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- 2021-05-31 发布
第4节 曲线与方程
题型123 求动点的轨迹方程
1.（2013辽宁理20）如图，抛物线.点在抛物线上，过作的切线，切点为（为原点时，重合于）.当时，切线的斜率为.
（1）求的值；
（2）当在上运动时，求线段中点的轨迹方程（重合于时，中点为）.
2.（2014 湖北理 21）（满分14分）在平面直角坐标系中，点到点的距离比它到轴的距离多，记点的轨迹为.
（1）求轨迹为的方程；
（2）设斜率为的直线过定点.求直线与轨迹恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时的相应取值范围.
3.（2014 广东理 20） （14分）已知椭圆的一个焦点为，离心率为，
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程.
4.（2016四川理15）在平面直角坐标系中，当不是原点时，定义的“伴随点”为，当是原点时，定义“伴随点”为它自身，现有下列命题：
①若点的“伴随点”是点，则点的“伴随点”是点.
②单元圆上的“伴随点”还在单位圆上.
③若两点关于轴对称，则他们的“伴随点”关于轴对称.
④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线.
其中的真命题是 .
4.②③ 解析 对于①，若令则其伴随点为，而的伴随点为，而不是，故错误；
对于②，令单位圆上点的坐标为，其伴随点为仍在单位圆上，故②正确；
对于③，设曲线关于轴对称，则对曲线表示同一曲线，其伴随曲线分别为与也表示同一曲线，又因为其伴随曲线分别为
与的图像关于轴对称，所以③正确；对于④，直线上取点得，其伴随点消参后轨迹是圆，故④错误.所以正确的序号为②③.
5.（2016全国乙理20（1））设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于，两点，过作的平行线交于点.
（1）证明为定值，并写出点的轨迹方程.
5.解析 (1)如图所示，圆的圆心为，半径，
因为，所以.又因为，所以，
于是 ，所以.故为定值.
又，点的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆，
由，，得.故点的轨迹的方程为.
6.（2016全国丙卷20）已知抛物线的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于，两点，交的准线于，两点.
（1）若在线段上，是的中点，证明；
（2）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.
6.解析 (1)连接，，由，及，得，所以.因为是中点，，所以，所以， ，又，
所以，所以（等角的余角相等），所以.
(2)设，，准线为，，设直线与轴交点为，，因为，所以，得，即．
设中点为，
由，得，即.
又，所以，即．
易知当直线不存在时，点也满足此方程，
所以中点轨迹方程为.
7.（2017全国2卷理科20（1））设为坐标原点，动点在椭圆上，过作轴的垂线，垂足为，点满足.
（1）求点的轨迹方程；
7．解析 （1）设点，易知，，又，
所以点.又在椭圆上，所以，即．