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- 2021-06-01 发布
2019届高三年级第七次月考数学（理科）试卷
命题：罗旭远
一、选择题
1.设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2.已知为虚数单位，复数，则以下为真命题的是（ ）
A.的共轭复数为 B.的虚部为
C. D.在复平面内对应的点在第一象限
3．设不为1的实数，，满足：，则 （ ）
A． B． C． D．
开始
i=1
输出S
结束
是
否
T=0
S=0
i=i+1
T=T+1
4.随机变量服从正态分布，，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
5．若抛物线的焦点与双曲线的
一个焦点重合，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
6、如右图是一个算法的程序框图，若该程序输出的
结果为，则判断框中应填入的条件是（ ）
A．4 B．5 C． 4 D．3
7、已知，且，则( )
A． B． C． D．
8．定义：若数列对任意的正整数n，都有为常数，则称
为“绝对和数列”，d叫做“绝对公和” ．已知“绝对和数列”中，，绝对公和为3，则其前2019项的和的最小值为（ ） A．-2019 B．-3010 C．-3025 D．-3027
9．已知函数，的最小值为，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，俯视图中的两条曲线均为圆弧，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C. D．
11、设O为坐标原点，点A（1，1），若点则取得最小值时，点B的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．无数
12．若函数恰有三个零点，则的取值范围为( D )
A． B．（） C． D．（）
二、填空题.
13. 如图所示，在一个边长为1的正方形内，曲线和曲线围成一个叶形图（阴影部分），向正方形内随机投一点（该点落在正方形内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是
第13题图
14.，则=
15、已知A、B是直线上任意两点，O是外一点，若上一点C满足，则的值是
16. 在三棱锥A-BCD中， ,若三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是__________
三、解答题
17.（本小题满分12分）在中，角,,所对的边分别是,,. 若，，的面积为36.
（1）求的值；
（2）若点分别在边,上，且，，求的长.
18. (本小题满分12分）“中国人均读书4.3本（包括网络文学和教科书），比韩国的11本、法国的20本、日本的40本、犹太人的64本少得多，是世界上人均读书最少的国家.”这个论断被各种媒体反复引用，出现这样的统计结果无疑是令人尴尬的，而且和其他国家相比，我国国民的阅读量如此之低，也和我国是传统的文明古国、礼仪之邦的地位不相符.某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天40名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段： ， ， ， ， ， 后得到如图所示的频率分布直方图.问：
（1）估计在40名读书者中年龄分布在的人数；
（2）求40名读书者年龄的平均数和中位数；
（3）若从年龄在的读书者中任取2名，求这
两名读书者年龄在的人数的分布列及数学期望.
18. (本小题满分12分）
如图所示，正方形与矩形所在平面互相垂直，,点E为的中点。
（Ⅰ）求证：
(Ⅱ) 设在线段AB上存在点，使二面角的大小为，求此时的长及点E到平面的距离。
20． （本小题满分12分）设点为抛物线外一点，过点作抛物线的两条切线，，切点分别为，．
P
A
B
O
x
y
(第20题)
（Ⅰ）若点为，求直线的方程；
（Ⅱ）若点为圆上的点，记两切线，的斜率分别为，，求的取值范围．
21. 已知函数.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）设，若关于的不等式在上有解，求的取值范围.
请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．
22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，点P是曲线上的动点，点Q在OP的延长线上，且，点Q的轨迹为．
（1）求直线l及曲线的极坐标方程；
（2）若射线与直线l交于点M，与曲线交于点（与原点不重合），求的最大值.
2019届高三年级第七次月考数学(理科)
答题卡
一、选择题（每小题5分，共60分）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5，共20分）
13、 14、
15、 16、
三、解答题（共70分）
17、（12分）
18、（12分）
19、（12分）
P
A
B
O
x
y
(第20题)
20、（12分）
21、（12分）
22□ 23□
2019届高三年级第七次月考数学（理科）试卷答案
1—12： BDDDA CACCC BD
13. 14. 40 15. -1 16.
所以
18.解：（1）由频率分布直方图知年龄在的频率为
所以40名读书者中年龄分布在的人数为.------2分
（2）40名读书者年龄的平均数为
（3）年龄在的读书者有人，
年龄在的读书者有，------7分
所以的所有可能取值是0,1,2，
，，，
的分布列如下：
0
1
2
------ 11分
数学期望.--------------12分
19、（Ⅰ）（II）由题意可得：,以点D为原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，
B ( 1,2,0 ),E(1,1,0),
设
设平面的法向量为
则 得
取是平面的一个法向量，而平面的一个法向量为 要使二面角的大小为
而
解得：，故=，此时
故点E到平面的距离为
20．解：（Ⅰ）设直线方程为，直线方程为.
由可得. 因为与抛物线相切，所以，取，则，.即. 同理可得.所以：. ………6分
（Ⅱ）设，则直线方程为，
直线方程为.由可得.因为直线与抛物线相切，所以.
同理可得,所以，时方程的两根.
所以，. 则 .
又因为，则，
所以
…12分
21.（1）由题意知，，
令，当时，恒成立，
∴当时，；当时，，
∴函数在上单调递增，在上单调递减.
（2）∵，∴，
由题意知，存在，使得成立.
即存在，使得成立，
令，
∴.
①时，，则，∴函数在上单调递减，
∴成立，解得，∴；
②当时，令，解得；令，解得，
∴函数在上单调递增，在上单调递减，
又，∴，解得，∴无解；
③当时，，则，∴函数在上单调递增，
∴，不符合题意，舍去；
综上所述，的取值范围为.