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- 2021-05-31 发布
数学（文）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.双曲线的实轴长是（ ）
A．2 B． C． D．8
2.在公差为的等差数列中，“”是“是递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3.为了了解800名高三学生是否喜欢背诵诗词，从中抽取一个容量为20的样本，若采用系统抽样，则分段的间隔为（ ）
A．50 B．60 C．30 D．40
4.已知抛物线经过点，则它的准线方程为（ ）
A． B． C. D．
5.从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如下，则这100个成绩的平均数为（ ）
A．3 B．2.5 C.3.5 D．2.75
6.某单位有员工120人，其中女员工有72人，为做某项调查，拟采用分层抽样法抽取容量为15的样本，则男员工应选取的人数是（ ）
A．5 B．6 C.7 D．8
7.已知椭圆的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，则该椭圆的方程是（ ）
A． B． C. D．
8.在区间上任取一个数，则函数的值不小于0的概率为（ ）
A． B． C. D．
9.某班名学生在一次考试中数学成绩的频率分布直方图如图，若在这名学生中，数学成绩不低于100分的人数为33，则等于（ ）
A．45 B．48 C.50 D．55
10.函数在上的最小值为（ ）
A．-2 B．0 C. D．1
11.已知命题：直线与直线之间的距离不大于1，命题：椭圆与双曲线有相同的焦点，则下列命题为真命题的是（ ）
A． B． C. D．
12.如图，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线分别交于点，若为等边三角形，则双曲线的渐近线的斜率为（ ）
A． B． C. D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则 ．
14.已知函数，则的极大值为 ．
15.在区间上任取一个数，则函数的值不小于0的概率为 ．
16.已知点，抛物线的焦点为，射线与抛物线和它的准线分别交于点和，则 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. （本小题满分12分）
在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.
（1）写出直线的普通方程及圆的直角坐标方程；
（2）点是直线上的点，求点的坐标，使到圆心的距离最小.
18. （本小题满分12分）
已知：方程有两个不等的正根；：方程表示焦点在轴上的双曲线.
（1）若为真命题，求实数的取值范围；
（2）若“或”为真，“且”为假，求实数的取值范围.
19. （本小题满分12分）
某公司经营一批进价为每件4百元的商品，在市场调查时发现，此商品的销售单价（百元）与日销售量（件）之间有如下关系：
（1）求关于的回归直线方程；
（2）借助回归直线方程请你预测，销售单价为多少百元（精确到个位数）时，日利润最大？
相关公式：，.
20. （本小题满分12分）
如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名同学的投篮命中次数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中用表示.
（1）若乙组同学投篮命中次数的平均数比甲组同学的平均数少1，求及乙组同学投篮命中次数的方差；
（2）在（1）的条件下，分别从甲、乙两组投篮命中次数低于10次的同学中，各随机选取一名，求这两名同学的投篮命中次数之和为16的概率.
21. （本小题满分12分）
已知椭圆：，点.
（1）设是椭圆上任意的一点，是点关于坐标原点的对称点，记，求的取值范围；
（2）已知点，，是椭圆上在第一象限内的点，记为经过原点与点的直线，为截直线所得的线段长，试将表示成直线的斜率的函数.
22. （本小题满分12分）
已知函数，其中.
（1）当时，求曲线的点处的切线方程；
（2）当时，若函数在区间上的最小值为-4，求的取值范围.
试卷答案
一、选择题
1. 因为，所以，则实轴长.
2. 若，则，，所以，是递增数列；若是递增数列，则，，推不出.
3. 由于，即分段的间隔.
4. 把点的坐标代入抛物线的方程得，解得，所以它的准线方程为.
5. 设这100个成绩的平均数记为，则.
6. 男员工应抽取的人数为.
7. 设焦距为，则有，解得，所以椭圆.
8. 当时，.当，即时，则所求概率为.
9. ，由，得.
10. ，函数是在上的增函数，即.
11. 对于命题，直线与直线的距离，所以命题为假命题，于是为真命题；
对于命题，椭圆与双曲线有相同的焦点，故为真命题，
从而为真命题.
12. 由已知，，又为等边三角形，所以
，所以.在中，，，，，由余弦定理得，所以，
，所以.
二、填空题
13.3 由已知，，则，所以，解得.
14. 因为，所以.
由，得；由，得或.
因此，的极大值为.
15. 当时，.当，即时，则所求概率为.
16. 如图所示，由抛物线定义知，
所以.
由于，则，
则，即.
三、解答题
17.解：（1）由消去参数，得直线的普通方程为，
由得，，即圆的直角坐标方程为.
（2），，，
时最小，此时.
18.解：（1）由已知方程表示焦点在轴上的双曲线，
所以，解得，即.
（2）若方程有两个不等的正根，
则解得，即.
当为假，为真时，，解得.
综上，或.
19.解：（1）因为，，
所以，，
，
于是得到关于的回归直线方程.
（2）销售价为时的利润为，
当时，日利润最大.
20.（1）解：依题意得：，解得，，
.
（2）记甲组投篮命中次数低于10次的同学为，他们的命中次数分别为9，8，7.
乙组投篮命中次数低于10次的同学为，他们的命中次数分别为6，8，8，9.
依题意，不同的选取方法有：
共12种.
设“这两名同学的投篮命中次数之和为16”为事件，则中恰含有共3种.
.
21.解：（1）设，则，
所以，又，
所以，又，所以.
（2）因为是椭圆上在第一象限内的点，则的斜率，且.
当时，截直线所得的线段的两个端点分别是直线与直线的交点，由已知，，
联立解得，联立解得，
于是；
当时，截直线所得的线段的两个端点分别是直线与直线
的交点，由已知，
联立解得，
于是.
综上所述，.
22.解：（1）当时，，
，，.
切线方程为，即.
（2）函数的定义域为，
当时，，
令得或，
①当，即时，在上递增，
在上的最小值为，符合题意；
②当，即时，在上递减，在上递增，
在上最小值为，不合题意；
③当，即时，在上递减，
在上最小值为，不合题意.
综上，的取值范围是.