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- 2021-05-31 发布
高二数学月考试题
5．15
一、单项选择题：本大题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是复合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知是虚数单位，是关于的方程的一个根，则（ ）
A．4 B． C． D．
3．朱红买了5个粽子，其中2个腊肉馅3个蜜枣馅，朱红随机取出两个，事件为“取到的两个为同一种馅”，事件为“取到的两个都是蜜枣馅”，则（ ）
A． B． C． D．
4．对具有线性相关关系的变量，有一组观测数据，其回归直线方程是，且，则实数的值是（ ）
A． B． C． D．
5．有红、黄、蓝三个小球放到7个不同的盒子里，每个盒子最多放两个球，放到同一个盒子的两球不考虑顺序，则不同的放法数为（ ）
A．336 B．320 C．240 D．216
6．已知，为的导函数，则的图像是（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数，则使得成立的的取值范围（ ）
A． B． C． D．
8．已知方程在上有两个不等实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：木大题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．甲、乙、丙三人每人在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7门学科中任选3门，若同学甲必选物理，则下列说法正确的是（ ）
A．甲的不同的选法种数为15
B．甲、乙、丙三人至少一人选化学与全选化学是对立事件
C．已知乙同学选了物理，乙同学选技术概率是
D．乙、丙两名同学都选物理的概率是
10．2020年春节前后，一场突如其来的新冠肺炎疫情在全国蔓延．疫情就是命令，防控就是责任．在党中央的坚强领导和统一指挥下，全国人民众志成城、团结一心，掀起了一场坚决打赢疫情防控阻击战的人民战争．右侧的图表展示了2月14日至29日全国新冠肺炎疫情变化情况，根据该折线图，下列结论正确的是（ ）
A．16天中每日新增确诊病例数量呈下降趋势且19日的降幅最大
B．16天中每日新增确诊病例的中位数小于新增疑似病例的中位数
C．16天中新增确诊、新增疑似、新增治愈病例的极差均大于2000
D．19日至29日每日新增治愈病例数量均大于新增确诊与新增疑似病例之和
11．下列说法正确的是（ ）
A．若幂函数的图象过点，则
B．命题：“，”，则的否定为“，”
C．“”是“”的充分不必要条件
D．若与是相互独立事件，则与也是相互独立事件
12．已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象的对称中心是（0，1） B．函数在上是增函数
C．函数是奇函数 D．方程的解为
三、填空题：本大题共4小题．
13．设，已知的实部是1，则的虚部为______．
14．已知随机变量，则______．
15．杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书记载．在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，它出现要比杨辉三角迟393年．那么，第15行第13个数是______．（用数字作答）
16．若函数图象与轴相切，且（、为相邻整数），则的值为______．
四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．命题：不等式的解集是．命题：不等式在内恒成立．若和一真一假，求的取值范围．
18．为了增强对青少年消防知识的普及，滕州一中举行了一次普及消防知识讲座，并从参加讲座的男生中随机抽取了50人，女生中随机抽取了70人参加消防知识测试，成绩分成优秀和非优秀两类，统计两类成绩人数得到如下的列联表：
优秀
非优秀
总计
男生
35
50
女生
30
70
总计
45
75
120
（1）确定，的值；
（2）试判断能否有90%的把握认为消防知识测试成绩优秀与否与性别有关；
（3）现从该校测试成绩获得优秀的同学中按性别采用分层抽样的方法，随机选出6名组成宣传普及小组，从这6人中随机抽取2名到校外宣传，求“到校外宣传的2名同学中至少有1名是男生”的概率．
附：
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
19．已知．
（1）若，求的系数．
（2）当，时，求除以7所得的余数．
20．已知函数．
（1）若函数在点处的切线与直线垂直，求函数的单调区间及在上的最大值与最小值；
（2）若时，函数在区间[1，2]上不单调，求实数的取值范围．
21．为评估设备生产某种零件的性能，从设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：
直径
58
59
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
73
合计
件数
1
1
3
5
6
19
33
18
4
4
2
1
2
1
100
经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值．
（1）由以往统计数据知，设备的性能根据以下不等式进行评判（表示相应事件的概率）；
①；②；
③，评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁．为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，试判断设备的性能等级
（2）将直径小于等于或直径大于的零件认为是次品．
（i）若从设备的生产流水线上随意抽取2件零件，求恰有一件次品的概率；
（i）若从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数分布列和数学期望．
22．已知函数，其中．
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数存在两个极值点，，且，证明：．
高二数学月考试题参考答案
1~8 BABC，AABD， 9．AD 10．BC 11．CD 12．ABD
13．， 14．8， 15．455， 16．1
17．解：：，：，故或
18．【详解】（1），，解得，
（2）结合卡方计算方法可知，得到而要使得概率90%，则，不满足条件，故没有．
（3）结合，结合分层抽样原理，抽取6人，则男生中抽取2人，女生抽取4人，则从6人中抽取2人，一共有，如果2人全部都是女生，则有，故概率为．
19．（1）令，，又，，所以，故，∴，所以的系数是
（2）当，时，，余数是6
20．解：（1）根据条件得，，
，所以在单调递减，在单调递增；
故在单调递减，在单调递增，
，
（2），，在（1，2）有解，所以．
21．【详解】（1）由题意知道：，，，，，．
所以由图表知道：，
，
，
所以该设备的性能为丙级别；
（2）由图表知道：直径小于或等于的零件有2件，大于的零件有4件，共计6件．
（i）从设备的生产流水线上任取一件，取到次品的概率为，所以恰有一件次品的概率为（或等于0.1128）；
（ii）从100件样品中任意抽取2件，次品数可能取值为0、1、2，
，，．
所以，随机变量的分布列为
0
1
2
故．
22．详解：（1）函数定义域为，且，，令，，
当，即时，，∴在上单调递减；
当，即时，由，解得，，
若，则，∴时，，单调递减；时，，单调递增；时，，单调递减；
若，则，∴时，，单调递减；时，，单调递增；
综上所述：时，的单调递减区间为，单调递增区间为；
时，的单调递减区间为，单调递增区间为；
时，单调递减区间为．
（2）由（1）知，，且，是的两个不等实根
从而由且，可得，，
∴
，
构造函数，，
则，
记，，则，
令，得（，故舍去），
∴在上单调递减，在上单调递增，
又，，
∴当时，恒有，即，
∴在上单调递减，
∴，即，
∴．