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- 2021-06-01 发布
2019-2020 学年上学期高二期末考试备考精编
金卷
理 科 数 学（B）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证
号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案
标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题
卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数 3
1 2iz (i 是虚数单位)，则 z 的实部为（ ）
A． 3
5
B． 3
5 C． 1
5
D． 1
5
2．准线为 3
4y 的抛物线标准方程是（ ）
A． 2 3x y B． 2 2
3x y C． 2 1
3y x D． 2 3
2y x
3．若函数 ( )f x 在R 上可导，且满足 ( ) ( ) 0f x xf x ，则（ ）
A．3 (1) (3)f f B．3 (1) (3)f f C．3 (1) (3)f f D． (1) (3)f f
4．若向量 (1,0, )za 与向量 (1, 3,0)b 的夹角的余弦值为 1
2
，则 z （ ）
A．0 B．1 C． 1 D．2
5．“ 1
4m ”是“一元二次方程 2 0x x m 有实数解”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件
此
卷
只
装
订
不
密
封
班
级
姓
名
准
考
证
号
考
场
号
座
位
号
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
6．设正项等比数列{ }na 中的 1a ， 4037a 是函数 3 21( ) 4 6 13f x x x x 的极值点，
则 2 2019log a 等于（ ）
A． 2 B． 2log 6 C． 2
1 log 32 D．6
7．椭圆 2 2 1x my 的焦点在 y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为（ ）
A． 1
4 B． 1
2 C．2 D．4
8．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，
甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：
“甲、乙两人中有一人作了案”；丁说：“乙说的是事实”。经过调查核实，四个
人中有两个人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四个人中只有一名罪犯，
则说真话的人是（ ）
A．甲、乙 B．甲、丙 C．乙、丁 D．乙、丁
9．如图在复平面内，复数 1z ， 2z 对应的向量分别是OA
，OB
，若 2 1z z z ，则 z
的
共轭复数 z （ ）
A． 1 3 i2 2
B． 1 3 i2 2
C． 1 3 i2 2
D． 1 3 i2 2
10．已知命题 p :函数 lg(1 )y x 在( ,1) 上单调递减，命题q :函数 cos2 xy 是偶
函数，则下列命题中真命题的是（ ）
A． p q B．( ) ( )p q C．( )p q D． ( )p q
11．设 1( ,0)F c ， 2 ( ,0)F c 分别为双曲线
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
的两个焦点，M 、
N 是双曲线C 的一条渐近线上的两点，四边形 1 2MF NF 为矩形， A 为双曲线实轴
的一个顶点，若 AMN△ 的面积为 21
2 c ，则该双曲线的离心率为（ ）
A．3 B．2 C． 3 D． 2
12．已知函数 ( )y f x 是 R 上的可导函数，当 0x 时，有 ( )( ) 0f xf x x
，则
函数 1( ) ( )F x xf x x
的零点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13．计算
3
2
1
1(2 )dx xx
．
14．若命题“ 0x R ， 2
0 02 0x x m ”是假命题，则m 的取值范围是 ．
15 ． 函 数 3 21( ) 2 3 23f x x x x 在 区 间 [0,2] 上 最 大 值 与 最 小 值 的 和
为 ．
16．在长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， 1 1AA ， 3AD DC ，Q 是线段 1 1AC 上一
点，
且 1 1 1
1
3C Q C A ，则点Q 到平面 1A DC 的距离为 ．
三、解答题：本大题共 6 大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过
程或演算步骤．
17．（10 分）已知过抛物线 2 4y x 焦点 F 的弦的长为36，求该弦所在的直线方
程．
18．（12 分）如图，在四棱锥 P ABCD 中，PA 底面 ABCD，AD AB ，AB DC∥ ，
2AD DC AP ， 1AB ，点 E 为棱 PC 的中点．
（1）证明： BE DC ；
（2）求二面角 E AB P 的余弦值．
19．（12 分）设函数 3 2( ) 2 3 3f x x ax bx c 在 1x 及 2x 时取得极值．
（1）求 a ，b 的值；
（2）求函数 ( )y f x 在[0,3]上的最大值与最小值之差．
20．（12 分）设命题 p :函数 2 1( ) lg( )4f x ax x a 的定义域为R ；命题 q : x R ，
使得 2 2 2 0x ax a ．如果“ p 或 q ”为真命题，“ p 且 q ”为假命题，求实
数 a 的取值范围．
21．（12 分）如图，四棱锥 P ABCD 中， PA 底面 ABCD ， AD BC∥ ，
3AB AD AC ， 4PA BC ，M 为线段 AD 上一点， 2AM MD ，N 为 PC
的中点．
（1）证明： MN∥平面 PAB；
（2）求直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值．
22．（12 分）已知椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
的离心率为 1
2
，以原点为圆心，椭
圆的短半轴为半径的圆与直线 6 0x y 相切，过点 (4,0)P 且不垂直于 x 轴的
直线l 与椭圆C 相交于 A ， B 两点．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）求OA OB 的取值范围．
2019-2020 学年上学期高二期末考试备考精编金卷
理 科 数 学（B）答 案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】B
【解析】∵ 3 3(1 2i) 3 6 i1 2i (1 2i)(1 2i) 5 5z ，∴ z 的实部为 3
5
．
2．【答案】A
【解析】准线为 3
4y 的抛物线标准方程是 2 3x y ，故选 A．
3．【答案】B
【解析】由于 ( ) ( )f x xf x ，∴ 2
( ) ( ) ( )( ) 0f x f x x f x
x x
，
因此 ( )f x
x
在(0, ) 上单调递减，∴ (3) (1)
3 1
f f ，即3 (1) (3)f f ，故答案为 B．
4．【答案】A
【解析】 向量 (1,0, )za 与向量 (1, 3,0)b 的夹角的余弦值为 1
2
，
∴ 2
1 1cos , | | | | 21 1 3z
a ba b a b ，解得 0z ．
5．【答案】A
【 解 析 】“ 一 元 二 次 方 程 2 0x x m 有 实 数 解 ” 的 充 要 条 件 是
10 1 4 0 4Δ m m ，
而 1 1
4 4m m ；但 1
4m 1
4m ，故选 A．
6．【答案】B
【解析】∵ 1a ， 4037a 是函数 3 21( ) 4 6 13f x x x x 的极值点，
∴ 1a ， 4037a 是方程 2( ) 8 6 0f x x x 的两个实数根，
由根与系数的关系可得 2
1 4037 20196a a a ，故 2 2019 2log log 6a ．
7．【答案】A
【解析】方程化为
2
2 11
y x
m
，则长轴长为 12 m
，短轴长为2 ，
则 12 4m
， 1
4m ，故选 A．
8．【答案】B
【解析】如果乙说的是对的，则甲也对丁也对，不符，
所以乙说假话，小偷不是丙，同时丁说的也是假话．
即甲、丙说的是真话，小偷是乙，故选 B．
9．【答案】A
【解析】由题意知 1 1 2iz ， 2 1 iz ，故 ( 1 i) 1 2iz ，
即 1 2i (1 2i)(1 i) 1 3i 1 3 i1 i ( 1 i)(1 i) 2 2 2z ，∴ 1 3 i2 2z ，故选 A．
10．【答案】A
【解析】命题 p 中，因为函数 1u x 在( ,1) 上为减函数，
所以函数 lg(1 )y x 在( ,1) 上为减函数，所以 p 是真命题；
命题q 中，设 cos( ) 2 xf x ，则 cos( ) cos( ) 2 2 ( )x xf x f x ， xR ，
所以函数 cos2 xy 是偶函数，所以q 是真命题，所以 p q 是真命题，故选 A．
11．【答案】D
【解析】设 ( , )( 0)bM x x xa
，根据矩形的性质，得 1 2| | | | | |MO OF OF c ，
即 2 2 2( )bx x ca
，则 x a ，所以 ( , )M a b ．
因为 AMN△ 的面积为 21
2 c ，所以 21 12 2 2a b c ，所以 2 2 2 44 ( )a c a c ，
所以 4 24 4 0e e ，所以 2e ，故选 D．
12．【答案】B
【解析】令 1( ) ( ) 0F x xf x x
，∴ 1( )xf x x
．
∵ ( ) ( ) ( ) [ ( )]( ) 0f x xf x f x xf xf x x x x
，
令 ( ) ( )g x xf x ，即当 0x 时， ( ) [ ( )] 0g x xf x ，为增函数；
当 0x 时， ( ) [ ( )] 0g x xf x ，为减函数，
∴在区间(0, ) ，( ,0) 上， ( ) (0) 0g x g ．
∵函数 1y x
在区间(0, ) ，( ,0) 上为增函数，画出草图可知，
在区间( ,0) 上， ( ) ( )g x xf x 与 1y x
有一个交点，在(0, ) 上没有交点．
即 1( ) ( )F x xf x x
的零点个数是1．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13．【答案】 22
3
【解析】
3
2 3
12
1
1 1 1 22(2 )d ( ) 9 23 3x x xx x
．
14．【答案】(1, )
【解析】因为命题“ 0x R ， 2
0 02 0x x m ”是假命题，
所以 x R ， 2 2 0x x m 为真命题，即 4 4 0Δ m ，∴ 1m ，
故答案为(1, ) ．
15．【答案】 8
3
【解析】∵ 3 21( ) 2 3 23f x x x x ，
由 2( ) 4 3 ( 3)( 1) 0f x x x x x 得极值点为1，3，
计算得， (0) 2f ， 2(1) 3f ， 4(2) 3f ，
故函数 3 21( ) 2 3 23f x x x x 在区间[0,2]上最大值与最小值的和为 8
3
．
16．【答案】 3
3
【解析】以 1 1D A ， 1 1D C ， 1D D 分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系，
则 (0,0,1)D ， (0, 3,1)C ， 1( 3,0,0)A ， 1(0, 3,0)C ，
由 1 1 1
1
3C Q C A ， 则 3 2 3( , ,0)3 3Q ， ∴ (0, 3,0)DC ， 1 ( 3,0, 1)DA ，
3 2 3( , , 1)3 3DQ ，
设平面 1A DC 的法向量为 ( , , )x y zn ，
由
1
0
0
DC
DA
n
n
，得 0
3 0
y
x z
，可取 (1,0, 3)n ，
∴点Q 到平面 1A DC 的距离为 | | 3
| | 3
DQd
n
n
．
三、解答题：本大题共 6 大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过
程或演算步骤．
17．【答案】 2 ( 1)4y x 或 2 ( 1)4y x ．
【解析】∵过焦点的弦长为36，∴弦所在的直线的斜率存在且不为零，
故可设弦所在直线的斜率为 k ，且与抛物线交于 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y 两点．
∵抛物线 2 4y x 的焦点为 (1,0)F ，∴直线方程为 ( 1)y k x ，
联立抛物线有 2
( 1)
4
y k x
y x
，整理得 2 2 2 2(2 4) 0( 0)k x k x k k ，
∴
2
1 2 2
2 4kx x k
，∴
2
1 2 2
2 4| | | | | | 2 2kAB AF BF x x k
．
又| | 36AB ，∴
2
2
2 4 2 36k
k
，∴ 2
4k ．
∴所求直线方程为 2 ( 1)4y x 或 2 ( 1)4y x ．
18．【答案】（1）证明见解析；（2） 2
2
．
【解析】（1）证明：取 PD中点 F ，连接 AF ， EF ，
E ， F 分别是 PC ， PD的中点，∴ EF CD∥ ， 1
2EF CD ，
AB CD∥ ， 1
2AB CD ，∴ EF AB∥ ， EF AB ，
四边形 ABEF 是平行四边形，∴ BE AF∥ ，
PA 底面 ABCD，∴ PA CD ，
∵ AB AD ， AB CD∥ ，
AD CD ，∴CD 面 PAD ，∴CD AF ，∴CD BE ．
（2）以点 A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系 A xyz ，
则 (0,0,0)A ， (1,0,0)B ， (0,0,2)P ， (2,2,0)C ， (1,1,1)E ，
∴ (1,1,1)AE ， (1,0,0)AB ，
设平面 EAB的法向量为 ( , , )x y zm ，
由 0 0
00
AE x y z
xAB
m
m
，令 1z ，则 1y ，即 (0, 1,1) m ，
易知平面 PAB的一个法向量 (0,1,0)n ，
设二面角 E AB P 的大小为 ，则 2cos | cos , | 2
m n ．
19．【答案】（1） 3a ， 4b ；（2）9．
【解析】（1） 2( ) 6 6 3f x x ax b ，
因为函数 ( )f x 在 1x 及 2x 时取得极值，∴ (1) 0f ， (2) 0f ，
即 6 6 3 0
24 12 3 0
a b
a b
，解得 3a ， 4b ，经检验满足题意．
（2）由（1）可知， 3 2( ) 2 9 12f x x x x c ， 2( ) 6 18 12 6( 1)( 2)f x x x x x ，
当 (0,1)x 时， ( ) 0f x ，函数 ( )f x 单调递增；
当 (1,2)x 时， ( ) 0f x ，函数 ( )f x 单调递减；
当 (2,3)x 时， ( ) 0f x ，函数 ( )f x 单调递增，
所以，当 1x 时， ( )f x 取得极大值 (1) 5f c ；
当 2x 时， ( )f x 取得极小值 (2) 4f c ，
又 (0)f c ， (3) 9f c ，
∴当 [0,3]x 时， ( )f x 的最大值为 (3) 9f c ， ( )f x 的最小值为 (0)f c ，
故函数 ( )y f x 在[0,3]上的最大值与最小值之差为9．
20．【答案】( , 2] {1} ．
【解析】∵当命题 p 为真命题时，函数 2 1( ) lg( )4f x ax x a 的定义域为R ，
∴ 2 1 04ax x a 恒成立，得 2
0
1 0
a
Δ a
，解得 1a ；
当命题 q 为真命题时， 24 4(2 ) 0Δ a a ，解得 2a 或 1a ，
∵“ p 或 q ”为真命题，且“ p 且 q ”为假命题，
∴命题 p 与命题 q 一真一假．
若 p 真 q 假，则 a；
若 p 假 q 真，得 1
2 1
a
a a
或 ，则 2a 或 1a ，
综上所述，实数 a 的取值范围是( , 2] {1} ．
21．【答案】（1）证明见解析；（2） 8 5
25
．
【解析】（1）证明：由已知得 2 23AM AD ，取 BP 得中点T ，连接 AT ，TN ，
∵ N 为 PC 的中点，∴TN BC∥ ， 1 22TN BC ．
又 AD BC∥ ，故TN AM∥ ，TN AM ，
∴四边形 AMNT 为平行四边形，∴ MN AT∥ ．
因为 AT 平面 PAB， MN 平面 PAB，所以 MN∥平面 PAB．
（2）取 BC 的中点 E ，连接 AE ．
由 AB AC 得 AE BC ，从而 AE AD ，
且 2 2 2 2( ) 52
BCAE AB BE AB ．
以 A 为坐标原点， AE
的方向为 x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系
A xyz ．
由题意知 (0,0,4)P ， (0,2,0)M ， ( 5,2,0)C ， 5( ,1,2)2N ，
∴ (0,2, 4)PM ， 5( ,1, 2)2PN ， 5( ,1,2)2AN ．
设 ( , , )x y zn 为平面 PMN 的法向量，则 0
0
PM
PN
n
n
，即
2 4 0
5 2 02
y z
x y z
，
可取 (0,2,1)n ．于是 | | 8 5| cos , | 25| || |
ANAN
AN
nn
n
，
∴直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值为 8 5
25
．
22．【答案】（1）
2 2
14 3
x y ；（2） 13[ 4, )4
．
【解析】（1）由题意知 1
2
ce a
，所以
2 2 2
2
2 2
1
4
c a be a a
，即 2 24
3a b ．
又以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线 6 0x y 相切，
所以 | 6 | 3
1 1
b
，所以 2 4a ， 2 3b ，故椭圆C 的方程为
2 2
14 3
x y ．
（2）由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为 ( 4)y k x ，
联立椭圆有 2 2
( 4)
14 3
y k x
x y
，∴ 2 2 2 2(4 3) 32 64 12 0k x k x k ．
由 2 2 2 2( 32 ) 4(4 3)(64 12) 0Δ k k k ，得 2 1
4k ．
设 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y ，则
2
1 2 2
32
4 3
kx x k
，
2
1 2 2
64 12
4 3
kx x k
．
∴
2
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 2
36( 4) ( 4) 4 ( ) 16 4 3
ky y k x k x k x x k x x k k
，
∴
2 2
1 2 1 2 2 2 2
64 12 36 87254 3 4 3 4 3
k kOA OB x x y y k k k
，
∵ 2 10 4k ，∴ 2
87 8729 4 3 4k
，∴ 13[ 4, )4OA OB ，
∴OA OB 的取值范围是 13[ 4, )4
．