2019-2020学年吉林省辽源市田家炳高级中学高二上学期期中数学试题（解析版） 19页

‎2019-2020学年吉林省辽源市田家炳高级中学高二上学期期中数学试题 一、单选题 ‎1．设，则“”是“”的( )‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定.‎ ‎【详解】‎ 化简不等式，可知 推不出；‎ 由能推出，‎ 故“”是“”的必要不充分条件，‎ 故选B。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件。‎ ‎2．现有两个命题：‎ ‎：若，则；：若，则双曲线的离心率为.‎ 那么，下列命题为真命题的是（）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】容易判断假真，再根据复合命题的真假判断规律得出答案。‎ ‎【详解】‎ 对于：当时，，故为假命题；‎ 对于：当时，双曲线的离心率为，故为真命题。‎ 所以为真命题。‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复合命题的真假，是基础题。‎ ‎3．已知椭圆的离心率，则的值为（ ）‎ A.3 B.3或 C. D.或 ‎【答案】B ‎【解析】对m分类讨论，分别求得a2，b2，c2，再根据离心率可求m.‎ ‎【详解】‎ 当m＞5时，a2＝m，b2＝5，c2＝m﹣5，e2⇒m；‎ 当0＜m＜5时，a2＝5，b2＝m，c2＝5﹣m，e2⇒m＝3；‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆的标准方程及几何性质，考查了椭圆的离心率的公式，考查了分类讨论思想，属于基础题．‎ ‎4．已知分别是椭圆的左，右焦点，为椭圆上一点，且（为坐标原点），，则椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】：取的中点，连接，根据向量的加减法的几何意义和三角形中位线的性质，以及已知，对这个等式，进行化简，得到，再根据椭圆的定义，结合，可以求出离心率.‎ ‎【详解】‎ 如下图所示：取的中点，连接，‎ ‎，， ，‎ ‎，，因为，所以设，，‎ ‎..由椭圆的定义可知：，，‎ ‎，，‎ ‎，，故本题选C.‎ ‎..【点睛】本题考查了借助向量的加减法的几何意义和向量的垂直，考查了椭圆的定义及离心率.本题考查了运算能力.‎ ‎5．已知直线，当变化时，此直线被椭圆截得的最大弦长是（ ）‎ A.4 B.2 C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】【详解】‎ 法一：直线必过点，设椭圆上一点，则弦.‎ 法二：联立与得：.‎ ‎∴，，.‎ 弦长 当，即时，弦长最大，最大值为.‎ ‎6．下列说法正确的是（ ）‎ A.设是实数，若方程表示双曲线，则.‎ B.“为真命题”是“为真命题”的充分不必要条件.‎ C.命题“，使得”的否定是：“，”.‎ D.命题“若为的极值点，则”的逆命题是真命题.‎ ‎【答案】B ‎【解析】逐一分析每一个命题的真假得解.‎ ‎【详解】‎ A. 设是实数，若方程表示双曲线，则(m-1)(2-m)＜0，所以m＞2或m＜1,所以该命题是假命题；‎ B. “为真命题”则p真且q真，“为真命题”则p,q中至少有个命题为真命题，所以“为真命题”是“为真命题”的充分不必要条件.所以该命题是真命题；‎ C. 命题“，使得”的否定是：“，”.所以该命题是假命题；‎ D. 命题“若为的极值点，则”的逆命题是“则为的极值点”，如函数，，但是不是函数的极值点.‎ 所以该命题是假命题.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查双曲线的标准方程和复合命题的真假，考查充要条件和导数，考查特称命题的否定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎7．若双曲线的离心率大于2，则该双曲线的虚轴长的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据离心率大于2得到不等式：计算得到虚轴长的范围.‎ ‎【详解】‎ ‎，，，‎ 故答案选C ‎【点睛】‎ 本题考查了双曲线的离心率，虚轴长，意在考查学生的计算能力.‎ ‎8．以双曲线右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程为（）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据题意，由双曲线的方程分析可得双曲线的右焦点坐标以及渐近线方程，再由点到直线的距离公式分析可得右焦点到渐近线的距离d，即可得要求圆的圆心和半径，由圆的标准方程分析可得答案．‎ ‎【详解】‎ 解：根据题意，双曲线，其焦点在x轴上，且，则c＝2，‎ 则双曲线的右焦点坐标为（2，0），渐近线方程为，即，‎ 则右焦点到渐近线的距离，则要求圆的圆心为（2，0），半径，‎ 则要求圆的方程为，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的几何性质以及圆的标准方程，关键是求出双曲线的焦点坐标以及渐近线方程．‎ ‎9．若双曲线与直线无交点，则离心率的取值范围（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题意，双曲线位于一、三象限的渐近线的斜率小于或等于，满足，由此结合双曲线基本量的平方关系和离心率的公式，化简整理即可得到该双曲线的离心率的取值范围．‎ ‎【详解】‎ ‎∵双曲线与直线无交点，‎ ‎∴双曲线的渐近线方程，满足 得，两边平方得，即，‎ ‎∴，得即，‎ ‎∵双曲线的离心率为大于1的正数，‎ ‎，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题给出双曲线与直线无交点，求双曲线离心率的取值范围，考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．‎ ‎10．抛物线的准线方程是，则的值是（ ）‎ A． B． C．4 D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先将抛物线方程化成标准方程，再由准线方程，得到的方程，解得即可．‎ ‎【详解】‎ 抛物线的标准方程为，其准线方程为，‎ 又抛物线准线方程为，得，解得.‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的方程和性质，注意化成抛物线的标准方程，属于基础题．‎ ‎11．两个正数a，b的等差中项是，等比中项是，且a＞b，则抛物线的焦点坐标为(　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】通过等差中项等比中项计算出，代入抛物线方程得到焦点坐标.‎ ‎【详解】‎ 由两个正数a，b的等差中项是，等比中项是，且a＞b 可得解得抛物线的方程为，‎ 故焦点坐标为.‎ 故答案选C ‎【点睛】‎ 本题考查了等差中项等比中项，焦点坐标，综合性强，意在考查学生的综合应用能力.‎ ‎12．过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，且，为坐标原点，则的面积与的面积之比为 A. B. C. D.2‎ ‎【答案】D ‎【解析】设点位于第一象限，点，并设直线的方程为，将该直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理得出，由抛物线的定义得出点的坐标，可得出点的纵坐标的值，最后得出的面积与 的面积之比为的值.‎ ‎【详解】‎ 设点位于第一象限，点，设直线的方程为，‎ 将该直线方程与抛物线方程联立，得，，‎ 由抛物线的定义得，得，，，，‎ 可得出，，故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的定义、直线与抛物线的综合问题，考查韦达定理在直线与抛物线综合问题中的应用，解题的关键在于利用抛物线的定义以及韦达定理求点的坐标，并将三角形的面积比转化为高之比来处理，考查运算求解能力，属于中等题。‎ 二、填空题 ‎13．设对任意的都有， ：存在，使，如果命题为真，命题为假，则实数的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分别求出命题为真命题的的范围，由为真，为假，可得一真一假，再由集合运算求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意：对于命题，对任意的，，即恒成立，‎ ‎△，得，即；‎ 对于命题，存在，使，‎ ‎△，得，解得或，‎ 即或．‎ 为真，为假，‎ ‎，一真一假，‎ ‎①真假时，，得；‎ ‎②假真时，，得．‎ 综上，，．‎ 故答案为：，．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查复合命题真假关系的应用，求出命题为真命题的的范围是解决本题的关键，是中档题．‎ ‎14．直线交椭圆于两点，线段中点坐标为，则直线的方程为_______‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】设出两点的坐标，利用点差法计算出直线的斜率，根据点斜式求得直线的方程.‎ ‎【详解】‎ 设，代入椭圆方程得，两式作差并化简得，即，由点斜式得，即.‎ 故填：.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查椭圆中有关弦的中点的问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.‎ ‎15．已知抛物线方程为y2＝－4x，直线l的方程为2x＋y－4＝0，在抛物线上有一动点A，点A到y轴的距离为m，到直线l的距离为n，则m＋n的最小值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先作出图形，根据题意可知抛物线上的动点到准线的距离等于该点到y轴的距离加1，由此可表示出|AH|+|AN|=m+n+1；根据抛物线的性质可得|AF|+|AH|=m+n+1，结合所有连线中直线最短的原理，可知当A，F，H三点共线时，m+n最短即可求出其最小值 ‎【详解】‎ 如图所示：‎ 如图，过点A作AH⊥l于H，AN垂直于抛物线的准线于N，则|AH|+|AN|=m+n+1，‎ 连接AF，则|AF|+|AH|=m+n+1，‎ 由平面几何知识，得当A，F，H三点共线时，|AF|+|AH|=m+n+1取得最小值，根据点到直线距离公式，求得|FH|=‎ 即m+n的最小值为 ‎【点睛】‎ 抛物线中涉及焦半径问题，需要结合抛物线性质：到焦点距离等于到准线距离进行转化，再结合几何关系进行求解 ‎16．已知，，且，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用数量积运算性质以及模的计算公式即可求出。‎ ‎【详解】‎ ‎，，且 ‎，解得，‎ ‎。‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了向量数量积的运算性质，模的计算公式，属于基础题。‎ 三、解答题 ‎17．已知命题“函数的定义域为R”；命题“，使得不等式成立”．若为真命题，为假命题，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】通过为真命题，为假命题，判断出的真假性；定义域为，被开方数恒大于等于零，分类考虑与的关系；将存在性问题转化为与最值之间的关系从而计算出的范围；综合考虑真假性，求解出的范围.‎ ‎【详解】‎ 依题意，和q一真一假，故p和q同真或同假，‎ 若p真，则或，‎ 解得．‎ 若q真，则，令，则，，‎ 所以的值域为，若命题q为真，则．‎ 若和q同真，则；‎ 若和q同假，或，‎ 故实数的取值范围为或．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查常用逻辑用语的综合应用，难度一般.存在性问题如：已知存在区间，有，则必有：；恒成立问题如：已知任意区间，有，则必有：.‎ ‎18．已知椭圆的焦点在轴上，短轴长为2，离心率为．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）直线：与椭圆相交于，两点，且弦中点横坐标为1，求值．‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）‎ ‎【解析】（1）利用椭圆的几何性质得到、，进一步求得椭圆的标准方程；‎ ‎（2）联立直线与椭圆方程，已知直线与椭圆交于两点，故，得到，即对的限定范围，再利用韦达定理与中点公式求得的值 ‎【详解】‎ 解：（1）椭圆的焦点在轴上，短轴长为2，离心率为，‎ 可得，解得，，所以椭圆方程为．‎ ‎（2）由，得，‎ ‎，得，‎ 设，，则，∴，得，符合题意．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用几何性质求椭圆的标准方程，根据直线与椭圆的关系求参数，求参数时需注意题目中根据位置关系所隐藏的对范围的限制条件，是对最终结果取舍的关键。‎ ‎19．已知椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)设直线l与椭圆C交于A,B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求面积的最大值.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意可得： ，则椭圆方程为．‎ ‎ (2)分类讨论：①当轴时，．‎ ‎②当与轴不垂直时，设处直线的方程，利用题意结合根与系数的关系讨论最值即可，综合两种情况可得.‎ 试题解析：‎ ‎（1）设椭圆的半焦距为，依题意 ‎，所求椭圆方程为．‎ ‎（2）设，．‎ ‎①当轴时，．‎ ‎②当与轴不垂直时，设直线的方程为．‎ 由已知，得．‎ 把代入椭圆方程，整理得 ，‎ ‎，‎ ‎ ．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 当且仅当，即时等号成立．‎ 当时，，综上所述．‎ 当时，取得最大值，面积也取得最大值．‎ ‎.‎ ‎20．：的圆心为，：的圆心为，一动圆与圆内切，与圆外切．‎ ‎（1）求动圆圆心的轨迹的方程；‎ ‎（2）直线过与（1）中所求轨迹交于、不同两点，点关于轴对称点为点，直线是否恒过定点，若过定点求出该点坐标，否则，说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）定点 ‎【解析】（1）设出圆心，根据题意写出等式，化简即可得出答案。‎ ‎（2）设直线为，，联立直线可得到，，，代入直线:，根据 ，，化简即可得出答案。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设，圆的半径为 ,由题意有 , ‎ 消 得到：，化简得 ‎（2）当直线斜率存在时，设直线为： ，， ‎ 令 联立椭圆，得 ，‎ 则 ，，‎ ‎ ‎ 所以直线为: ,又 ， ‎ 代入化简得，‎ 直线恒过定点。‎ 当直线斜率不存在时，直线为：，则，，点重合。‎ 综上所述直线恒过定点。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查轨迹方程，椭圆中直线过定点，一般圆锥曲线中关于直线过定点，都需要设出参数，利用参数表示出直线，再根据直线的性质说明直线过定点。属于难题。‎ ‎21．如图，己知抛物线，直线交抛物线于两点，是抛物线外一点，连接分别交地物线于点，且.‎ ‎（1）若，求点的轨迹方程.‎ ‎（2）若，且平行x轴，求面积.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）设，根据向量关系可用的坐标表示的坐标，利用在抛物线可得的坐标满足的方程，同理利用D在抛物线也可得的坐标满足的方程，联立直线方程和抛物线方程结合韦达定理可得的横坐标为2.也可以利用在抛物线上及得到，利用、的中点、的中点共线得到的横坐标为2.‎ ‎（2）根据（1）的相关结果可用表示的坐标、的坐标及中点的坐标，根据在抛物线上可得的值并求出的坐标，最后利用公式可求面积.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）解法1：，设，‎ 则，由可得 ‎，故，同理，‎ 故，代入抛物线得：，‎ 化简得：，‎ 同理得：，‎ 所以为方程的两根，‎ 又由，‎ 将代入且①，‎ 将代入①，得，故.‎ 故点P的轨迹方程为.‎ 解法2：同解法1知 ‎，‎ 设线段的中点分别为，易知三点共线，‎ ‎（为实数），所以.‎ 以下同解法1.‎ ‎（2）由为方程的两根，‎ 可得：.‎ 由（1）得，因为，所以，故.‎ 轴且在抛物线上，∴关于轴对称.‎ ‎，及，‎ 且.‎ ‎∵在抛物线上,，解得.‎ 设的中点为，则，‎ 所以，‎ 而.‎ ‎【点睛】‎ 直线与抛物线的位置关系中的一些长度、面积等计算问题，一般可通过联立直线方程和抛物线方程，消元得到关于或的一元二次方程，再把要计算的目标表示为关于两个交点的横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有或 ‎，最后利用韦达定理可求这个几何量，有时还可根据题设条件构建关于两个交点的横坐标或纵坐标的方程，再利用韦达定理化简目标关系式进而求出几何量的值.‎ ‎22．已知三棱锥中，为等腰直角三角形，，设点为中点，点为中点，点为上一点，且．‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2) ‎ ‎【解析】（1）连接交于点，连接，通过证，并说明平面，来证明平面 ‎（2）采用建系法以、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，分别表示出对应的点坐标，设平面的一个法向量为，结合直线对应的和法向量，利用向量夹角的余弦公式进行求解即可 ‎【详解】‎ 证明：如图，‎ 连接交于点，连接，点为的中点，点为的中点，‎ 点为的重心，则，，，‎ 又平面，平面，平面；‎ ‎，，，，‎ ‎，，可得，又，‎ 则以、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，‎ 则，，，， ‎ ‎，，．‎ 设平面的一个法向量为，由，‎ 取，得．设直线与平面所成角为，‎ 则．直线与平面所成角的正弦值为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线面平行的判定定理的使用，利用建系法来求解线面夹角问题，整体难度不大，本题中的线面夹角的正弦值公式使用广泛，需要识记