数学（理）卷·2017届天津市武清区杨村一中高三下学期第二次月考（2017 11页

杨村一中2016-2017高三年级第二学期第二次月考 数学（理）试卷 一．选择题（本题共8小题，每题5分，共40分）‎ ‎1．已知集合，，那么集合等于（ ）‎ A． B. C. D.‎ ‎2．在等比数列中，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.函数的零点个数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.下列命题中正确的是（ ）‎ A．若服从正态分布，且，则 B．命题：“”的否定是“”‎ C．直线与垂直的充要条件为 D．“若，则或”的逆否命题为“若或，则”‎ ‎5．某程序框图如图所示，若输出的，则判断框内为（ ） ‎ A． B． C． D． ‎ ‎6.已知函数，则下列结论正确的是（ ）‎ A．导函数为 B．函数的图象关于直线对称 C．函数在区间上是增函数 ‎ D．函数的图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到 ‎7.已知点P为双曲线右支上的一点，F1，F2为双曲线的左、右焦点，若（O为坐标原点），且△PF1F2的面积为（为双曲线的半焦距），则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．定义区间的长度为（），函数的定义域与值域都是，则区间取最大长度时实数的值为（ ）‎ A． B．-3 C．1 D．3‎ 二.填空题（本题共6小题，每题5分，共30分）‎ ‎9.已知是虚数单位，是实数，若是纯虚数，则 .‎ ‎10. 如图， 一个几何体的正视图是长为3，宽为1的矩形，侧视图是腰 ‎ 长为2的等腰三角形，则该几何体的表面积为 .‎ ‎11．曲线与曲线的位置关系是 .‎ ‎12.已知实数，满足，（）的最大值为，则实数 ．‎ ‎13．若点是的外心，且,，则实数为 .‎ ‎14.现定义一种运算“”：对任意实数，，设，若函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是 ． ‎ 三．解答题 ‎15.（13分）在中，分别为边所对的角，且．‎ ‎（I）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若，求的面积的最大值．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎16.（13分）上购物逐步走进大学生活,某大学学生宿舍4人积极参加购,大家约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪家购物,掷出点数为5或6的人去淘宝购物,掷出点数小于5的人去京东商城购物,且参加者必须从淘宝和京东商城选择一家购物.‎ ‎（I）求这4个人中恰有1人去淘宝购物的概率；‎ ‎（Ⅱ）用分别表示这4个人中去淘宝和京东商城购物的人数,记,求随机变量的分布列与数学期望.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎17．（ 13分）如图，已知平面，平面，为等边三角形，，为中点．‎ ‎（I）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值． ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎18.(13分)已知首项为的等比数列的前项和为，且成等差数列．‎ ‎（I）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）证明：．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎19.(14分)在平面直角坐标系中，动点到点的距离与它到直线的距离之比为．‎ ‎（I）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线与曲线交于两点，与轴、轴分别交于两点（且在之间或同时在之外）．问：是否存在定值，对于满足条件的任意实数，都有的面积与的面积相等，若存在，求的值；若不存在，说明理由．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎20.（14分）已知函数．‎ ‎（I）当时，求函数零点的个数；‎ ‎（Ⅱ）当时，求证：函数有且只有一个极值点；‎ ‎（Ⅲ）当时，总有成立，求实数的取值范围．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 杨村一中2016-2017高三年级第二学期第二次月考 数学（理）答案 一选择题（每小题5分，共40）‎ ‎1.D 2.B 3.C 4.C 5.A 6.C 7.A 8.D ‎ 二填空题（每小题5分，共30分）‎ ‎9. 10. 11. 相交 12. 13.-1 14.‎ ‎15.⑴‎ ‎ ……………………6分 ‎⑵ 由 由余弦定理得: 即 ‎ , ……………………13分 ‎ 当且仅当时，取得最大值，所以当时，的面积的最大值为．‎ ‎16.解：（1）这4个人中恰有1人去淘宝购物的概率.………4分 ‎（2）易知的所有可能取值为0,3,4.‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎. ………10分 所以的分布列是 ‎ ‎ 随机变量ξ的数学期望． ………13分 ‎17．（1）取中点，连接 ‎ ，且，平行四边形，，又平面，平面，平面 ……………………4分 ‎ （2）连接，为中点，‎ 又 ‎，又平面，又 平面，平面平面 …………………8分 ‎（3）取中点，连接，由（2）知平面，平面，连接，是直线与平面所成的角 在中，‎ ‎，‎ 即直线与平面所成角的正弦值为. ………………13分 ‎18. 解：（1）设等比数列的公比为.因为成等差数列，所以，即，可得，于是.又，所以等比数列的通项公式为. ………5分 ‎（2）易知，‎ 则. ………9分 当n为奇数时，随n的增大而减小，所以.‎ 当n为偶数时，随n的增大而减小，所以.‎ 故对于，有. ………13分 ‎19. 解析：（1）设，则，整理得，‎ ‎∴轨迹的方程为 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 ‎（2）联立消去得，‎ ‎，由得,‎ 设，则, ．．．．．．．．．9分 由题意，不妨设,‎ 的面积与的面积总相等恒成立线段的中点与线段的中点重合.‎ ‎∴，解得， ．．．．．．．．．12分 即存在定值，对于满足条件，且（据（）的任意实数，‎ 都有的面积与的面积相等 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分 ‎20.解析：（1）当时，，令，得，‎ ‎∴函数在区间上单调递增，在上单调递减．．．．2分 ‎∵，‎ ‎∴函数在区间内有且只有一个零点；‎ 又当时，恒成立，‎ ‎∴函数在区间内没有零点．‎ 综上可知，当时，函数有且只 有1个零点 ．．．．．．．． 4分。‎ ‎（2）证明：∵，‎ ‎∴，令，‎ ‎∵，函数在区间上单调递减.‎ ‎,,使得，‎ 当时，，即在区间单调递增；‎ 当时，，即在区间单调递减，是函数在区间内的极大值点，即当时，函数有且只有一个极值点. ．．．．．．．．．．8分 ‎（3）∵当时，总有成立，‎ 即当时，总有成立，‎ 也就是函数在区间上单调递增 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分[]‎ 由可得在区间恒成立，‎ 即在区间恒成立 ．．．．．．．．．．．．．．．．11分 设，则，‎ 令，则，‎ ‎∴当时，，函数在区间上单调递减；‎ 当时，，函数在区间上单调递增；‎ ‎∴，‎ ‎∴所求的取值范围是 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分