭教育过程中对子女教育的投入不遗余力，基础教育消费一直是中国家庭教育的重头戏，升学压力的逐渐增大，特别是对于升入重点学校的重视，导致很多家庭教育支出增长较快，下面是某机构随机抽样调查某二线城市2012-2018年的家庭教育支出的折线图.
（附：年份代码1-7分别对应的年份是2012-2018）
（1）从图中的折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请求出相关系数r（精确到0.001），并指出是哪一层次的相关性？（相关系数，相关性很强；，相关性一般；，相关性较弱）.
（2）建立y关于t的回归方程；
（3）若2019年该地区家庭总支出为10万元，预测家庭教育支出约为多少万元？
附注：参考数据：，，，，.
参考公式：，回归方程，
其中，
【答案】（1）详见解析；（2）；（3）万元.
【解析】
【分析】
（1）由折线图中的数据及已知求出与的相关系数的近似值，对照参考数据，即可得出结论；
（2）由已知结合公式求出及，可得关于的回归方程；
（3）将2019对应的代入回归方程，求出，进一步求得2019年该地区家庭教育支出.
【详解】（1）由折线图中数据及题中给出的参考数据，
可得，
所以，
即与的相关系数近似值为，所以相关性很强；
（2）由，得，
又，
，
所以关于的回归方程为；
（3）将年对应的代入回归方程，
得，
所以预测2019年该城市家庭教育支出将达到家庭总支出的，
因此当家庭总支出为10万元时，家庭教育支出为（万元）.
【点睛】本题考查线性相关关系、线性回归方程及应用，考查计算求解能力，属于中档题.
20.已知展开式的二项式系数和比展开式的偶数项的二项式系数和大48，求的展开式中：
（1）二项式系数最大的项；
（2）系数的绝对值最大的项.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）分别求出展开式的二项式系数和，展开式的偶数项的二项式系数和，利用两者差列方程，解方程求出的值，二项式系数最大项为第，即可求解；
（2）设第项系数绝对值最大，化简二项展开式的通项公式，利用系数绝对值最大项比前后两项的系数绝对值都大列不等式组，解不等式组求得的取值范围，由此求得的值
【详解】（1）依题意，
的展开式中第6项二项式系数最大，
即；
（2）设第项的系数的绝对值最大，
则，
，得，
即，，
所以系数的绝对值最大的是第8项，
即.
【点睛】本题考查二项式系数和、二项式系数最大项、系数绝对值最大项，考查计算求解能力，属于中档题.
21.为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，某校在高中生中随机抽取100名学生进行了问卷调查，得到如下列联表：
喜欢数学
不喜欢数学
合计
男生
40
女生
30
合计
50
100
（1）请将上面的列联表补充完整；
（2）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“喜欢数学”与性别有关？说明你的理由；
（3）若在接受调查的所有男生中按照“是否喜欢数学”进行分层抽样，现随机抽取6人，再从6人中抽取3人，求至少有1人“不喜欢数学”的概率.
下面的临界值表供参考：
0.05
0.010
0.005
0.001
k
3.841
6.635
7.879
10828
（参考公式：，其中）.
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）.
【解析】
【分析】
（1）结合题中所给的条件完成列联表即可；
（2）结合（1）中的列联表结合题意计算的观测值，即可确定喜欢数学是否与性别有关；
（3）随机抽取6
人中，根据列联表中数据按照分层抽样原则，分别求出喜欢数学和不喜欢数学的人数，用间接法求出3人都喜欢数学的概率，进而得出结论.
【详解】（1）列联表补充如下：
喜欢数学
不喜欢数学
合计
男生
40
20
60
女生
10
30
40
合计
50
50
100
（2）由列联表值的的结论可得的观测值为：
，
则在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“喜欢数学”与性别有关；
（3）在接受调查的所有男生中按照“是否喜欢数学”进行分层抽样，
现随机抽取6人，喜欢数学的有4人，不喜欢数学2人，
从6人中抽取3人，记至少有1人“不喜欢数学”为事件，
则，
所以从6人中抽取3人，记至少有1人“不喜欢数学”的概率为.
【点睛】本题考查了列联表与独立性检验问题，也考查了分层抽样与对立事件求概率，属于基础题.
22.小明下班回家途经3个有红绿灯的路口，交通法规定：若在路口遇到红灯，需停车等待；若在路口没遇到红灯，则直接通过.经长期观察发现：他在第一个路口遇到红灯的概率为，在第二、第三个道口遇到红灯的概率依次减小，在三个道口都没遇到红灯的概率为，在三个道口都遇到红灯的概率为，且他在各路口是否遇到红灯相互独立.
（1）求小明下班回家途中至少有一个道口遇到红灯的概率；
（2）求小明下班回家途中在第三个道口首次遇到红灯的概率；
（3）记为小明下班回家途中遇到红灯的路口个数，求数学期望.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）根据对立事件的概率关系结合已知，即可求解；
（2）设第二、三个道口遇到红灯的概率分别为，根据已知列出关于方程组，求得，即可求出结论；
（3）的可能值为分别求出概率，得出随机变量的分布列，由期望公式，即可求解.
【详解】（1）因为小明在三个道口都没遇到红灯的概率为，
所以小明下班回家途中至少有一个道口遇到红灯的概率为；
（2）设第二、三个道口遇到红灯的概率分别为，
依题意解得或（舍去），
所以小明下班回家途中在第三个道口首次遇到红灯的概率；
（3）的可能值为，
，
，
，
，
分布列为
【点睛】本题考查互斥事件、对立事件概率关系，考查相互独立同时发生的概率，以及离散型随机变量分布列和期望，属于中档题.
23.已知甲箱中装有3个红球，2个黑球，乙箱中装有2个红球，3个黑球，这些球除颜色外完全相同，某商场举行有奖促销活动，规定顾客购物1000元以上，可以参与抽奖一次，设奖规则如下：每次分别从以上两个箱子中各随机摸出2个球，共4个球，若摸出4个球都是红球，则获得一等奖，奖金300元；摸出的球中有3个红球，则获得二等奖，奖金200元；摸出的球中有2个红球，则获得三等奖，奖金100元；其他情况不获奖，每次摸球结束后将球放回原箱中.
（1）求在1次摸奖中，获得二等奖的概率；
（2）若3人各参与摸奖1次，求获奖人数X的数学期望；
（3）若商场同时还举行打9折促销活动，顾客只能在两项促销活动中任选一项参与.假若你购买了价值1200元的商品，那么你选择参与哪一项活动对你有利？
【答案】（1）；（2）；（3）详见解答.
【解析】
【分析】
（1）设“在1次摸奖中，获得二等奖”为事件，利用互斥事件概率计算公式能求出在1次摸奖中，获得二等奖的概率；
（2）设“在1次摸奖中，获奖”为事件，求出，每个人获奖的概率相等，获奖人数服从二项分布，求出可能值的概率，由此求出的分布列，应用二项分布期望公式即可求出结论；
（3）求出中奖的期望，设中奖的的金额为，可能值为，求出相应的概率，列出分布列，进而求出期望，与打9折的优惠金额对比，即可得出结论.
【详解】（1）设“在1次摸奖中，获得二等奖”为事件，
则，
所以在1次摸奖中，获得二等奖的概率；
（2）设“在1次摸奖中，获奖”为事件，
则获得一等奖的概率为，
获得三等奖的概率为，
所以，
每个人摸奖是相互独立，且获奖概率相等，
获奖人数服从二项分布，
，
分布列为：
；
（3）如果选择抽奖，设中奖的的金额为，
可能值为，
，
，
，
的分布列为：
，
如果购买1200选择打九折，优惠金额为，
选择打九折更有利.
【点睛】本题考查互斥事件概率、离散型随机变量分布列期望、二项分布期望，考查计算求解能力，属于中档题.