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- 2021-06-01 发布
广东仲元中学2016学年第二学期期中考试
高二年级数学（文科）试卷
命题人 审题人
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．
1．设集合A={x|x＞1}，B={x|x（x﹣2）＜0}，则A∩B等于（ ）
A． {x|x＞2} B．{x|1＜x＜2} C． {x|0＜x＜2} D． {x|0＜x＜1}
2．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（ ）
A． y= B． y= C． y=﹣x2+1 D． y=lg|x|
3．已知平面向量=（﹣1，1），=（2，3），=（﹣2，k），若（+）∥，则实数k=( )
A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣8
4．在同一个坐标系中画出函数y=ax，y=sinax的部分图象，其中a＞0且a≠1，则下列所给图象中可能正确的是( )
A． B． C． D．
5．“x＜﹣1”是“x2+x＞0”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6． ＝（ ）
A．1+2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．﹣1﹣2i
7．已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，
则该几何体的体积是（ ）
A．108cm3 B．100cm3 C．92cm3 D．84cm3
8.袋中共有6个除了颜色外完全相同的球,其中有1个红球、2个白球和3个黑球.从袋中任取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于( )
A． B． C． D．
9．已知数列{an}是等差数列，且a1+a4+a7=2π，则tan（a3+a5）的值为（ ）
A． B． ﹣ C． D． ﹣
10． O为坐标原点，F为抛物线C：y2=4x的焦点，P为C上一点，若|PF|=4，
则△POF的面积为（ ）
A． 2 B． 2 C． 2 D． 4
11．函数y=x2﹣lnx的单调递减区间为( )
A．（﹣1，1] B．（0，1] C．上的两个函数，若函数y=f（x）﹣g（x）在x∈上有两个不同的零点，则称f（x）和g（x）在上是“关联函数”，
区间称为“关联区间”．若f（x）=x2﹣3x+4与g（x）=2x+m在上是“关联函数”，则m的取值范围为（ ）
A．（﹣，﹣2] B． C．（﹣∞，﹣2] D．（﹣，+∞）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.
13.已知函数，该函数在区间上的最大值是 ．
14.已知圆,过点的最短弦所在的直线的方程是 .
15.在面积为S的△ABC的内部任取一点P，则△PBC的面积小于的概率为 .
16．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表
根据上表可得回归方程中的为10，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 万元。
三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题共12分）设向量
(1)若，求x的值；
(2)设函数,求的最大值.
18.（本题满分12分）
组号
分组
频数
频率
第1组
5
0.050
第2组
①
0.350
第3组
30
②
第4组
20
0.200
第5组
10
0.100
合计
100
1.000
某高校在2015年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如右图所示.
（1）请先求出频率分布表中①、②位置相应的数据；
（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？
（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官进行面试，求第4组至少有一名学生被考官A面试的概率？
19．（本题满分12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC=BC=2，，CC1=4，M是棱CC1上一点．
（Ⅰ）求证：BC⊥AM；
（Ⅱ）若M，N分别为CC1，AB的中点，求证：CN∥平面AB1M．
20. （本题满分12分）已知椭圆的方程为，双曲线的左、右焦点分别是的左、右顶点，而的左、右顶点分别是的左、右焦点。
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）若直线与双曲线恒有两个不同的交点A和B，且（其中O为原点），求实数k的范围。
21.（本小题共12分）已知函数（为自然对数的底），
（a为常数），是实数集R上的奇函数.
⑴ 求证：；
⑵ 讨论关于的方程：的根的个数.
请考生在（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程.
已知圆C的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，若直线 与圆C相切.
求（1）圆C的直角坐标方程； （2）实数k的值.
23.(本题满分10分) 选修4—5：不等式选讲
已知函数．
（Ⅰ）当m=5时，求不等式的解集；
（Ⅱ）若不等式对任意实数x恒成立，求m的取值范围．
广东仲元中学2016学年第二学期期中考试
高二年级数学（文科）参考答案
1．B 2.C 3.D 4.D 5.A 6.B 7.B 8.B 9．A 10．C 11.B 12 A
13. 20 14. 15. 16． 67
17.解：（1）由
得
所以
（2）
18.
19．证明：（Ⅰ）因为三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，
所以CC1⊥BC．
因为AC=BC=2，，
所以由勾股定理的逆定理知BC⊥AC．
又因为AC∩CC1=C，
所以BC⊥平面ACC1A1．
因为AM⊂平面ACC1A1，
所以BC⊥AM．
（Ⅱ）过N作NP∥BB1交AB1于P，连接MP，则NP∥CM．
因为M，N分别为CC1，AB中点，
所以 ，．
因为BB1=CC1，
所以NP=CM．
所以四边形MCNP是平行四边形．
所以CN∥MP．
因为CN⊄平面AB1M，MP⊂平面AB1M，
所以CN∥平面AB1 M．
20. 解：（1）设双曲线的方程为 则，c=2
再由得
故的方程为
（2）将代入的方程，得
由直线与双曲线C2交于不同的两点得：
且①
设，则
又，得
即，解得：②
由①、②得：
,
故的取值范围为
21.
设，则由得，x=e，
又∵当时，，当时，，
∴， ………8分
设，则，
∴① 当时，原方程无解；
② 当时，方程有且只有一根；
③ 当时，方程有两根； ………12分
22.（1）由得：，所以圆C的直角坐标方程为 …………6分
（2）由，得，且与圆C相切，所以圆心到直线距离等于半径，即，解得……12分
23.解：（Ⅰ）当时，即，
当时，得，即，所以；
当时，得成立，所以；
当时，得，即，所以.
故不等式的解集为.
（Ⅱ）因为，
由题意得，则或，
解得或, 故的取值范围是.