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- 2021-06-01 发布
2017-2018学年四川省广安第二中学校高二下学期第一次月考
理科数学试题
一. 选择题(每小题5分,共60分)
1.已知函数f（x）=ax+4，若，则实数a的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3
2.曲线y＝x3－2在点x=－1处切线的斜率为( )
A. -1 B. 1 C. -2 D. 2
3.若，则函数的导函数等于（ ）
A. B. C. D.
4.已知函数f（x）=e2x+1﹣3x，则f′（0）=（ ）
A．0 B．﹣2 C．2e﹣3 D．e﹣3
5.函数f(x)＝x3－3x+1在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是（ ）
A. 1，－1 B. 3，-17 C. 1，－17 D. 9，－19
6.的值为 （ ）
A． B． C． D．
7.设函数，则（ ）
A. 2 B. -2 C. 5 D.
8.曲线上的点到直线的最短距离是（ ）
A. B. 2 C. D. 1
9.已知上可导函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
10.设函数，在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11.已知函数y＝f(x)的图象为如图所示的折线ABC，则 ( )
A. 2 B. －2 C. 1 D. －1
12．已知函数对于使得成立，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二.填空题(每小题5分,共20分)
13.已知曲线f（x）=2x2+1在点M（x0，y0）处的瞬时变化率为﹣8，则点M的坐标为
14. 若，则a=
15. 已知函数只有一个零点，则实数m的取值范围是
16. 已知函数f（x）=，
无论t取何值，函数f（x）在区间（﹣∞，+∞）上总是不单调，则a的取值范围是
三.解答题(共6小题.17题10分,其余小题12分)
17. 求由曲线y=x2+2与y=3x，x=0，x=2所围成的平面图形的面积．
18. 某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p元，则销售量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8 300－170p－p2.问该商品零售价定为多少元时毛利润最大(毛利润＝销售收入－进货支出)．
19. 已知函数.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）讨论f(x)的单调性。
20.已知函数f（x）=x3+bx2+cx﹣1当x=﹣2时有极值，且在x=﹣1处的切线的斜率为﹣3．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在区间[﹣1，2]上的最大值与最小值．
21.已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+a2（a＞0）的单调递减区间是（1，2），且满足f（0）=1．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）对任意m∈（0，2]，关于x的不等式f（x）＜m3﹣mlnm﹣mt+在x∈（﹣∞，1]上恒成立，求实数t的取值范围．
22. 已知
直线l1、l2与函数的图象所围成的封闭图形如图中阴影所示，设这两个阴影区域的面积之和为
（I）求函数的解析式；
（II）定义函数的三条切线，求实数m的取值范围。
答案
一. 选择题
ABDCB ADADC DB
二. 填空题
13.（﹣2，9） 14. 3 15. ∪ 16. （﹣∞，]
三.解答题
17.解：联立，解得x1=1，x2=2
∴S=∫01（x2+2﹣3x）dx+∫12（3x﹣x2﹣2）dx=+=1
18.解析 由题意知，毛利润＝销售收入－进货支出，
设该商品的毛利润为L(p)，则
L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)
＝(8 300－170p－p2)(p－20)
＝－p3－150p2＋11 700p－166 000，
所以L′(p)＝－3p2－300p＋11 700.
令L′(p)＝0，
解得p＝30或p＝－130(舍去)．
此时，L(30)＝23 000.
因为在p＝30附近的左侧L′(p)>0，右侧L′(p)<0.
所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)是最大值．
19.解：（1）当时，，
即曲线在处的切线的斜率，又
所以所求的切线方程是
（2）易知
若，则恒成立，在上单调递增；
若 ，则当时，，单调递减，
当时，，单调递增.
20. （1）f'（x）=3x2+2bx+c
依题意得 解得：
∴函数f（x）的解析式为f（x）=x3+3x2﹣1．
（2）由（1）知f'（x）=3x2+6x．令f'（x）=0，
解得x1=﹣2， x2=0
列表：
x
﹣1
（﹣1，0）
0
（0，2）
2
f'（x）
﹣
+
f（x）
1
﹣1
19
从上表可知，f（x）在区间[﹣1，2]上的最大值是19，最小值是﹣1．
21. 解：（Ⅰ）由已知得，f′（x）=3ax2+2bx+c，
∵函数f（x）=ax3+bx2+cx+a2的单调递减区间是（1，2），
∴f′（x）＜0的解是1＜x＜2，
∴f′（x）=3ax2+2bx+c=0的两个根分别是1和2，且a＞0
从f（0）=a2=1且 a＞0可得a=1
又得
∴
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，f′（x）=3x2﹣9x+6=3（x﹣1）（x﹣2），
∴x∈（﹣∞，1]时， f′（x）＞0，f（x）在（﹣∞，1]上是增函数
对x∈（﹣∞，1]，当x=1时，
要使在x∈（﹣∞，1]上恒成立，
即，
即对任意m∈（0，2]恒成立，
即对任意m∈（0，2]恒成立，
设，则t＜h（m）min，令h′（m）=0，得m=1或m=﹣1
在m∈（0，2]，h′（m）的符号与h（m）的单调情况如下表：
m
（0，1）
1
（1，2）
2[]
h′（m）
﹣
0
+
0
h（m）
↘
极小值
↗
极大值
∴m=1时，，
∴
22. （I）由， …………2分
（II）依据定义，…………7分
所以，当
当
因此，关于x0的方程
故实数m的取值范围是（—4，4）。