2018-2019学年福建省八县（市）一中高二上学期期末考试数学试题（解析版） 16页

2018-2019 学年福建省八县（市）一中高二上学期期末考试数 学试题 一、单选题 1．命题“存在 ， 0”的否定是（ ） A．不存在 , ＞0 B．存在 , ≥0 C．对任意的 , ≤0 D．对任意的 , ＞0 【答案】D 【解析】试题分析：由题意得，根据全称命题与存在性命题的互为否定关系，可知命题 “存在 ， ”的否定是“对任意的 ， ”，故选 C. 【考点】全称命题与存在性命题的关系. 2．在空间直角坐标系中点 关于平面 对称点 的坐标是（ ） A．（1，﹣5，6） B．（1，5，﹣6） C．（﹣1，﹣5，6） D．（﹣1，5，﹣6） 【答案】B 【解析】在空间直角坐标系中，点 P（a，b，c）关于平面 xOy 对称点 Q 的坐标是（a， b，﹣c）． 【详解】 在空间直角坐标系中， 点 P（1，5，6）关于平面 xOy 对称点 Q 的坐标是（1，5，﹣6）． 故选：B． 【点睛】 题考查空间中点的坐标的求法，考查空间直角坐标系的性质等基础知识，考查运算求解 能力，是基础题． 3．已知 ，则“ ”是“ ”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】先由 判断是否能推出 ，再由 判断是否能推出 ，即可 得出结果. 【详解】 已知 充分性： 若 因为 ，所以 ,所以 ,所以 ； 必要性： 若 ，则当 时， ，所以必要性不成立； 因此“ ”是“ ”的充分不必要条件. 【点睛】 本题主要考查充分条件和必要条件，属于基础题型. 4．中心在原点，焦点在 轴上的双曲线的一条渐近线经过点 ，则它的离心率为( ) A． B．2 C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知，此双曲线的渐近线方程为 ，则渐近线 过点 ，即 ， ，所以 .故选 A. 5．若 满足约束条件 ，则 的取值范围为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由不等式组作出平面区域，将求 的范围即转化为直线 在 轴截距的 取值范围问题，结合图像即可求解. 【详解】 根据不等式组 ，作出平面区域如图： 化目标函数 为 ,则 的范围即转化为直线 在 轴截距的取值范 围问题，由图像可得当直线 过点 时，截距最小为 1，当直线 过点 ，截距最大为 6，所以 的取值范围为 . 【点睛】 本题主要考查简单的线性规划问题，属于基础题型. 6．平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，若 ,则| ( ) A． ,z=1 B． ,z=1 C． D． 【答案】D 【解析】根据向量的运算法则，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中。用 ， ， ，表示 出 ，即可求出结果. 【详解】 因为在在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中， , 所以 ,因此 . 【点睛】 本题主要考查向量的运算法则，属于基础题型. 7．过 的直线 与抛物线 相交于 C,D 两点，若 A 为 CD 中点，则直线 的方程 是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】先设 C,D 两点坐标，由抛物线方程可表示出直线斜率，再由 A 点坐标可求出直 线斜率，进而可求出直线方程. 【详解】 设 ， 由题意可得 ，作差得 ，整理得： ； 因为 为 CD 中点，所以直线 的斜率 ， 所以直线 的方程是 ， 整理得 . 【点睛】 本题主要考查曲线中点弦的问题，属于基础题型. 8．在长方体 中， ， 则异面直线 与 所成角的余弦值为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】建立空间直角坐标系，求出直线 与 的方向向量，由向量的夹角公式即可 求出结果. 【详解】 以 D 点为坐标原点，建立如图所示的坐标系，由题意可得 ， ， , ，所以 , , 设异面直线 与 所成的角为 ，则 与向量 和 的夹角相等或互补， 所以 . 【点睛】 本题主要考查空间向量的方法求异面直线所成的角，属于基础题型. 9．若椭圆上存在三点，使得这三点与椭圆中心恰好是一个正方形的四个顶点，则该椭 圆的离心率为( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】先设椭圆方程，再由椭圆和正方形的对称性得出顶点坐标，代入椭圆方程即可 求解. 【详解】 设椭圆方程为 ,由正方形和椭圆的对称性可得：正方形的四个顶点坐 标分别为 ,将 A 点坐标代入椭圆方程得： , 所以 故离心率为 . 【点睛】 本题主要考查椭圆的简单性质，属于常考题型. 10．设 为平面， 为直线，则下面一定能得到 的是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由线面垂直的判定定理即可得出结论. 【详解】 A.因为 ,所以 ,而 ， 并不垂直 内所有直线，所以 和 可能不垂 直，故 A 错； B. 只垂直 内一条直线，所以不能推出 ，故 B 错； C.因为 ，所以 ，又 所以 ，故 C 正确； D. 由 ，不能推出 ，所以由 不能推出 ，故 D 错. 【点睛】 本题主要考查线面垂直的判定定理，属于基础题型. 11．若点 O 和点 F 分别为椭圆 的中心和焦点，点 P 为椭圆上的任意一点，则 的最小值为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由椭圆的参数方程先设点 P 坐标，再由向量数量积的坐标运算表示出 ， 即可求出结果. 【详解】 因为点 P 为椭圆上的任意一点，所以设点 P 坐标为 ，又点 F 为椭圆 的 焦 点 ， 不 妨 令 , 所 以 ， ， 所 以 ，当且仅当 时， 取 最小值 . 【点睛】 本题主要考查向量数量积的坐标运算，属于常考题型. 12 ． 用 ［ x ］ 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 ， 如 , ， 数 列 满 足 , ( ),若 ，则 的所有可能取值构成的集 合为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】先由裂项相消法求出 ，根据题意判断 的范围，再根据 前几项的值，即可 求出结果. 【详解】 对 两边取到数，整理得 ； 所 以 由 得 ，即数列 为增函数， 因为 ，所以 ； 因此 ，其整数部分为 0； ，其整数部分为 1； 故 的所有可能取值构成的集合为 . 【点睛】 本题主要考查数列的应用，难度较大. 二、填空题 13．已知 , ,则 =_________ 。 【答案】-2 【解析】由空间向量的数量积运算公式即可求出结果. 【详解】 因为 , ，所以 . 【点睛】 本题主要考查向量的数量积，属于基础题型. 14．命题 ，若 p 是真命题，则实数 的取值范围为____ 【答案】 【解析】用分类讨论的思想，讨论 和 两种情况，结合对应方程的根即可求出结 果. 【详解】 当 时，原不等式可化为 ，显然恒成立，故 满足题意； 当 时，由 恒成立可得： ，解得 ; 综上，实数 的取值范围为 . 【点睛】 本题主要考查不等式恒成立问题，属于常考题型. 15．已知直线 与抛物线 相交于 两点，F 为抛物线 C 的焦点．若 ，则 k＝____________________ 【答案】 【解析】联立直线与抛物线方程，再由根与系数关系结合抛物线定义和 ， 列出方程组，即可求出结果. 【详解】 由题意，设 ，由抛物线定义可得 , ， 因为 ,所以 ，即 ①； 联立 ,整理得 , 所以 ,故 , 又 ,由①②③解得 满足题意. 【点睛】 本题主要考查直线与抛物线的应用，属于中档题型. 16．已知 ， 是双曲线 C: 的左、右焦点，A 是 C 的左顶点，点 P 在过 A 且 斜率为 k 的直线上， 为等腰三角形， ，若 C 的离心率 则 k 的取值范围是__________________。 【答案】 【解析】先由 推出点 P 坐标，再由点 P 在过 A 且斜率为 k 的直线上，根据 斜率公式可表示出 k,结合离心率 即可求出 k 的范围. 【详解】 由题意可得 ， , ; 因为 为等腰三角形， ，可得 或 ， 所以 ， 又 ，所以 ，故 所以 ，因此 . 【点睛】 本题主要考查双曲线的简单性质，属于中档试题. 三、解答题 17．已知命题 ：方程 表示焦点在 轴上的椭圆；命题 ：方程 表示 离心率 的双曲线。 （1）若命题 为真命题，求实数 的取值范围 （2）若 为真命题且 为假命题，求实数 的取值范围。 【答案】（1） 或 ； （2） 或 或 . 【解析】(1)由方程 表示焦点在 轴上的椭圆，结合椭圆的标准方程即可求 出结果; (2)先设命题 为真命题，求出对应 m 的范围，再由若 为真命题且 为假命题推 出 p 真 q 假或 p 假 q 真，结合(1)中结果，即可求解. 【详解】 （I）方程 可改写为 若命题 为真命题，则 ， 所以 或 . （II）若命题 q 为真命题，则 ，所以命题 q 为真命题时 , 为真命题且 为假命题 p 真 q 假或 p 假 q 真 或 , 或 或 。 【点睛】 本题主要考查根据复合命题的真假来求参数的范围，属于基础题型. 18． 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 （1）求 A； （2）若 A 为锐角， ， 的面积为 ，求 的周长． 【答案】（1） 或 ； （2） . 【解析】(1)由正弦定理将边化为对应角的正弦值，即可求出结果； (2)由余弦定理和三角形的面积公式联立，即可求出结果. 【详解】 （I） 由正弦定理得 ， 4 分，即 又 ， 或 。 （II） ，由余弦定理得 ， 即 ， 而 的面积为 。 的周长为 5+ 。 【点睛】 本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，属于基础题型. 19．已知数列 是首项为 b1=1，公差 d=3 的等差数列， （n∈N）． (1)求证: 是等比数列； (2)若数列 满足 ，求数列 的前 n 项和 Sn。 【答案】（1）见解析； （2） . 【解析】(1)直接根据等比数列的定义证明即可； (2)先由(1)得到 ，再由错位相减法即可求出数列 的前 n 项和. 【详解】 (1) (常数)， 是等比数列。 (2) 8 分 （1）-（2）得 。 【点睛】 本题主要考查等比数列的定义和数列的求和，属于基础题型. 20．已知顶点为原点，焦点 F 在 轴上的抛物线 过点 A（m,2），且 . （1）求抛物线 的标准方程及点 A 的坐标； （2）过点 F 的直线 交抛物线 于 M、N 两点，试求 的最小值。 【答案】（1） ； （2） . 【解析】(1)由题意先设抛物线方程为 ，再由 即可得到关于 p 的方程， 解之即可得到 p,从而可得所求结果; (2)由题意先设直线 的方程为 ，联立直线与抛物线方程，由根与系数关系以及基 本不等式即可求出结果. 【详解】 （1）设抛物线 的方程为 抛物线 的方程为 （2）由于直线 的斜率存在，所以可设直线 的方程为 联立 消去 y 得 ， ，设 ， 那么 ， = ， ， 当且仅当 时 取得最小值 。 【点睛】 本题主要考查抛物线的方程和抛物线的简单几何性质，属于中档试题. 21．如图，三棱柱 中，底面 与三角形 均为等边三角形， ， ． （1）证明：平面 ； （2）求 与平面 所成角的正弦值． 【答案】（1）见解析； （2） . 【解析】(1)根据面面垂直的判定定理结合题中条件即可得出结论; (2)由(1)可得 两两垂直，然后以 O 为原点， 方向作为 x,y,z 轴的正方 向，建立空间直角坐标系，由空间向量的方法来求线面角的正弦值即可. 【详解】 （Ⅰ）取 中点 O，由于底面 与三角形 均为等边三角形，∴ ∴ ， ， 在三角形 中 , ∴ ，∴ ∴ 又 ∴ ,而 ∴平面 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 两两垂直，取 O 为原点， 方向作为 x,y,z 轴的正 方向， 建立空间直角坐标系 O-xyz. 则 ， ∴ ． 设平面 的法向量 ， 由 得 令 ，得 ． ∴平面 的一个法向量为 ． ∵ ， ∴ ， ∴ 与平面 所成角的正弦值为 ． 【点睛】 本题主要考查面面垂直的判定定理和直线与平面所成的角，属于常考题型. 22．设圆 的圆心为 A，直线 过点 B（1,0）且与 x 轴不重合，设 P 为圆 A 上一点，线段 PB 的垂直平分线交直线 PA 于 E （1）证明 为定值，并写出 E 的轨迹方程； （2）设点 M 的轨迹为曲线 C1，直线 交 C1 于 M,N 两点，问：在 轴上是否存在定点 D 使直线 DM 与 DN 的倾斜角互补，若存在求出 D 点的坐标，否则说明理由。 【答案】（1） ； （2）存在 使直线 DM 与 DN 的倾斜角互补. 【解析】(1)由椭圆的定义可判断出点 E 的轨迹，进而可求出轨迹方程； (2)先由题意设直线 方程为 ，与椭圆方程联立，由根与系数关系，以及直线 DM 与 DN 的倾斜角互补，即可求出结果. 【详解】 （I）∵E 为线段 PB 的垂直平分线上一点，∴ ∴ > ∴点 E 的轨迹是以 A,B 为焦点的椭圆，2a=4.c=1, ∴ E 的轨迹方程 。 （II）由于直线 过点 B（1,0）且与 x 轴不重合，所以可设 方程为 联立 消去 x 得 ， 设 ， 则 令 ,若直线 DM 与 DN 的倾斜角互补，则 , ∴ ∴ 10 分 即 ∴ ∴ ∴ ∴ 所以存在 使直线 DM 与 DN 的倾斜角互补. 【点睛】 本题主要考查椭圆的方程以及椭圆的几何性质，属于中档试题.