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- 2021-05-31 发布
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一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.命题“对任意，都有”的否定为（ ）
A．对任意，都有 B．不存在，使得
C．存在使得 D．存在使得
【答案】C
考点：全称命题与存在性命题的关系.
2.命题“若，则”的逆否命题是（ ）
A．若，则或 B．若，则
C．若或，则 D．若或，则
【答案】D
【解析】
试题分析：由题意得，根据逆否命题的概念，可得命题“若，则”的逆否命题是“若或，则”，故选D．
考点：四种命题.
3.已知条件，条件，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
试题分析：由题意得，当，可得，即成立，而，如时，不成立，所以是的必要不充分条件，故选B.
考点：充要条件的判定.
4.抛物线的准线方程是（ ）
A． B． C. D．
【答案】D
考点：抛物线的几何性质.
5.已知命题若，则；命题若，则.在命题①；②；
③；④中真命题的序号是（ ）
A．①③ B．①④ C. ②③ D．②④
【答案】C
【解析】
试题分析：由题意得，根据不等式的性质可知命题若，则是正确的；命题若，则为假命题，所以和是真命题，故选C.
考点：复合命题的真假判定.
6.已知为双曲线的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为（ ）
A． B． C. 3
D．
【答案】A
【解析】
试题分析：由题意得，双曲线的方程可化为，则，一条渐近线的方程为
，所以焦点到渐近线的距离为，故选A.
考点：双曲线的几何性质.
【方法点晴】本题主要考查了双曲线的几何性质，其中解答中涉及到双曲线的标准方程、焦点坐标、双曲线的渐近线的方程，以及点到直线的距离公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中根据双曲线的标准方程，正确求解焦点坐标和渐近线方程是解得关键，属于基础题.
7.过点且与有相同渐近线的双曲线方程是（ ）
A． B． C. D．
【答案】A
考点：双曲线的标准方程.
8.已知椭圆的离心率，则的值为（ ）
A．3 B．或 C. D．或3
【答案】D
【解析】
试题分析：当时，，解得，当时，，解得，故选D.
考点：椭圆的几何性质.
9.若曲线在点处的切线方程是，则（ ）
A．， B．，
C. ， D．，
【答案】A
考点：曲线在某点处的切线方程.
10.在同一坐标系中，方程与的曲线大致是（ ）
A． B． C. D．
【答案】A
【解析】
试题分析：因为，所以椭圆的焦点在轴上，可排除C和D选项，整理抛物线的方程得，因为，所以，所以抛物线的开口向左，焦点在轴上，故选A.
考点：曲线与方程.
11.已知为抛物线上一个动点，为圆上一个动点，那么点到点的
距离与点到抛物线的准线距离之和的最小值是（ ）
A． B． C. D．
【答案】C
【解析】
考点：抛物线的应用.
【方法点晴】本题主要考查了抛物线的应用，其中解答中涉及到抛物线的标准方程及其简单的几何性质、抛物线的定义、及三点共线的应用等知识但的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，同时考查了学生的转化与化归思想、数形结合数学思想的应用，试题基础性强，属于中档试题.
12.已知为双曲线的左、右顶点，点在上，为等腰三角形，且顶角为，
则的离心率为（ ）
A． B．2 C. D．
【答案】D
【解析】
试题分析：设双曲线的方程为，如图所示，,过点作轴，垂足为，则，在中，，即有，所以点的坐标为，代入双曲线的方程得，即为，即，所以，故选D.
考点：双曲线的几何性质.
【方法点晴】本题主要考查了双曲线的几何性质，其中解答中涉及到双曲线的标准方程、双曲线的离心率的公式、等腰三角形的性质等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及学生的推理与运算能力，本题的解答中把点的坐标代入双曲线的方程，求得的关系式是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题.
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）
13.点是点在轴上的射影，则点到原点的距离为________.
【答案】
考点：空间直角坐标系.
14.已知双曲线的渐近线方程为，则此双曲线的离心率为_____________.
【答案】或
【解析】
试题分析：由题意得，双曲线的渐近线方程为，当双曲线的焦点在轴上时，此时，所以，当双曲线的焦点在轴上时，此时，所以.
考点：双曲线的几何性质.
15.椭圆和双曲线共同焦点为，若是两曲线的一个交点，则
的值为_________________.
【答案】
【解析】
试题分析：由椭圆和双曲线共同焦点，联立椭圆方程和双曲线的方程可得第一象限的点，则，所以
.
考点：椭圆与双曲线的几何性质.
【方法点晴】本题主要考查了椭圆与双曲线的几何性质问题，其中解答中涉及到向量坐标表示、向量的数量积的坐标运算、椭圆与双曲线的标准方程等知识点的综合考查，着重考查了学生的推理与运算能力，试题有一定的难度，属于中档试题，本题的解答中联立方程组，求得点的坐标是解答问题的关键.
16.以下四个关于圆锥曲线的命题中
①设为两个定点，为非零常数，，则动点的轨迹为双曲线；
②方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
③设定圆上一定点作圆的动点弦，为坐标原点，若，则动点的轨迹为
椭圆；
④过点作直线，使它与抛物线仅有一个公共点，这样的直线有3条；
其中真命题的序号为_________________.（写出所有真命题的序号）
【答案】②④
【解析】
试题分析：根据双曲线的定义，设为两个定义，为非零常数，当时，则动点的轨迹为双曲线，所以①不正确；解方程可得两根，因此可以作为椭圆的离心率，可以作为双曲线的离心率，因此方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率，所以②是正确的；过定圆上一定点作圆的动弦为坐标原点，若，可得点为弦的中点，由垂径定理可得，因此动点的轨迹为圆，所以③不正确；④中，当直线的斜率不存在时，直线的方程为与抛物线的方程联立求解，此时直线与抛物线只有一个交点，当直线的斜率存在时，设直线方程，与抛物线方程联立得，当时，代入抛物线求得，此时直线与抛物线有一个交点，当，要使直线与抛物线只有一个交点需，求得，综合可知要使直线与抛物线仅有一个公共点，所以这样的直线共有条，所以是正确的，故选②④.
考点：命题的真假判定.
【方法点晴】本题主要考查了命题的真假判定问题，其中解答中涉及到双曲线的定义、向量的运算、椭圆与双曲线的几何性质、轨迹方程的判断、直线与抛物线的位置关系等知识点的综合考查.着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及分类讨论的数学思想的应用，其中认真审题、自习解答是解答的关键，属于中档试题.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分10分）
已知命题“，”，命题“，”
.若命题“”
是真命题，求实数的取值范围.
【答案】或．
考点：复合命题的真假判定及应用.
18.（本小题满分12分）
双曲线与椭圆有相同焦点，且经过点.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）求双曲线的离心率及渐近线方程.
【答案】（1）；（2）．
【解析】
试题分析：（1）由题意知双曲线焦点为，设出双曲线的方程，代入点的坐标，即可求解双曲线的标准方程；（2）由（1）得，，根据离心率的公式和渐近线方程形式，即可求解双曲线的离心率及渐近线方程.
考点：双曲线的标准方程及其简单的几何性质.
19.（本小题满分12分）
已知椭圆及.
（1）当为何值时，直线与椭圆有公共点？
（2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线方程.
【答案】（1）；（2）．
【解析】
试题分析：（1）把直线代入得，由，即可求解实数的取值范围；（2）设直线与椭圆交于两点，，从而可求得的值，得到直线的方程.
试题解析：（1）把直线代入得
，①………………1分
∴，
.………………2分
考点：直线与圆锥曲线的位置及其综合应用.
20.（本小题满分12分）
如图，正三棱柱中，，，为的中点，为边上的动点.
（1）当点为的中点时，证明平面；
（2）若，求三棱锥的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】
试题分析：（1）连结，在中根据中位线，得，结合线面平行的判定定理，得平面；（2）过点作于，结合，且
，得三棱锥的高，结合的面积和锥体的体积公式，即可求得三棱锥的体积.
（2）由，得.………………7分
过点作于，
则，且.∵平面，
∴平面，………………9分
又∵，∴.………………10分
∴.………………12分
考点：直线与平面平行的判定；几何体的体积的计算.
21.（本小题满分12分）
已知抛物线过点，且焦点为，直线与抛物线相交于两点.
（1）求抛物线的方程，并求其准线方程；
（2）若直线经过抛物线的焦点，当线段的长等于5时，求直线方程.
（3）若，证明直线必过一定点，并求出该定点.
【答案】（1），；（2）；（3）证明见解析，．
【解析】
试题分析：（1）由，得，抛物线的方程为，进而求解抛物线的准线方程；（2）若直线经过焦点，则直线的方程为，即可求解和，再由，即可求解该直线方程；（3）设直线的方程为代入，得，设，则，，再利用，求得，即可判定直线过定点.
（3）设直线的方程为代入，得.
设，，
则，.
，
∴，直线必过一定点.
考点：抛物线的标准方程及其简单的几何性质；直线与抛物线的位置关系.
【方法点晴】本题主要考查了抛物线的标准方程及其简单的几何性质，直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答总涉及到向量的运算和直线的方程，此类问题的解答中把直线的方程代入圆锥曲线的方程，利用方程的根和系数的关系、韦达定理是解答的关键，着重考查了学生推理与运算能力，试题有一定的难度，属于中档试题.
22.（本小题满分12分）
已知分别为椭圆的上、下焦点，是抛物线的焦点，点
是与在第二象限的交点，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）与圆相切的直线交椭圆于，若椭圆上一点满足
，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）且，且.
【解析】
试题分析：（1）利用抛物线的方程和定义，即可求出点的坐标，再利用椭圆的定义即可求出椭圆的方程；（2）根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离定于半径，可得，联立直线与椭圆方程，结合椭圆上一点满足，可得的表达式，进而求出实数的取值范围.
从而椭圆的方程为.………………4分
（2）设，，，则由知，
，，且，………………①
又直线与圆相切，所以有，………………5分
考点：椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题.
【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的综合问题，其中解答中涉及到圆锥曲线的定义和性质、向量相等，直线与圆锥曲线的相交问题等知识点的综合考查，此类问题解答中把直线的方程和圆锥曲线的方程联立，利用方程的根和系数的关系是解答的关键，着重考查了学生推理与运算能力，同时助于分类讨论思想的应用，试题有一定的难度，属于难题.